Mapa que satisface una condición similar a la de ser un mapa abierto.
En el análisis funcional y áreas relacionadas de las matemáticas , una función casi abierta entre espacios topológicos es una función que satisface una condición similar, pero más débil, que la condición de ser una función abierta . Como se describe a continuación, para ciertas categorías amplias de espacios vectoriales topológicos , todos los operadores lineales sobreyectivos son necesariamente casi abiertos.
Definiciones
Dado un mapa sobreyectivo, un punto se llamaSe dice que el punto de apertura parayestáabierto en(o esun mapa abierto en) si para cada vecindario abiertodees unvecindariodeen(tenga en cuenta queno se requiere que el vecindario sea unabierto).
Una función sobreyectiva se llama función abierta si es abierta en cada punto de su dominio, mientras que se llama función casi abierta cada una de sus fibras tiene algún punto de apertura. Explícitamente, se dice que una función sobreyectiva es casi abierta si para cada existe alguna función abierta en
Toda función sobreyectiva casi abierta es necesariamente unamapa pseudoabierto (introducido porAlexander Arhangelskiien 1963), que por definición significa que para cadavecindariode(es decir,),es necesariamente un vecindario de
Mapa lineal casi abierto
Un mapa lineal entre dos espacios vectoriales topológicos (TVS) se denominaaplicación lineal casi abierta o unaaplicación lineal casi abiertasi para cualquier entornodeenel cierre deenes un entorno del origen. Es importante destacar que algunos autores utilizan una definición diferente de "aplicación casi abierta" en la que, en cambio, requieren que la aplicación linealsatisfaga: para cualquier entornodeenel cierre deen(en lugar de en) es un entorno del origen; este artículo no utilizará esta definición.
Si una función lineal es casi abierta entonces, dado que es un subespacio vectorial de que contiene un entorno del origen en la función, es necesariamente sobreyectiva . Por esta razón, muchos autores requieren la sobreyectividad como parte de la definición de "casi abierto".
Si es un operador lineal biyectivo, entonces es casi abierto si y sólo si es casi continuo.
Relación con los mapas abiertos
Toda función abierta sobreyectiva es una función casi abierta, pero en general, la recíproca no es necesariamente cierta. Si una función abierta sobreyectiva es una función casi abierta, será una función abierta si satisface la siguiente condición (que no depende en modo alguno de la topología de ):
- siempre que pertenezcan a la misma fibra de (es decir, ) entonces para cada vecindad de existe alguna vecindad de tal que
Si la función es continua, entonces también es necesaria la condición anterior para que la función sea abierta. Es decir, si es una sobreyección continua, entonces es una función abierta si y solo si es casi abierta y satisface la condición anterior.
Teoremas de mapeo abierto
- Teorema : Si es un operador lineal sobreyectivo de un espacio localmente convexo a un espacio en barril , entonces es casi abierto.
- Teorema : Si es un operador lineal sobreyectivo de un TVS en un espacio de Baire , entonces es casi abierto.
Los dos teoremas anteriores no requieren que la función lineal sobreyectiva satisfaga ninguna condición topológica.
- Teorema : Si es una TVS pseudometrizable completa , es una TVS de Hausdorff y es una sobreyección lineal cerrada y casi abierta, entonces es una función abierta.
- Teorema : Supongamos que es un operador lineal continuo de un TVS pseudometrizable completo en un TVS de Hausdorff. Si la imagen de es no exigua en entonces es una función abierta sobreyectiva y es un espacio metrizable completo.
Véase también
Referencias
Bibliografía
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