Propiedad de Baire

Diferencia de un conjunto abierto por un conjunto magro

Un subconjunto de un espacio topológico tiene la propiedad de Baire ( propiedad de Baire , llamada así por René-Louis Baire ), o se denomina conjunto casi abierto , si difiere de un conjunto abierto en un conjunto magro ; es decir, si existe un conjunto abierto tal que es magro (donde denota la diferencia simétrica ). ^[1] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U\subseteq X}$ ${\displaystyle A\bigtriangleup U}$ ${\displaystyle \bigtriangleup }$

Definiciones

Un subconjunto de un espacio topológico se denomina casi abierto y se dice que tiene la propiedad de Baire o la propiedad de Baire si existe un conjunto abierto tal que es un subconjunto magro , donde denota la diferencia simétrica . ^[1] Además, tiene la propiedad de Baire en sentido restringido si para cada subconjunto de la intersección tiene la propiedad de Baire relativa a . ^[2] ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U\subseteq X}$ ${\displaystyle A\bigtriangleup U}$ ${\displaystyle \bigtriangleup }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A\cap E}$ ${\displaystyle E}$

Propiedades

La familia de conjuntos con la propiedad de Baire forma una σ-álgebra . Es decir, el complemento de un conjunto casi abierto es casi abierto, y cualquier unión o intersección numerable de conjuntos casi abiertos es a su vez casi abierta. ^[1] Como todo conjunto abierto es casi abierto (el conjunto vacío es exiguo), se deduce que todo conjunto de Borel es casi abierto.

Si un subconjunto de un espacio polaco tiene la propiedad de Baire, entonces su juego de Banach–Mazur correspondiente está determinado . La inversa no se cumple; sin embargo, si cada juego en una clase puntual adecuada dada está determinado, entonces cada conjunto en tiene la propiedad de Baire. Por lo tanto, se sigue de la determinación proyectiva , que a su vez se sigue de cardinales suficientemente grandes , que cada conjunto proyectivo (en un espacio polaco) tiene la propiedad de Baire. ^[3] ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$

Del axioma de elección se sigue que existen conjuntos de números reales sin la propiedad de Baire. En particular, el conjunto de Vitali no tiene la propiedad de Baire. ^[4] Ya son suficientes versiones más débiles de la elección: el teorema del ideal primo de Boole implica que existe un ultrafiltro no principal en el conjunto de números naturales ; cada uno de estos ultrafiltros induce, a través de representaciones binarias de números reales, un conjunto de números reales sin la propiedad de Baire. ^[5]

Véase también

• Mapa casi abierto  – Mapa que satisface una condición similar a la de ser un mapa abierto.
• Teorema de la categoría de Baire  : sobre espacios topológicos donde la intersección de un número contable de conjuntos abiertos densos es densa
• Conjunto abierto  – Subconjunto básico de un espacio topológico

Referencias

1. Oxtoby, John C. (1980), "4. La propiedad de Baire", Medida y categoría, Textos de posgrado en matemáticas, vol. 2 (2.ª ed.), Springer-Verlag, págs. 19-21, ISBN 978-0-387-90508-2.
2. Kuratowski, Kazimierz (1966), Topología. Vol. 1 , Academic Press y editoriales científicas polacas.
3. Becker, Howard; Kechris, Alexander S. (1996), La teoría descriptiva de conjuntos de acciones grupales polacas, London Mathematical Society Lecture Note Series, vol. 232, Cambridge University Press, Cambridge, pág. 69, doi :10.1017/CBO9780511735264, ISBN 0-521-57605-9, Sr.  1425877.
4. Oxtoby (1980), pág. 22.
5. Blass, Andreas (2010), "Ultrafiltros y teoría de conjuntos", Ultrafiltros en las matemáticas , Contemporary Mathematics, vol. 530, Providence, RI: American Mathematical Society, págs. 49–71, doi :10.1090/conm/530/10440, MR  2757533. Véase en particular la pág. 64.

Enlaces externos

• Artículo de la Enciclopedia de Matemáticas de Springer sobre la propiedad de Baire