Subaditividad

Propiedad de algunas funciones matemáticas

En matemáticas , la subaditividad es una propiedad de una función que establece, en términos generales, que evaluar la función para la suma de dos elementos del dominio siempre devuelve algo menor o igual a la suma de los valores de la función en cada elemento. Existen numerosos ejemplos de funciones subaditivas en diversas áreas de las matemáticas, en particular normas y raíces cuadradas . Los mapas aditivos son casos especiales de funciones subaditivas.

Definiciones

Una función subaditiva es una función que tiene un dominio A y un codominio ordenado B , ambos cerrados bajo adición, con la siguiente propiedad: ${\displaystyle f\colon A\to B}$ $${\displaystyle \forall x,y\in A,f(x+y)\leq f(x)+f(y).}$$

Un ejemplo es la función raíz cuadrada , que tiene como dominio y codominio los números reales no negativos : ya que tenemos: ${\displaystyle \forall x,y\geq 0}$ $${\displaystyle {\sqrt {x+y}}\leq {\sqrt {x}}+{\sqrt {y}}.}$$

Una sucesión se denomina subaditiva si satisface la desigualdad para todos los m y n . Este es un caso especial de función subaditiva, si una sucesión se interpreta como una función en el conjunto de números naturales. ${\displaystyle \left\{a_{n}\right\}_{n\geq 1}}$ $${\displaystyle a_{n+m}\leq a_{n}+a_{m}}$$

Tenga en cuenta que, si bien una secuencia cóncava es subaditiva, lo contrario es falso. Por ejemplo, si se asignan aleatoriamente valores en , la secuencia es subaditiva pero no cóncava. ${\displaystyle a_{1},a_{2},...}$ ${\displaystyle [0.5,1]}$

Propiedades

Secuencias

Un resultado útil relativo a las secuencias subaditivas es el siguiente lema de Michael Fekete . ^[1]

Lema subaditivo de Fekete  :  para cada sucesión subaditiva , el límite es igual al ínfimo . (El límite puede ser .) ${\displaystyle {\left\{a_{n}\right\}}_{n=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle \displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{n}}}$ ${\displaystyle \inf {\frac {a_{n}}{n}}}$ ${\displaystyle -\infty }$

Prueba

Dejar . ${\displaystyle s^{*}:=\inf _{n}{\frac {a_{n}}{n}}}$

Por definición, . Por lo tanto, basta con demostrar . ${\displaystyle \liminf _{n}{\frac {a_{n}}{n}}\geq s^{*}}$ ${\displaystyle \limsup _{n}{\frac {a_{n}}{n}}\leq s^{*}}$

Si no, entonces existe una subsecuencia , y una , tales que para todo . ${\displaystyle (a_{n_{k}})_{k}}$ ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle {\frac {a_{n_{k}}}{n_{k}}}>s^{*}+\epsilon }$ ${\displaystyle k}$

Puesto que , existe un tal que . ${\displaystyle s^{*}:=\inf _{n}{\frac {a_{n}}{n}}}$ ${\displaystyle a_{m}}$ ${\displaystyle {\frac {a_{m}}{m}}<s^{*}+\epsilon /2}$

Por el principio de casillero infinitario , existe una sub-subsecuencia cuyos índices pertenecen todos a la misma clase de residuo módulo , y por lo tanto avanzan en múltiplos de . Esta secuencia, continuada durante el tiempo suficiente, se vería obligada por la subaditividad a sumergirse por debajo de la línea de pendiente, una contradicción. ${\displaystyle (a_{n_{k}})_{k}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle s^{*}+\epsilon }$

En más detalle, por subaditividad, tenemos

${\textstyle {\begin{aligned}a_{n_{2}}&\leq a_{n_{1}}+a_{m}(n_{2}-n_{1})/m\\a_{n_{3}}&\leq a_{n_{2}}+a_{m}(n_{3}-n_{2})/m\leq a_{n_{1}}+a_{m}(n_{3}-n_{1})/m\\\cdots &\cdots \end{aligned}}}$

Lo que implica ${\displaystyle \limsup _{k}a_{n_{k}}/n_{k}\leq a_{m}/m<s^{*}+\epsilon }$

El análogo del lema de Fekete también se aplica a secuencias superaditivas, es decir: (El límite puede entonces ser infinito positivo: considérese la secuencia ). ${\displaystyle a_{n+m}\geq a_{n}+a_{m}.}$ ${\displaystyle a_{n}=\log n!}$

Hay extensiones del lema de Fekete que no requieren que la desigualdad se cumpla para todos los m y n , sino solo para m y n tales que ${\displaystyle a_{n+m}\leq a_{n}+a_{m}}$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}\leq {\frac {m}{n}}\leq 2.}$

Prueba

Continúe la prueba como antes, hasta que hayamos utilizado el principio del palomar infinito.

Consideremos la secuencia . Como , tenemos . De manera similar, tenemos , etc. ${\displaystyle a_{m},a_{2m},a_{3m},...}$ ${\displaystyle 2m/m=2}$ ${\displaystyle a_{2m}\leq 2a_{m}}$ ${\displaystyle a_{3m}\leq a_{2m}+a_{m}\leq 3a_{m}}$

Suponiendo que para cualquier , podemos usar la subaditividad sobre ellos si ${\displaystyle s,t\in \mathbb {N} }$

$${\displaystyle \ln(s+t)\in [\ln(1.5s),\ln(3s)]=\ln s+[\ln 1.5,\ln 3]}$$

Si estuviéramos tratando con variables continuas, entonces podríamos usar la subaditividad para ir de a , luego a , y así sucesivamente, lo que cubre todo el intervalo . ${\displaystyle a_{n_{k}}}$ ${\displaystyle a_{n_{k}}+[\ln 1.5,\ln 3]}$ ${\displaystyle a_{n_{k}}+\ln 1.5+[\ln 1.5,\ln 3]}$ ${\displaystyle a_{n_{k}}+[\ln 1.5,+\infty )}$

Aunque no tenemos variables continuas, podemos cubrir suficientes números enteros para completar la prueba. Sea lo suficientemente grande como para que ${\displaystyle n_{k}}$

$${\displaystyle \ln(2)>\ln(1.5)+\ln \left({\frac {1.5n_{k}+m}{1.5n_{k}}}\right)}$$Entonces, sea el número más pequeño en la intersección . Por la suposición de , es fácil ver (hacer un dibujo) que los intervalos y se tocan en el medio. Por lo tanto, al repetir este proceso, cubrimos la totalidad de . ${\displaystyle n'}$ ${\displaystyle (n_{k}+m\mathbb {Z} )\cap (\ln n_{k}+[\ln(1.5),\ln(3)])}$ ${\displaystyle n_{k}}$ ${\displaystyle \ln n_{k}+[\ln(1.5),\ln(3)]}$ ${\displaystyle \ln n'+[\ln(1.5),\ln(3)]}$ ${\displaystyle (n_{k}+m\mathbb {Z} )\cap (\ln n_{k}+[\ln(1.5),\infty ])}$

Con esto, todos quedan obligados a bajar como en la prueba anterior. ${\displaystyle a_{n_{k}},a_{n_{k+1}},...}$

Además, la condición puede debilitarse de la siguiente manera: siempre que sea una función creciente tal que la integral converja (cerca del infinito). ^[2] ${\displaystyle a_{n+m}\leq a_{n}+a_{m}}$ ${\displaystyle a_{n+m}\leq a_{n}+a_{m}+\phi (n+m)}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\textstyle \int \phi (t)t^{-2}\,dt}$

También hay resultados que permiten deducir la tasa de convergencia al límite cuya existencia se establece en el lema de Fekete si está presente algún tipo de superaditividad y subaditividad. ^{[3] [4]}

Además, se han demostrado análogos del lema de Fekete para mapas reales subaditivos (con supuestos adicionales) a partir de subconjuntos finitos de un grupo amable ^{[5] [6]} , ^[7] y, además, de un semigrupo cancellativo amable por la izquierda. ^[8]

Funciones

Teorema: ^[9]  —  Para cadafunción subaditiva medible el límiteexiste y es igual a(El límite puede ser) ${\displaystyle f:(0,\infty )\to \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \lim _{t\to \infty }{\frac {f(t)}{t}}}$ ${\displaystyle \inf _{t>0}{\frac {f(t)}{t}}.}$ ${\displaystyle -\infty .}$

Si f es una función subaditiva, y si 0 está en su dominio, entonces f (0) ≥ 0. Para ver esto, tome la desigualdad en la parte superior. . Por lo tanto ${\displaystyle f(x)\geq f(x+y)-f(y)}$ ${\displaystyle f(0)\geq f(0+y)-f(y)=0}$

Una función cóncava con también es subaditiva. Para comprobarlo, primero se observa que . Luego, si se observa la suma de este límite para y , se comprobará finalmente que f es subaditiva. ^[10] ${\displaystyle f:[0,\infty )\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(0)\geq 0}$ ${\displaystyle f(x)\geq \textstyle {\frac {y}{x+y}}f(0)+\textstyle {\frac {x}{x+y}}f(x+y)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f(y)}$

El negativo de una función subaditiva es superaditiva .

Ejemplos en varios dominios

Entropía

La entropía juega un papel fundamental en la teoría de la información y la física estadística , así como en la mecánica cuántica en una formulación generalizada debido a von Neumann . La entropía aparece siempre como una cantidad subaditiva en todas sus formulaciones, lo que significa que la entropía de un supersistema o una unión de conjuntos de variables aleatorias es siempre menor o igual que la suma de las entropías de sus componentes individuales. Además, la entropía en física satisface varias desigualdades más estrictas como la Subaditividad Fuerte de la Entropía en la mecánica estadística clásica y su análogo cuántico .

Ciencias económicas

La subaditividad es una propiedad esencial de algunas funciones de costos particulares . Es, en general, una condición necesaria y suficiente para la verificación de un monopolio natural . Implica que la producción de una sola empresa es socialmente menos costosa (en términos de costos promedio) que la producción de una fracción de la cantidad original por un número igual de empresas.

Las economías de escala están representadas por funciones de costo promedio subaditivas .

Excepto en el caso de los bienes complementarios, el precio de los bienes (como función de la cantidad) debe ser subaditivo. De lo contrario, si la suma del costo de dos artículos es más barata que el costo del paquete de dos de ellos juntos, entonces nadie compraría nunca el paquete, lo que en la práctica haría que el precio del paquete se "convirtiera" en la suma de los precios de los dos artículos por separado. De este modo, se demuestra que no es una condición suficiente para un monopolio natural, ya que la unidad de cambio puede no ser el costo real de un artículo. Esta situación es familiar para todos en el ámbito político, donde una minoría afirma que la pérdida de alguna libertad particular en algún nivel particular de gobierno significa que muchos gobiernos son mejores, mientras que la mayoría afirma que existe alguna otra unidad de costo correcta. ^{[ cita requerida ]}

Finanzas

La subaditividad es una de las propiedades deseables de las medidas de riesgo coherentes en la gestión de riesgos . ^[11] La intuición económica detrás de la subaditividad de la medida de riesgo es que la exposición al riesgo de una cartera debería, en el peor de los casos, ser simplemente igual a la suma de las exposiciones al riesgo de las posiciones individuales que componen la cartera. La falta de subaditividad es una de las principales críticas a los modelos VaR que no se basan en el supuesto de normalidad de los factores de riesgo. El VaR gaussiano asegura la subaditividad: por ejemplo, el VaR gaussiano de una cartera de dos posiciones largas unitarias en el nivel de confianza es, asumiendo que la variación media del valor de la cartera es cero y el VaR se define como una pérdida negativa, donde es la inversa de la función de distribución acumulativa normal en el nivel de probabilidad , son las varianzas de los retornos de las posiciones individuales y es la medida de correlación lineal entre los retornos de dos posiciones individuales. Dado que la varianza es siempre positiva, el VaR gaussiano es subaditivo para cualquier valor de y, en particular, es igual a la suma de las exposiciones al riesgo individuales cuando , que es el caso de que no haya efectos de diversificación en el riesgo de la cartera. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle 1-p}$ $${\displaystyle {\text{VaR}}_{p}\equiv z_{p}\sigma _{\Delta V}=z_{p}{\sqrt {\sigma _{x}^{2}+\sigma _{y}^{2}+2\rho _{xy}\sigma _{x}\sigma _{y}}}}$$ ${\displaystyle z_{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \sigma _{x}^{2},\sigma _{y}^{2}}$ ${\displaystyle \rho _{xy}}$ $${\displaystyle {\sqrt {\sigma _{x}^{2}+\sigma _{y}^{2}+2\rho _{xy}\sigma _{x}\sigma _{y}}}\leq \sigma _{x}+\sigma _{y}}$$ ${\displaystyle \rho _{xy}\in [-1,1]}$ ${\displaystyle \rho _{xy}=1}$

Termodinámica

La subaditividad ocurre en las propiedades termodinámicas de soluciones y mezclas no ideales, como el exceso de volumen molar y el calor de mezcla o el exceso de entalpía.

Combinatoria sobre palabras

Un lenguaje factorial es aquel en el que si una palabra está en , entonces todos los factores de esa palabra también están en . En la combinatoria de palabras, un problema común es determinar la cantidad de palabras de longitud en un lenguaje factorial. Claramente , también lo es subaditivo y, por lo tanto, el lema de Fekete se puede utilizar para estimar el crecimiento de . ^[12] ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle A(n)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A(m+n)\leq A(m)A(n)}$ ${\displaystyle \log A(n)}$ ${\displaystyle A(n)}$

Para cada , muestreamos dos cadenas de longitud de manera uniforme y aleatoria en el alfabeto . La longitud esperada de la subsecuencia común más larga es una función superaditiva de , y por lo tanto existe un número , tal que la longitud esperada crece como . Al comprobar el caso con , tenemos fácilmente . Sin embargo, solo se sabe que el valor exacto de incluso está entre 0,788 y 0,827. ^[13] ${\displaystyle k\geq 1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 1,2,...,k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \gamma _{k}\geq 0}$ ${\displaystyle \sim \gamma _{k}n}$ ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle {\frac {1}{k}}<\gamma _{k}\leq 1}$ ${\displaystyle \gamma _{2}}$

Véase también

• Propiedad molar aparente  : Diferencia entre las propiedades de un mol de sustancia en una mezcla y una solución ideal
• Choque integral
• Superaditividad  – Propiedad de una función
• Desigualdad triangular  – Propiedad de la geometría, también utilizada para generalizar la noción de “distancia” en espacios métricos

Notas

1. Fekete, M. (1923). "Über die Verteilung der Wurzeln bei gewissen algebraischen Gleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten". Mathematische Zeitschrift . 17 (1): 228–249. doi :10.1007/BF01504345. S2CID  186223729.
2. de Bruijn, NG; Erdös, P. (1952). "Algunas fórmulas de recursividad lineal y otras cuadráticas. II". Nederl. Akád. Wetensch. Proc. Ser. A . 55 : 152-163. doi :10.1016/S1385-7258(52)50021-0.(Lo mismo que Indagationes Math. 14. ) Véase también Steele 1997, Teorema 1.9.2.
3. Michael J. Steele. "Teoría de la probabilidad y optimización combinatoria". SIAM, Filadelfia (1997). ISBN 0-89871-380-3 . 
4. Michael J. Steele (2011). Conferencias CBMS sobre teoría de probabilidad y optimización combinatoria. Universidad de Cambridge.
5. Lindenstrauss, Elon ; Weiss, Benjamin (2000). "Dimensión topológica media". Revista israelí de matemáticas . 115 (1): 1–24. CiteSeerX 10.1.1.30.3552 . doi : 10.1007/BF02810577 . ISSN  0021-2172. Teorema 6.1
6. Ornstein, Donald S. ; Weiss, Benjamin (1987). "Teoremas de entropía e isomorfismo para acciones de grupos susceptibles". Journal d'Analyse Mathématique . 48 (1): 1–141. doi : 10.1007/BF02790325 . ISSN  0021-7670.
7. Gromov, Misha (1999). "Invariantes topológicos de sistemas dinámicos y espacios de aplicaciones holomorfas: I". Física matemática, análisis y geometría . 2 (4): 323–415. doi :10.1023/A:1009841100168. ISSN  1385-0172. S2CID  117100302.
8. Ceccherini-Silberstein, Tullio; Krieger, Fabrice; Coornaert, Michel (2014). "Un análogo del lema de Fekete para funciones subaditivas en semigrupos cancelables susceptibles". Revista de Análisis Matemático . 124 : 59–81. arXiv : 1209.6179 . doi : 10.1007/s11854-014-0027-4 .Teorema 1.1
9. Hille 1948, Teorema 6.6.1. (La mensurabilidad se estipula en la Sección 6.2 "Preliminares").
10. Schechter, Eric (1997). Manual de análisis y sus fundamentos . San Diego: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4., pág. 314, 12.25
11. Rau-Bredow, H. (2019). "Más grande no siempre es más seguro: un análisis crítico del supuesto de subaditividad para medidas de riesgo coherentes". Riesgos . 7 (3): 91. doi : 10.3390/risks7030091 . hdl : 10419/257929 .
12. Shur, Arseny (2012). "Propiedades de crecimiento de lenguajes sin potencia". Computer Science Review . 6 (5–6): 187–208. doi :10.1016/j.cosrev.2012.09.001.
13. Lueker, George S. (mayo de 2009). "Límites mejorados en la longitud promedio de las subsecuencias comunes más largas". Revista de la ACM . 56 (3): 1–38. doi :10.1145/1516512.1516519. ISSN  0004-5411. S2CID  7232681.

Referencias

• György Pólya y Gábor Szegő . Problemas y teoremas de análisis , vol. 1. Springer-Verlag, Nueva York (1976). ISBN 0-387-05672-6 . 
• Einar Hille . "Análisis funcional y semigrupos". American Mathematical Society, Nueva York (1948).
• NH Bingham, AJ Ostaszewski. "Funciones subaditivas genéricas". Actas de la American Mathematical Society, vol. 136, núm. 12 (2008), págs. 4257–4266.

Enlaces externos

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