Equivalencia de métricas

En matemáticas , se dice que dos métricas del mismo conjunto subyacente son equivalentes si los espacios métricos resultantes comparten ciertas propiedades. La equivalencia es un concepto más débil que la isometría ; las métricas equivalentes no tienen por qué ser literalmente iguales. En cambio, es una de las diversas formas de generalizar la equivalencia de normas a espacios métricos generales.

A lo largo del artículo, denotará un conjunto no vacío y y denotará dos métricas en . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d_{1}}$ ${\displaystyle d_{2}}$ ${\displaystyle X}$

Equivalencia topológica

Se dice que las dos métricas y son topológicamente equivalentes si generan la misma topología en . El adverbio topológicamente suele omitirse. ^[1] Hay varias formas de expresar esta condición: ${\displaystyle d_{1}}$ ${\displaystyle d_{2}}$ ${\displaystyle X}$

• un subconjunto es -abierto si y sólo si es -abierto; ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle d_{1}}$ ${\displaystyle d_{2}}$
• Las bolas abiertas "anidan": para cualquier punto y cualquier radio , existen radios tales que ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle r',r''>0}$ $${\displaystyle B_{r'}(x;d_{1})\subseteq B_{r}(x;d_{2}){\text{ and }}B_{r''}(x;d_{2})\subseteq B_{r}(x;d_{1}).}$$
• La función identidad es continua con inversa continua ; es decir, es un homeomorfismo . ${\displaystyle I:(X,d_{1})\to (X,d_{2})}$

Las siguientes son condiciones suficientes pero no necesarias para la equivalencia topológica:

• existe una función estrictamente creciente, continua y subaditiva tal que . ^[2] ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} _{+}}$ ${\displaystyle d_{2}=f\circ d_{1}}$
• para cada , existen constantes positivas y tales que, para cada punto , ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle y\in X}$ $${\displaystyle \alpha d_{1}(x,y)\leq d_{2}(x,y)\leq \beta d_{1}(x,y).}$$

Equivalencia fuerte

Dos métricas y en X son fuertemente o bilipschitz equivalentes o uniformemente equivalentes si y sólo si existen constantes positivas y tales que, para cada , ${\displaystyle d_{1}}$ ${\displaystyle d_{2}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle x,y\in X}$

${\displaystyle \alpha d_{1}(x,y)\leq d_{2}(x,y)\leq \beta d_{1}(x,y).}$

A diferencia de la condición suficiente para la equivalencia topológica mencionada anteriormente, la equivalencia fuerte requiere que exista un único conjunto de constantes que se cumpla para cada par de puntos en , en lugar de constantes potencialmente diferentes asociadas con cada punto de . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

La equivalencia fuerte de dos métricas implica equivalencia topológica, pero no viceversa. Por ejemplo, las métricas y en el intervalo son topológicamente equivalentes, pero no fuertemente equivalentes. De hecho, este intervalo está acotado por una de estas métricas, pero no por la otra. Por otra parte, las equivalencias fuertes siempre llevan conjuntos acotados a conjuntos acotados. ${\displaystyle d_{1}(x,y)=|x-y|}$ ${\displaystyle d_{2}(x,y)=|\tan(x)-\tan(y)|}$ ${\displaystyle \left(-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right)}$

Relación con la equivalencia de normas

Cuando X es un espacio vectorial y las dos métricas y son aquellas inducidas por las normas y , respectivamente, entonces la equivalencia fuerte es equivalente a la condición de que, para todos los , Para los operadores lineales entre espacios vectoriales normados, la continuidad de Lipschitz es equivalente a la continuidad —un operador que satisface cualquiera de estas condiciones se llama acotado . ^[3] Por lo tanto, en este caso, y son topológicamente equivalentes si y solo si son fuertemente equivalentes; las normas y simplemente se dice que son equivalentes. ${\displaystyle d_{1}}$ ${\displaystyle d_{2}}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{A}}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{B}}$ ${\displaystyle x\in X}$ $${\displaystyle \alpha \|x\|_{A}\leq \|x\|_{B}\leq \beta \|x\|_{A}}$$ ${\displaystyle d_{1}}$ ${\displaystyle d_{2}}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{A}}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{B}}$

En espacios vectoriales de dimensión finita, todas las métricas inducidas por una norma, incluidas la métrica euclidiana , la métrica del taxi y la distancia de Chebyshev , son equivalentes. ^[4]

Propiedades preservadas por equivalencia

• La continuidad de una función se conserva si el dominio o el rango se remetrizan mediante una métrica equivalente, pero la continuidad uniforme se conserva solo mediante métricas fuertemente equivalentes. ^[5]
• La diferenciabilidad de una función , para un espacio normado y un subconjunto de un espacio normado, se conserva si el dominio o el rango se renormaliza mediante una norma fuertemente equivalente. ^[6] ${\displaystyle f:U\to V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle U}$
• Una métrica que es fuertemente equivalente a una métrica completa también es completa; lo mismo no es cierto para las métricas equivalentes porque los homeomorfismos no preservan la completitud. Por ejemplo, dado que y son homeomorfas, el homeomorfismo induce una métrica en la que es completa porque es, y genera la misma topología que la habitual, pero con la métrica habitual no es completa, porque la secuencia es de Cauchy pero no convergente. (No es de Cauchy en la métrica inducida). ${\displaystyle (0,1)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (0,1)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (0,1)}$ ${\displaystyle (2^{-n})_{n\in \mathbb {N} }}$

Notas

1. Bishop y Goldberg, pág. 10.
2. Ok, p. 137, nota al pie 12.
3. Carothers 2000, Teorema 8.20.
4. Carothers 2000, Teorema 8.22.
5. Ok, pág. 209.
6. Cartan, pág. 27.

Referencias

• Richard L. Bishop y Samuel I. Goldberg (1980). Análisis tensorial en variedades . Publicaciones de Dover.
• Carothers, NL (2000). Análisis real . Cambridge University Press. ISBN 0-521-49756-6.
• Henri Cartan (1971). Cálculo diferencial . Kershaw Publishing Company LTD. ISBN 0-395-12033-0.
• Efe Ok (2007). Análisis real con aplicaciones económicas . Princeton University Press. ISBN 0-691-11768-3.