Espacio vectorial topológico metrizable

Un espacio vectorial topológico cuya topología puede definirse mediante una métrica.

En análisis funcional y áreas relacionadas de las matemáticas , un espacio vectorial topológico (TVS ) metrizable (resp. pseudometrizable ) es un TVS cuya topología es inducida por una métrica (resp. pseudométrica ). Un espacio LM es un límite inductivo de una secuencia de TVS metrizables localmente convexos .

Pseudometría y métricas.

Una pseudométrica en un conjunto es un mapa que satisface las siguientes propiedades: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d:X\times X\rightarrow \mathbb {R} }$

1. ${\displaystyle d(x,x)=0{\text{ for all }}x\in X}$;
2. Simetría : ; ${\displaystyle d(x,y)=d(y,x){\text{ for all }}x,y\in X}$
3. Subaditividad : ${\displaystyle d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z){\text{ for all }}x,y,z\in X.}$

Una pseudométrica se llama métrica si satisface:

4. Identidad de los indiscernibles : para todossientonces ${\displaystyle x,y\in X,}$ ${\displaystyle d(x,y)=0}$ ${\displaystyle x=y.}$

ultrapseudométrico

Una pseudométrica se llama ultrapseudométrica o pseudométrica fuerte si satisface: ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$

5. Desigualdad triangular fuerte / ultramétrica : ${\displaystyle d(x,z)\leq \max\{d(x,y),d(y,z)\}{\text{ for all }}x,y,z\in X.}$

Espacio pseudométrico

Un espacio pseudométrico es un par que consta de un conjunto y un espacio pseudométrico tal que su topología es idéntica a la topología inducida por Llamamos a un espacio pseudométrico espacio métrico (resp. espacio ultrapseudométrico ) cuando es una métrica (resp. ultrapseudométrico) . ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d.}$ ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle d}$

Topología inducida por una pseudométrica.

Si es una pseudométrica en un conjunto, entonces colección de bolas abiertas : ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle B_{r}(z):=\{x\in X:d(x,z)<r\}}$$

-topología pseudométrica ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d.}$

Convención : Si es un espacio pseudométrico y se trata como un espacio topológico , entonces, salvo que se indique lo contrario, se debe suponer que está dotado de la topología inducida por ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d.}$

Espacio pseudometrizable

Un espacio topológico se llama pseudometrizable (resp. metrizable , ultrapseudometrizable ) si existe una pseudométrica (resp. métrica, ultrapseudométrica) que sea igual a la topología inducida por ^[1] ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle d.}$

Pseudometría y valores sobre grupos topológicos.

Un grupo topológico aditivo es un grupo aditivo dotado de una topología, llamada topología de grupo , bajo la cual la suma y la negación se convierten en operadores continuos.

Una topología en un espacio vectorial real o complejo se llama topología vectorial o topología TVS si hace que las operaciones de suma de vectores y multiplicación escalar sean continuas (es decir, si se convierte en un espacio vectorial topológico ). ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Cada espacio vectorial topológico (TVS) es un grupo topológico conmutativo aditivo, pero no todas las topologías de grupo son topologías vectoriales. Esto se debe a que, a pesar de hacer que la suma y la negación sean continuas, una topología de grupo en un espacio vectorial puede no lograr que la multiplicación escalar sea continua. Por ejemplo, la topología discreta en cualquier espacio vectorial no trivial hace que la suma y la negación sean continuas, pero no que la multiplicación escalar sea continua. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Pseudometría invariante de traducción

Si es un grupo aditivo entonces decimos que un pseudométrico es invariante de traducción o simplemente invariante si satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$

1. Invariancia de traducción :; ${\displaystyle d(x+z,y+z)=d(x,y){\text{ for all }}x,y,z\in X}$
2. ${\displaystyle d(x,y)=d(x-y,0){\text{ for all }}x,y\in X.}$

Valor/G-seminorma

Si es un grupo topológico , el valor o G-seminorma ( G significa Grupo) es un mapa de valor real con las siguientes propiedades: ^[2] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p:X\rightarrow \mathbb {R} }$

1. No negativo : ${\displaystyle p\geq 0.}$
2. Subaditivo : ; ${\displaystyle p(x+y)\leq p(x)+p(y){\text{ for all }}x,y\in X}$
3. ${\displaystyle p(0)=0..}$
4. Simétrico : ${\displaystyle p(-x)=p(x){\text{ for all }}x\in X.}$

donde llamamos a una G-seminorma una norma G si satisface la condición adicional:

5. Total / Definido Positivo : Si entonces ${\displaystyle p(x)=0}$ ${\displaystyle x=0.}$

Propiedades de los valores

Si es un valor en un espacio vectorial entonces: ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle |p(x)-p(y)|\leq p(x-y){\text{ for all }}x,y\in X.}$^[3]
• ${\displaystyle p(nx)\leq np(x)}$y para todos y enteros positivos ^[4] ${\displaystyle {\frac {1}{n}}p(x)\leq p(x/n)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle n.}$
• El conjunto es un subgrupo aditivo de ^[3] ${\displaystyle \{x\in X:p(x)=0\}}$ ${\displaystyle X.}$

Equivalencia en grupos topológicos

Teorema ^[2]  -  Supongamos que es un grupo conmutativo aditivo. Si es una traducción pseudométrica invariante en entonces el mapa es un valor en llamado valor asociado con y, además, genera una topología de grupo en (es decir, la topología en se convierte en un grupo topológico). Por el contrario, si es un valor de entonces el mapa es una pseudométrica invariante de traducción y el valor asociado con es simplemente ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p(x):=d(x,0)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d(x,y):=p(x-y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle p.}$

Grupos topológicos pseudometrizables

Teorema ^[2]  -  Si es un grupo topológico conmutativo aditivo , entonces los siguientes son equivalentes: ${\displaystyle (X,\tau )}$

1. ${\displaystyle \tau }$es inducido por una pseudométrica; (es decir, es pseudometrizable); ${\displaystyle (X,\tau )}$
2. ${\displaystyle \tau }$es inducido por una pseudométrica invariante en la traducción;
3. el elemento de identidad tiene una base de vecindad contable. ${\displaystyle (X,\tau )}$

Si es Hausdorff, entonces la palabra "pseudométrica" ​​en la declaración anterior puede reemplazarse por la palabra "métrica". Un grupo topológico conmutativo es metrizable si y sólo si es Hausdorff y pseudometrizable. ${\displaystyle (X,\tau )}$

Una pseudométrica invariante que no induce una topología vectorial

Sea un espacio vectorial real o complejo no trivial (es decir ) y sea la métrica trivial invariante de traducción definida por y tal que La topología que induce a es la topología discreta , que se convierte en un grupo topológico conmutativo bajo suma pero no no forma una topología vectorial porque está desconectada , pero cada topología vectorial está conectada. Lo que falla es que la multiplicación escalar no es continua en ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\neq \{0\}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d(x,x)=0}$ ${\displaystyle d(x,y)=1{\text{ for all }}x,y\in X}$ ${\displaystyle x\neq y.}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle (X,\tau ).}$

Este ejemplo muestra que una (pseudo)métrica invariante de traducción no es suficiente para garantizar una topología vectorial, lo que nos lleva a definir paranormas y F -seminormas.

Secuencias aditivas

Una colección de subconjuntos de un espacio vectorial se llama aditiva ^[5] si para cada uno existe alguno tal que ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle N\in {\mathcal {N}},}$ ${\displaystyle U\in {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle U+U\subseteq N.}$

Continuidad de la suma en 0  :  si es un grupo (como lo son todos los espacios vectoriales), es una topología y está dotado de la topología del producto , entonces el mapa de suma (es decir, el mapa ) es continuo en el origen de si y solo si el El conjunto de vecindades del origen en es aditivo. Esta afirmación sigue siendo cierta si la palabra "vecindario" se reemplaza por "vecindario abierto". ^[5] ${\displaystyle (X,+)}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X\times X}$ ${\displaystyle X\times X\to X}$ ${\displaystyle (x,y)\mapsto x+y}$ ${\displaystyle X\times X}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$

En consecuencia, todas las condiciones anteriores son necesarias para que una topología forme una topología vectorial. Las secuencias aditivas de conjuntos tienen la propiedad particularmente buena de que definen funciones subaditivas continuas de valor real no negativas . Luego, estas funciones se pueden usar para probar muchas de las propiedades básicas de los espacios vectoriales topológicos y también mostrar que un TVS de Hausdorff con una base contable de vecindades es metrizable. El siguiente teorema es cierto de manera más general para grupos topológicos aditivos conmutativos .

Teorema  :  Sea una colección de subconjuntos de un espacio vectorial tal que y para todos. Para todos, sea ${\displaystyle U_{\bullet }=\left(U_{i}\right)_{i=0}^{\infty }}$ ${\displaystyle 0\in U_{i}}$ ${\displaystyle U_{i+1}+U_{i+1}\subseteq U_{i}}$ ${\displaystyle i\geq 0.}$ ${\displaystyle u\in U_{0},}$

$${\displaystyle \mathbb {S} (u):=\left\{n_{\bullet }=\left(n_{1},\ldots ,n_{k}\right)~:~k\geq 1,n_{i}\geq 0{\text{ for all }}i,{\text{ and }}u\in U_{n_{1}}+\cdots +U_{n_{k}}\right\}.}$$

Definir por si y en caso contrario dejar ${\displaystyle f:X\to [0,1]}$ ${\displaystyle f(x)=1}$ ${\displaystyle x\not \in U_{0}}$

$${\displaystyle f(x):=\inf _{}\left\{2^{-n_{1}}+\cdots 2^{-n_{k}}~:~n_{\bullet }=\left(n_{1},\ldots ,n_{k}\right)\in \mathbb {S} (x)\right\}.}$$

Entonces es subaditivo (es decir ) y así sucesivamente en particular Si todos son conjuntos simétricos entonces y si todos están balanceados entonces para todos los escalares tales que y todos Si es un espacio vectorial topológico y si todos son vecinos del origen entonces es continuo, donde si además es Hausdorff y forma una base de vecindades equilibradas del origen en entonces es una métrica que define la topología vectorial en ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x+y)\leq f(x)+f(y){\text{ for all }}x,y\in X}$ ${\displaystyle f=0}$ ${\displaystyle \bigcap _{i\geq 0}U_{i},}$ ${\displaystyle f(0)=0.}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle f(-x)=f(x)}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle f(sx)\leq f(x)}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle |s|\leq 1}$ ${\displaystyle x\in X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U_{\bullet }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d(x,y):=f(x-y)}$ ${\displaystyle X.}$

Paranormas

Si es un espacio vectorial sobre números reales o complejos, entonces una paranorma es una G-seminorma (definida anteriormente) que satisface cualquiera de las siguientes condiciones adicionales, cada una de las cuales comienza con "para todas las secuencias en y todas las secuencias convergentes de escalares ": ^[6] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p:X\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle s_{\bullet }=\left(s_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$

1. Continuidad de la multiplicación : si es un escalar y son tales que y entonces ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle p\left(x_{i}-x\right)\to 0}$ ${\displaystyle s_{\bullet }\to s,}$ ${\displaystyle p\left(s_{i}x_{i}-sx\right)\to 0.}$
2. Ambas condiciones:
   • si y si es tal que entonces ; ${\displaystyle s_{\bullet }\to 0}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle p\left(x_{i}-x\right)\to 0}$ ${\displaystyle p\left(s_{i}x_{i}\right)\to 0}$
   • si entonces para cada escalar ${\displaystyle p\left(x_{\bullet }\right)\to 0}$ ${\displaystyle p\left(sx_{i}\right)\to 0}$ ${\displaystyle s.}$
3. Ambas condiciones:
   • si y para algún escalar entonces ; ${\displaystyle p\left(x_{\bullet }\right)\to 0}$ ${\displaystyle s_{\bullet }\to s}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle p\left(s_{i}x_{i}\right)\to 0}$
   • si entonces ${\displaystyle s_{\bullet }\to 0}$ ${\displaystyle p\left(s_{i}x\right)\to 0{\text{ for all }}x\in X.}$
4. Continuidad separada : ^[7]
   • si para algún escalar entonces para cada ; ${\displaystyle s_{\bullet }\to s}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle p\left(sx_{i}-sx\right)\to 0}$ ${\displaystyle x\in X}$
   • si es un escalar, y entonces . ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle p\left(x_{i}-x\right)\to 0}$ ${\displaystyle p\left(sx_{i}-sx\right)\to 0}$

Una paranorma se llama total si además satisface:

• Total / Positivo definido : implica ${\displaystyle p(x)=0}$ ${\displaystyle x=0.}$

Propiedades de las paranormas

Si es una paranorma en un espacio vectorial, entonces el mapa definido por es una pseudométrica invariante a la traducción que define una topología vectorial en ^[8] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d:X\times X\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle d(x,y):=p(x-y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Si es una paranorma en un espacio vectorial entonces: ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$

• el conjunto es un subespacio vectorial de ^[8] ${\displaystyle \{x\in X:p(x)=0\}}$ ${\displaystyle X.}$
• ${\displaystyle p(x+n)=p(x){\text{ for all }}x,n\in X}$con ^[8] ${\displaystyle p(n)=0.}$
• Si una paranorma satisface y escalar entonces es absolutamente homogeneidad (es decir, se mantiene la igualdad) ^[8] y por lo tanto es una seminorma . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p(sx)\leq |s|p(x){\text{ for all }}x\in X}$ ${\displaystyle s,}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$

Ejemplos de paranormas

• Si es una pseudométrica invariante de traducción en un espacio vectorial que induce una topología vectorial en (es decir, es un TVS), entonces el mapa define una paranorma continua en ; además, la topología que define esta paranorma es ^[8] ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle p(x):=d(x-y,0)}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau .}$
• Si hay una paranorma, también lo es el mapa ^[8] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle q(x):=p(x)/[1+p(x)].}$
• Cada múltiplo escalar positivo de una paranorma (resp. paranorma total) es nuevamente una paranorma (resp. paranorma total).
• Toda seminorma es una paranorma. ^[8]
• La restricción de una paranorma (resp. paranorma total) a un subespacio vectorial es una paranorma (resp. paranorma total). ^[9]
• La suma de dos paranormas es una paranorma. ^[8]
• Si y son paranormas on, entonces también lo es Además, y esto convierte el conjunto de paranormas on en una red condicionalmente completa . ^[8] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (p\wedge q)(x):=\inf _{}\{p(y)+q(z):x=y+z{\text{ with }}y,z\in X\}.}$ ${\displaystyle (p\wedge q)\leq p}$ ${\displaystyle (p\wedge q)\leq q.}$ ${\displaystyle X}$
• Cada uno de los siguientes mapas de valor real son paranormas en : ${\displaystyle X:=\mathbb {R} ^{2}}$
  • ${\displaystyle (x,y)\mapsto |x|}$
  • ${\displaystyle (x,y)\mapsto |x|+|y|}$
• Los mapas de valor real y no son paranormas en ^[8] ${\displaystyle (x,y)\mapsto {\sqrt {\left|x^{2}-y^{2}\right|}}}$ ${\displaystyle (x,y)\mapsto \left|x^{2}-y^{2}\right|^{3/2}}$ ${\displaystyle X:=\mathbb {R} ^{2}.}$
• Si es una base de Hamel en un espacio vectorial , entonces el mapa de valor real que envía (donde todos menos un número finito de escalares son 0) es una paranorma que satisface para todos y escalares ^[8] ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x=\sum _{i\in I}s_{i}x_{i}\in X}$ ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle \sum _{i\in I}{\sqrt {\left|s_{i}\right|}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle p(sx)={\sqrt {|s|}}p(x)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle s.}$
• La función es una paranorma que no está equilibrada pero que, sin embargo, es equivalente a la norma habitual. Tenga en cuenta que la función es subaditiva. ^[10] ${\displaystyle p(x):=|\sin(\pi x)|+\min\{2,|x|\}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle R.}$ ${\displaystyle x\mapsto |\sin(\pi x)|}$
• Sea un espacio vectorial complejo y denotemos considerado como un espacio vectorial sobre Cualquier paranorma en también es una paranorma en ^[9] ${\displaystyle X_{\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle X_{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle X_{\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle X_{\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle X_{\mathbb {R} }.}$

F -seminormas

Si es un espacio vectorial sobre números reales o complejos, entonces una F -seminorma (que significa Fréchet ) es una aplicación de valor real con las siguientes cuatro propiedades: ^[11] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$

1. No negativo : ${\displaystyle p\geq 0.}$
2. Subaditivo : para todos ${\displaystyle p(x+y)\leq p(x)+p(y)}$ ${\displaystyle x,y\in X}$
3. Equilibrado :paratodos los escalaressatisfactorios ${\displaystyle p(ax)\leq p(x)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle |a|\leq 1;}$
   • Esta condición garantiza que cada conjunto de la forma o para algunos sea un conjunto equilibrado . ${\displaystyle \{z\in X:p(z)\leq r\}}$ ${\displaystyle \{z\in X:p(z)<r\}}$ ${\displaystyle r\geq 0}$
4. por cada como ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle p\left({\tfrac {1}{n}}x\right)\to 0}$ ${\displaystyle n\to \infty }$
   • La secuencia puede ser reemplazada por cualquier secuencia positiva que converja al cero. ^[12] ${\displaystyle \left({\tfrac {1}{n}}\right)_{n=1}^{\infty }}$

Una F -seminorma se llama F -norma si además satisface:

5. Total / Positivo definido : implica ${\displaystyle p(x)=0}$ ${\displaystyle x=0.}$

Una F -seminorma se llama monótona si satisface:

6. Monótono : para todos los distintos de cero y todos los reales y tales que ^[12] ${\displaystyle p(rx)<p(sx)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle s<t.}$

F -espacios seminormes

Un espacio F -seminorma (resp. F -espacio normado ) ^[12] es un par que consta de un espacio vectorial y un F -seminorma (resp. F -norma) en ${\displaystyle (X,p)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X.}$

Si y son espacios F -seminormados, entonces un mapa se llama incrustación isométrica ^[12] si ${\displaystyle (X,p)}$ ${\displaystyle (Z,q)}$ ${\displaystyle f:X\to Z}$ ${\displaystyle q(f(x)-f(y))=p(x,y){\text{ for all }}x,y\in X.}$

Cada incrustación isométrica de un espacio F -seminormado en otro es una incrustación topológica , pero lo contrario no es cierto en general. ^[12]

Ejemplos de F -seminormas

• Cada múltiplo escalar positivo de una F -seminorma (resp. F -norma, seminorma) es nuevamente una F -seminorma (resp. F -norma, seminorma).
• La suma de un número finito de F -seminormas (resp. F -normas) es una F -seminorma (resp. F -norma).
• Si y son F -seminormas en entonces también lo es su supremo puntual. Lo mismo ocurre con el supremo de cualquier familia finita no vacía de F -seminormas en ^[12] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\mapsto \sup\{p(x),q(x)\}.}$ ${\displaystyle X.}$
• La restricción de una F -seminorma (resp. F -norma) a un subespacio vectorial es una F -seminorma (resp. F -norma). ^[9]
• Una función de valor real no negativo es una seminorma si y solo si es una seminorma F convexa , o de manera equivalente, si y solo si es una seminorma G equilibrada convexa . ^[10] En particular, cada seminorma es una F -seminorma. ${\displaystyle X}$
• Para cualquier mapa definido por ${\displaystyle 0<p<1,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
  $${\displaystyle [f\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)]^{p}=\left|x_{1}\right|^{p}+\cdots \left|x_{n}\right|^{p}}$$
  es una norma F que no es una norma.
• Si es un mapa lineal y si es una F -seminorma entonces es una F -seminorma en ^[12] ${\displaystyle L:X\to Y}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle q\circ L}$ ${\displaystyle X.}$
• Sea un espacio vectorial complejo y denotemos considerado como un espacio vectorial sobre Cualquier F -seminorma en también es una F -seminorma en ^[9] ${\displaystyle X_{\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle X_{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle X_{\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle X_{\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle X_{\mathbb {R} }.}$

Propiedades de F -seminormas

Cada F -seminorma es una paranorma y cada paranorma es equivalente a alguna F -seminorma. ^[7] Cada F -seminorma en un espacio vectorial es un valor en En particular, y para todos ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle p(x)=0,}$ ${\displaystyle p(x)=p(-x)}$ ${\displaystyle x\in X.}$

Topología inducida por una sola F -seminorma

Teorema ^[11]  -  Sea una F -seminorma en un espacio vectorial Entonces el mapa definido por es una pseudométrica invariante de traducción que define una topología vectorial en Si es una F -norma entonces es una métrica. Cuando está dotado de esta topología entonces es un mapa continuo en ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle d:X\times X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle d(x,y):=p(x-y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X.}$

Los conjuntos balanceados como rangos sobre los reales positivos, forman una base de vecindad en el origen de esta topología que consiste en un conjunto cerrado. De manera similar, los conjuntos balanceados como rangos sobre los reales positivos forman una base de vecindad en el origen de esta topología que consta de conjuntos abiertos. ${\displaystyle \{x\in X~:~p(x)\leq r\},}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \{x\in X~:~p(x)<r\},}$ ${\displaystyle r}$

Topología inducida por una familia de F -seminormas

Supongamos que es una colección no vacía de F -seminormas en un espacio vectorial y para cualquier subconjunto finito y cualquier let ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle r>0,}$

$${\displaystyle U_{{\mathcal {F}},r}:=\bigcap _{p\in {\mathcal {F}}}\{x\in X:p(x)<r\}.}$$

El conjunto forma una base de filtro que también forma una base de vecindad en el origen para una topología vectorial denotada por ^[12] Cada uno es un subconjunto equilibrado y absorbente de ^[12] Estos conjuntos satisfacen ^[12] ${\displaystyle \left\{U_{{\mathcal {F}},r}~:~r>0,{\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {L}},{\mathcal {F}}{\text{ finite }}\right\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau _{\mathcal {L}}.}$ ${\displaystyle U_{{\mathcal {F}},r}}$ ${\displaystyle X.}$

$${\displaystyle U_{{\mathcal {F}},r/2}+U_{{\mathcal {F}},r/2}\subseteq U_{{\mathcal {F}},r}.}$$

• ${\displaystyle \tau _{\mathcal {L}}}$es la topología vectorial más gruesa para hacer que cada uno sea continuo. ^[12] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p\in {\mathcal {L}}}$
• ${\displaystyle \tau _{\mathcal {L}}}$es Hausdorff si y sólo si para cada distinto de cero existe algo tal que ^[12] ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle p\in {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle p(x)>0.}$
• Si es el conjunto de todas las F -seminormas continuas, entonces ^[12] ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \left(X,\tau _{\mathcal {L}}\right)}$ ${\displaystyle \tau _{\mathcal {L}}=\tau _{\mathcal {F}}.}$
• Si es el conjunto de todos los supremos puntuales de subconjuntos finitos no vacíos de entonces es una familia dirigida de F -seminormas y ^[12] ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \tau _{\mathcal {L}}=\tau _{\mathcal {F}}.}$

combinación de frechet

Supongamos que es una familia de funciones subaditivas no negativas en un espacio vectorial. ${\displaystyle p_{\bullet }=\left(p_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X.}$

La combinación de Fréchet ^[8] de se define como el mapa de valor real ${\displaystyle p_{\bullet }}$

$${\displaystyle p(x):=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {p_{i}(x)}{2^{i}\left[1+p_{i}(x)\right]}}.}$$

As an F-seminorm

Assume that ${\displaystyle p_{\bullet }=\left(p_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ is an increasing sequence of seminorms on ${\displaystyle X}$ and let ${\displaystyle p}$ be the Fréchet combination of ${\displaystyle p_{\bullet }.}$ Then ${\displaystyle p}$ is an F-seminorm on ${\displaystyle X}$ that induces the same locally convex topology as the family ${\displaystyle p_{\bullet }}$ of seminorms.^[13]

Since ${\displaystyle p_{\bullet }=\left(p_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ is increasing, a basis of open neighborhoods of the origin consists of all sets of the form ${\displaystyle \left\{x\in X~:~p_{i}(x)<r\right\}}$ as ${\displaystyle i}$ ranges over all positive integers and ${\displaystyle r>0}$ ranges over all positive real numbers.

The translation invariant pseudometric on ${\displaystyle X}$ induced by this F-seminorm ${\displaystyle p}$ is

$${\displaystyle d(x,y)=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{i}}}{\frac {p_{i}(x-y)}{1+p_{i}(x-y)}}.}$$

This metric was discovered by Fréchet in his 1906 thesis for the spaces of real and complex sequences with pointwise operations.^[14]

As a paranorm

If each ${\displaystyle p_{i}}$ is a paranorm then so is ${\displaystyle p}$ and moreover, ${\displaystyle p}$ induces the same topology on ${\displaystyle X}$ as the family ${\displaystyle p_{\bullet }}$ of paranorms.^[8] This is also true of the following paranorms on ${\displaystyle X}$:

• ${\displaystyle q(x):=\inf _{}\left\{\sum _{i=1}^{n}p_{i}(x)+{\frac {1}{n}}~:~n>0{\text{ is an integer }}\right\}.}$^[8]
• ${\displaystyle r(x):=\sum _{n=1}^{\infty }\min \left\{{\frac {1}{2^{n}}},p_{n}(x)\right\}.}$^[8]

Generalization

The Fréchet combination can be generalized by use of a bounded remetrization function.

A bounded remetrization function^[15] is a continuous non-negative non-decreasing map ${\displaystyle R:[0,\infty )\to [0,\infty )}$ that has a bounded range, is subadditive (meaning that ${\displaystyle R(s+t)\leq R(s)+R(t)}$ for all ${\displaystyle s,t\geq 0}$), and satisfies ${\displaystyle R(s)=0}$ if and only if ${\displaystyle s=0.}$

Examples of bounded remetrization functions include ${\displaystyle \arctan t,}$ ${\displaystyle \tanh t,}$ ${\displaystyle t\mapsto \min\{t,1\},}$ and ${\displaystyle t\mapsto {\frac {t}{1+t}}.}$^[15] If ${\displaystyle d}$ is a pseudometric (respectively, metric) on ${\displaystyle X}$ and ${\displaystyle R}$ is a bounded remetrization function then ${\displaystyle R\circ d}$ is a bounded pseudometric (respectively, bounded metric) on ${\displaystyle X}$ that is uniformly equivalent to ${\displaystyle d.}$^[15]

Suppose that ${\displaystyle p_{\bullet }=\left(p_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ is a family of non-negative F-seminorm on a vector space ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle R}$ is a bounded remetrization function, and ${\displaystyle r_{\bullet }=\left(r_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ is a sequence of positive real numbers whose sum is finite. Then

$${\displaystyle p(x):=\sum _{i=1}^{\infty }r_{i}R\left(p_{i}(x)\right)}$$

F ${\displaystyle p_{\bullet }.}$^[16] ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle p\left(x_{\bullet }\right)\to 0}$ ${\displaystyle p_{i}\left(x_{\bullet }\right)\to 0}$ ${\displaystyle i.}$^[16] ${\displaystyle p}$F ${\displaystyle p_{\bullet }}$ ${\displaystyle X.}$^[16]

Characterizations

Of (pseudo)metrics induced by (semi)norms

Una pseudométrica (resp. métrica) es inducida por una seminorma (resp. norma) en un espacio vectorial si y solo si es invariante de traducción y absolutamente homogénea , lo que significa que para todos los escalares y todos, en cuyo caso la función definida por es una seminorma (resp. norma) y la pseudométrica (resp. métrica) inducida por es igual a ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle x,y\in X,}$ ${\displaystyle p(x):=d(x,0)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle d.}$

De TVS pseudometrizables

Si es un espacio vectorial topológico (TVS) (donde tenga en cuenta en particular que se supone que es una topología vectorial), entonces lo siguiente es equivalente: ^[11] ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle \tau }$

1. ${\displaystyle X}$es pseudometrizable (es decir, la topología vectorial es inducida por una pseudometría en ). ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$
2. ${\displaystyle X}$Tiene una base vecinal contable en el origen.
3. La topología on es inducida por una pseudométrica invariante a la traducción on ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
4. La topología está inducida por una F -seminorma. ${\displaystyle X}$
5. La topología está inducida por una paranorma. ${\displaystyle X}$

De TVS metrizables

Si es un TVS entonces lo siguiente es equivalente: ${\displaystyle (X,\tau )}$

1. ${\displaystyle X}$es metrizable.
2. ${\displaystyle X}$es Hausdorff y pseudometrizable.
3. ${\displaystyle X}$es Hausdorff y tiene una base vecinal contable en el origen. ^{[11] [12]}
4. La topología es inducida por una métrica invariante de traducción en ^[11] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
5. La topología está inducida por una norma F. ^{[11] [12]} ${\displaystyle X}$
6. La topología es inducida por una norma F monótona . ^[12] ${\displaystyle X}$
7. La topología está inducida por una paranorma total. ${\displaystyle X}$

Teorema de Birkhoff-Kakutani  :  sies un espacio vectorial topológico, entonces las tres condiciones siguientes son equivalentes: ^{[17] [nota 1]} ${\displaystyle (X,\tau )}$

1. El origen está cerrado y existe una base contable de barrios para en ${\displaystyle \{0\}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X.}$
2. ${\displaystyle (X,\tau )}$es metrizable (como espacio topológico).
3. Hay una métrica invariante de traducción que induce en la topología cuál es la topología dada en ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau ,}$ ${\displaystyle X.}$

Según el teorema de Birkhoff-Kakutani, se deduce que existe una métrica equivalente que es invariante a la traducción.

De TVS pseudometrizables localmente convexos

Si es TVS entonces lo siguiente es equivalente: ^[13] ${\displaystyle (X,\tau )}$

1. ${\displaystyle X}$es localmente convexo y pseudometrizable.
2. ${\displaystyle X}$tiene una base de vecindad contable en el origen que consta de conjuntos convexos.
3. La topología de es inducida por una familia contable de seminormas (continuas). ${\displaystyle X}$
4. La topología de es inducida por una secuencia creciente contable de seminormas (continuas) (creciente significa que para todos ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(p_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle i,}$ ${\displaystyle p_{i}\geq p_{i+1}.}$
5. La topología de es inducida por una F -seminorma de la forma: ${\displaystyle X}$
   $${\displaystyle p(x)=\sum _{n=1}^{\infty }2^{-n}\operatorname {arctan} p_{n}(x)}$$
   ¿Dónde están las seminormas (continuas) en ^[18] ${\displaystyle \left(p_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X.}$

Cocientes

Sea un subespacio vectorial de un espacio vectorial topológico. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle (X,\tau ).}$

• Si es un TVS pseudometrizable entonces también lo es ^[11] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X/M.}$
• Si es un TVS pseudometrizable completo y es un subespacio vectorial cerrado de entonces está completo. ^[11] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X/M}$
• Si TVS es metrizable y es un subespacio vectorial cerrado de entonces es metrizable. ^[11] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X/M}$
• Si es una F -seminorma entonces el mapa definido por ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle P:X/M\to \mathbb {R} }$
  $${\displaystyle P(x+M):=\inf _{}\{p(x+m):m\in M\}}$$
  es una F -seminorma en que induce la topología de cociente habitual en ^[11] Si además hay una F -norma en y si es un subespacio vectorial cerrado de entonces es una F -norma en ^[11] ${\displaystyle X/M}$ ${\displaystyle X/M.}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle X.}$

Ejemplos y condiciones suficientes

• Todo espacio seminormado es pseudometrizable con una pseudométrica canónica dada por para todos ^[19] . ${\displaystyle (X,p)}$ ${\displaystyle d(x,y):=p(x-y)}$ ${\displaystyle x,y\in X.}$
• Si es TVS pseudométrico con una traducción pseudométrica invariante, entonces define una paranorma. ^[20] Sin embargo, si es una traducción pseudométrica invariante en el espacio vectorial (sin la condición de suma que es pseudométrica TVS ), entonces no necesita ser ni una F -seminorma ^[21] ni una paranorma. ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle d,}$ ${\displaystyle p(x):=d(x,0)}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle d}$
• Si un TVS tiene una vecindad limitada del origen, entonces es pseudometrizable; lo contrario es en general falso. ^[14]
• Si un TVS de Hausdorff tiene una vecindad limitada del origen, entonces es metrizable. ^[14]
• Supongamos que es un espacio DF o un espacio LM . Si es un espacio secuencial , entonces es metrizable o es un espacio Montel DF. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Si Hausdorff es TVS localmente convexo, entonces con la topología fuerte , es metrizable si y solo si existe un conjunto contable de subconjuntos acotados de tal que cada subconjunto acotado de esté contenido en algún elemento de ^[22] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(X,b\left(X,X^{\prime }\right)\right),}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$

El espacio dual fuerte de un espacio localmente convexo metrizable (como un espacio de Fréchet ^[23] ) es un espacio DF . ^[24] El dual fuerte de un espacio DF es un espacio de Fréchet . ^[25] El dual fuerte de un espacio reflexivo de Fréchet es un espacio bornológico . ^[24] El bidual fuerte (es decir, el espacio dual fuerte del espacio dual fuerte) de un espacio localmente convexo metrizable es un espacio de Fréchet. ^[26] Si es un espacio localmente convexo metrizable, entonces su dual fuerte tiene una de las siguientes propiedades, si y solo si tiene todas estas propiedades: (1) bornológica , (2) infrabarrilada , (3) barricada . ^[26] ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$

Normalidad

Un espacio vectorial topológico es seminormable si y sólo si tiene una vecindad acotada convexa del origen. Además, un TVS es normal si y sólo si es Hausdorff y seminormable. ^[14] Cada TVS metrizable en un espacio vectorial de dimensión finita es un TVS completo localmente convexo normal , siendo TVS-isomorfo al espacio euclidiano . En consecuencia, cualquier TVS metrizable que no sea normalizable debe ser de dimensión infinita.

Si es un TVS localmente convexo metrizable que posee un sistema fundamental contable de conjuntos acotados, entonces es normal. ^[27] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

Si es un espacio localmente convexo de Hausdorff , entonces los siguientes son equivalentes: ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle X}$es normal .
2. ${\displaystyle X}$tiene una vecindad delimitada (von Neumann) del origen.
3. el fuerte espacio dual de es normal. ^[28] ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$

y si este espacio localmente convexo también es metrizable, entonces se puede añadir a esta lista lo siguiente: ${\displaystyle X}$

4. el fuerte espacio dual de es metrizable. ^[28] ${\displaystyle X}$
5. el espacio dual fuerte de es un espacio localmente convexo de Fréchet-Urysohn . ^[23] ${\displaystyle X}$

En particular, si un espacio localmente convexo metrizable (como un espacio de Fréchet ) no es normable, entonces su espacio dual fuerte no es un espacio de Fréchet-Urysohn y, en consecuencia, este espacio localmente convexo de Hausdorff completo tampoco es ni metrizable ni normable. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$

Otra consecuencia de esto es que si es un TVS reflexivo localmente convexo cuyo dual fuerte es metrizable entonces es necesariamente un espacio reflexivo de Fréchet, es un espacio DF , ambos y son necesariamente completos espacios palmeados distinguidos ultrabornológicos de Hausdorff y, además, es normal si y sólo si es normal si y sólo si es Fréchet-Urysohn si y sólo si es metrizable. En particular, dicho espacio es un espacio de Banach o ni siquiera es un espacio de Fréchet-Urysohn. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Conjuntos acotados métricamente y conjuntos acotados

Supongamos que es un espacio pseudométrico y el conjunto está acotado métricamente o acotado si existe un número real tal que para todos ; el más pequeño se denomina entonces diámetro o diámetro de ^[14] Si está acotado en un TVS pseudometrizable, entonces está acotado métricamente; lo contrario es en general falso, pero es cierto para los TVS metrizables localmente convexos . ^[14] ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle B\subseteq X.}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle R>0}$ ${\displaystyle d(x,y)\leq R}$ ${\displaystyle x,y\in B}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle B.}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$

Propiedades de TVS pseudometrizables.

Teorema ^[29]  -  Todos los TVS metrizables completos , separables y de dimensión infinita son homeomórficos .

• Cada TVS localmente convexo metrizable es un espacio cuasibarril , ^[30] un espacio bornológico y un espacio de Mackey .
• Cada TVS pseudometrizable completo es un espacio de barril y un espacio de Baire (y por lo tanto no escaso). ^[31] Sin embargo, existen espacios de Baire metrizables que no están completos . ^[31]
• Si es un espacio metrizable localmente convexo, entonces el dual fuerte de es bornológico si y solo si tiene cañón , si y solo si tiene infrabarril . ^[26] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
• Si es un TVS pseudometrizable completo y es un subespacio vectorial cerrado de entonces está completo. ^[11] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X/M}$
• El dual fuerte de un TVS metrizable localmente convexo es un espacio palmeado . ^[32]
• Si y son TVS metrizables completos (es decir, espacios F ) y si es más grueso que entonces ; ^[33] Ya no se garantiza que esto sea cierto si alguno de estos TVS metrizables no está completo. ^[34] Dicho de otra manera, si y son ambos espacios F pero con diferentes topologías, entonces ninguno de y contiene al otro como un subconjunto. Una consecuencia particular de esto es, por ejemplo, que if es un espacio de Banach y es algún otro espacio normado cuya topología inducida por normas es más fina (o alternativamente, es más basta) que la de (es decir, if o if para alguna constante ), entonces la única manera de que pueda ser un espacio de Banach (es decir, también estar completo) es si estas dos normas y son equivalentes ; si no son equivalentes, entonces no puede ser un espacio de Banach. Como otra consecuencia, si es un espacio de Banach y es un espacio de Fréchet , entonces el mapa es continuo si y sólo si el espacio de Fréchet es el TVS (aquí, el espacio de Banach se considera como un TVS, lo que significa que su norma es " olvidado " pero se recuerda su topología). ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle (X,\nu )}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau =\nu }$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle (X,\nu )}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle (X,p)}$ ${\displaystyle (X,q)}$ ${\displaystyle (X,p)}$ ${\displaystyle p\leq Cq}$ ${\displaystyle q\leq Cp}$ ${\displaystyle C>0}$ ${\displaystyle (X,q)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle (X,q)}$ ${\displaystyle (X,p)}$ ${\displaystyle (X,\nu )}$ ${\displaystyle p:(X,\nu )\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (X,\nu )}$ ${\displaystyle (X,p)}$ ${\displaystyle (X,p)}$
• Un espacio localmente convexo metrizable es normal si y sólo si su espacio dual fuerte es un espacio localmente convexo de Fréchet-Urysohn . ^[23]
• Cualquier producto de TVS completos metrizables es un espacio de Baire . ^[31]
• Un producto de TVS metrizables es metrizable si y solo si todos, pero a lo sumo contablemente, muchos de estos TVS tienen dimensión ^[35]. ${\displaystyle 0.}$
• Un producto de TVS pseudometrizables es pseudometrizable si y solo si todos, pero como mucho muchos de estos TVS, tienen la topología trivial.
• Cada TVS pseudometrizable completo es un espacio de barril y un espacio de Baire (y por lo tanto no escaso). ^[31]
• La dimensión de un TVS metrizable completo es finita o incontable. ^[35]

Lo completo

Todo espacio vectorial topológico (y más generalmente, un grupo topológico ) tiene una estructura uniforme canónica , inducida por su topología, que permite aplicarle las nociones de completitud y continuidad uniforme. Si es un TVS metrizable y es una métrica que define la topología de, entonces es posible que esté completo como TVS (es decir, en relación con su uniformidad), pero la métrica no es una métrica completa (dichas métricas existen incluso para ). Por lo tanto, si se trata de un TVS cuya topología es inducida por un espacio pseudométrico, entonces la noción de completitud de (como TVS) y la noción de completitud del espacio pseudométrico no siempre son equivalentes. El siguiente teorema da una condición para cuando son equivalentes: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,d)}$

Teorema  :  si es un TVS pseudometrizable cuya topología es inducida por una pseudométrica invariante de traducción , entonces es una pseudometría completa si y solo si está completo como TVS. ^[36] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d,}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Teorema ^{[37] [38]}  ( Klee)  -  Sea cualquier ^{[nota 2]} métrica en un espacio vectorial tal que la topología inducida por on se convierta en un espacio vectorial topológico. Si es un espacio métrico completo, entonces es un TVS completo. ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$

Teorema  :  si es un TVS cuya topología es inducida por una paranorma, entonces está completo si y solo si para cada secuencia en if luego converge en ^[39] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }p\left(x_{i}\right)<\infty }$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }x_{i}}$ ${\displaystyle X.}$

Si es un subespacio vectorial cerrado de un TVS pseudometrizable completo, entonces el espacio cociente está completo. ^[40] Si es un subespacio vectorial completo de un TVS metrizable y si el espacio cociente está completo entonces también lo es ^[40] Si no está completo entonces, pero no está completo, el subespacio vectorial de ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X/M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X/M}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M:=X,}$ ${\displaystyle X.}$

Un grupo topológico separable de Baire es metrizable si y sólo si es cósmico. ^[23]

Subconjuntos y subsecuencias

• Sea un espacio vectorial topológico metrizable localmente convexo separable y sea su compleción. Si es un subconjunto acotado de entonces existe un subconjunto acotado de tal que ^[41] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S\subseteq \operatorname {cl} _{C}R.}$
• Cada subconjunto totalmente acotado de un TVS metrizable localmente convexo está contenido en el casco equilibrado convexo cerrado de alguna secuencia que converge a ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 0.}$
• En un TVS pseudometrizable, cada bornívoro es un vecindario del origen. ^[42]
• Si es una métrica invariante de traducción en un espacio vectorial, entonces para todos y cada uno de los enteros positivos ^[43] ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle d(nx,0)\leq nd(x,0)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle n.}$
• Si es una secuencia nula (es decir, converge al origen) en un TVS metrizable entonces existe una secuencia de números reales positivos que divergen de tal manera que ^[43] ${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle \left(r_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \left(r_{i}x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\to 0.}$
• Un subconjunto de un espacio métrico completo es cerrado si y sólo si es completo. Si un espacio no está completo, entonces hay un subconjunto cerrado de ese espacio que no está completo. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
• Si es un TVS localmente convexo metrizable , entonces para cada subconjunto acotado de existe un disco acotado de modo que tanto y el espacio normado auxiliar inducen la misma topología del subespacio en ^[44] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B\subseteq X_{D},}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{D}}$ ${\displaystyle B.}$

Teorema de Banach-Saks ^[45]  :  sihay una secuencia en unTVS metrizable localmente convexo que converge débilmente a algunos,entonces existe una secuenciatalqueeny cada unoes una combinación convexa de un número finito de ${\displaystyle \left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle y_{\bullet }=\left(y_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle y_{\bullet }\to x}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle y_{i}}$ ${\displaystyle x_{n}.}$

Condición de contabilidad de Mackey ^[14]  -  Supongamos que es un TVS metrizable localmente convexo y que es una secuencia contable de subconjuntos acotados de Entonces existe un subconjunto acotado de y una secuencia de números reales positivos tales que para todos ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(B_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(r_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle B_{i}\subseteq r_{i}B}$ ${\displaystyle i.}$

Serie generalizada

Como se describe en la sección de series generalizadas de este artículo , para cualquier familia de vectores indexados de un TVS es posible definir su suma como el límite de la red de sumas parciales finitas donde el dominio está dirigido por Si y por ejemplo, entonces la serie generalizada converge si y sólo si converge incondicionalmente en el sentido habitual (que para números reales equivale a convergencia absoluta ). Si una serie generalizada converge en un TVS metrizable, entonces el conjunto es necesariamente contable (es decir, finito o contablemente infinito ); ^{[prueba 1]} en otras palabras, todos, excepto como mucho un número contable, serán cero, por lo que esta serie generalizada es en realidad una suma de, como máximo, un número contable de términos distintos de cero. ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \left(r_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i\in I}r_{i}}$ ${\displaystyle F\in \operatorname {FiniteSubsets} (I)\mapsto \textstyle \sum \limits _{i\in F}r_{i}}$ ${\displaystyle \operatorname {FiniteSubsets} (I)}$ ${\displaystyle \,\subseteq .\,}$ ${\displaystyle I=\mathbb {N} }$ ${\displaystyle X=\mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i\in \mathbb {N} }r_{i}}$ ${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }r_{i}}$ ${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i\in I}r_{i}}$ ${\displaystyle \left\{i\in I:r_{i}\neq 0\right\}}$ ${\displaystyle r_{i}}$ ${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i\in I}r_{i}~=~\textstyle \sum \limits _{\stackrel {i\in I}{r_{i}\neq 0}}r_{i}}$

mapas lineales

Si es un TVS pseudometrizable y asigna subconjuntos acotados de a subconjuntos acotados de, entonces es continuo. ^[14] Existen funcionales lineales discontinuos en cualquier TVS pseudometrizable de dimensión infinita. ^[46] Por lo tanto, un TVS pseudometrizable es de dimensión finita si y sólo si su espacio dual continuo es igual a su espacio dual algebraico . ^[46] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle A}$

Si es un mapa lineal entre TVS y es metrizable, entonces los siguientes son equivalentes: ${\displaystyle F:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle F}$es continuo;
2. ${\displaystyle F}$es un mapa acotado (localmente) (es decir, mapas (von Neumann) de subconjuntos acotados de a subconjuntos acotados de ); ^[12] ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$
3. ${\displaystyle F}$es secuencialmente continuo ; ^[12]
4. la imagen debajo de cada secuencia nula es un conjunto acotado ^[12] donde, por definición, una secuencia nula es una secuencia que converge al origen. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$
5. ${\displaystyle F}$asigna secuencias nulas a secuencias nulas;

Mapas abiertos y casi abiertos.

Teorema : Si es un TVS pseudometrizable completo, es un TVS de Hausdorff y es una sobreyección lineal cerrada y casi abierta, entonces es un mapa abierto. ^[47] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle T:X\to Y}$ ${\displaystyle T}$

Teorema : si es un operador lineal sobreyectivo de un espacio localmente convexo a un espacio en forma de barril (por ejemplo, cada espacio pseudometrizable completo es en forma de barril), entonces es casi abierto . ^[47] ${\displaystyle T:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle T}$

Teorema : si es un operador lineal sobreyectivo de un TVS a un espacio de Baire , entonces está casi abierto. ^[47] ${\displaystyle T:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle T}$

Teorema : Supongamos que es un operador lineal continuo de un TVS pseudometrizable completo a un TVS de Hausdorff. Si la imagen de no es exigua , entonces es un mapa abierto sobreyectivo y es un espacio metrizable completo . ^[47] ${\displaystyle T:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle T:X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$

Propiedad de ampliación de Hahn-Banach

Un subespacio vectorial de un TVS tiene la propiedad de extensión si cualquier funcional lineal continua en puede extenderse a una funcional lineal continua en ^[22] Digamos que un TVS tiene la propiedad de extensión de Hahn-Banach ( HBEP ) si cada subespacio vectorial de tiene la extensión propiedad. ^[22] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

El teorema de Hahn-Banach garantiza que todo espacio localmente convexo de Hausdorff tiene el HBEP. Para TVS completamente metrizables existe un proceso inverso:

Teorema  (Kalton)  :  todo TVS metrizable completo con la propiedad de extensión de Hahn-Banach es localmente convexo. ^[22]

Si un espacio vectorial tiene dimensiones incontables y si lo dotamos de la topología vectorial más fina, entonces este es un TVS con HBEP que no es localmente convexo ni metrizable. ^[22] ${\displaystyle X}$

Ver también

• Norma asimétrica  – Generalización del concepto de norma
• Espacio métrico completo  – Geometría métrica
• Espacio vectorial topológico completo  : un TVS donde los puntos que se acercan progresivamente entre sí siempre convergerán en un punto.
• Equivalencia de métricas
• Espacio F  : espacio vectorial topológico con una métrica invariante de traducción completa
• Espacio de Fréchet  : un espacio vectorial topológico localmente convexo que también es un espacio métrico completo
• Métrica generalizada  – Geometría métrica
• Espacio K (análisis funcional)
• Espacio vectorial topológico localmente convexo  : un espacio vectorial con una topología definida por conjuntos abiertos convexos
• Espacio métrico  : espacio matemático con noción de distancia.
• Espacio pseudométrico  - Generalización de espacios métricos en matemáticas
• Relación de normas y métricas  – Espacio matemático con noción de distanciaPages displaying short descriptions of redirect targets
• Seminorma  : función de valor real no negativo en un espacio vectorial real o complejo que satisface la desigualdad del triángulo y es absolutamente homogéneaPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Función sublineal  - Tipo de función en álgebra lineal
• Espacio uniforme  : espacio topológico con noción de propiedades uniformes.
• Teorema de Ursescu  : generalización de grafo cerrado, mapeo abierto y teorema de acotación uniforme

Notas

1. De hecho, esto es cierto para el grupo topológico, ya que la prueba no utiliza multiplicaciones escalares.
2. No se supone que sea invariante en la traducción.

Pruebas

1. Supongamos que la red converge a algún punto en un TVS metrizable donde recordemos que el dominio de esta red es el conjunto dirigido. Como toda red convergente, esta red convergente de sumas parciales es una red de Cauchy , que para esta red en particular significa (por definición) que para en cada vecindad del origen existe un subconjunto finito de tal que para todos los superconjuntos finitos esto implica que para cada (tomando y ). Como es metrizable, tiene una base de vecindad contable en el origen, cuya intersección es necesariamente (ya que es un TVS de Hausdorff). Para cada entero positivo, elija un subconjunto finito tal que para cada If pertenezca entonces pertenezca a Así , para cada índice que no pertenezca al conjunto contable ${\textstyle \textstyle \sum \limits _{i\in I}r_{i}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\textstyle \lim \limits _{A\in \operatorname {FiniteSubsets} (I)}}\ \textstyle \sum \limits _{i\in A}r_{i}=\lim \left\{\textstyle \sum \limits _{i\in A}r_{i}\,:A\subseteq I,A{\text{ finite }}\right\}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle (\operatorname {FiniteSubsets} (I),\subseteq ).}$ ${\displaystyle A\mapsto \textstyle \sum \limits _{i\in A}r_{i}}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A_{0}}$ ${\displaystyle I}$ ${\textstyle \textstyle \sum \limits _{i\in B}r_{i}-\textstyle \sum \limits _{i\in C}r_{i}\in W}$ ${\displaystyle B,C\supseteq A_{0};}$ ${\displaystyle r_{i}\in W}$ ${\displaystyle i\in I\setminus A_{0}}$ ${\displaystyle B:=A_{0}\cup \{i\}}$ ${\displaystyle C:=A_{0}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U_{1},U_{2},\ldots }$ ${\displaystyle U_{1}\cap U_{2}\cap \cdots =\{0\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}$ ${\displaystyle A_{n}\subseteq I}$ ${\displaystyle r_{i}\in U_{n}}$ ${\displaystyle i\in I\setminus A_{n}.}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle (I\setminus A_{1})\cap (I\setminus A_{2})\cap \cdots =I\setminus \left(A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots \right)}$ ${\displaystyle r_{i}}$ ${\displaystyle U_{1}\cap U_{2}\cap \cdots =\{0\}.}$ ${\displaystyle r_{i}=0}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots .}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

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