Mapa casi abierto

Map that satisfies a condition similar to that of being an open map.

En análisis funcional y áreas relacionadas de las matemáticas , un mapa casi abierto entre espacios topológicos es un mapa que satisface una condición similar, pero más débil, a la condición de ser un mapa abierto . Como se describe a continuación, para ciertas categorías amplias de espacios vectoriales topológicos , todos los operadores lineales sobreyectivos son necesariamente casi abiertos.

Definiciones

Dado un mapa sobreyectivo, un punto se llama ${\displaystyle f:X\to Y,}$ ${\displaystyle x\in X}$punto de apertura parayse dice que estáabierto en(oun mapa abierto en) si para cada vecindario abiertodees unvecindariodein(tenga en cuenta que no es necesario que el vecindariosea unabierto). ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle f(U)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f(U)}$

Un mapa sobreyectivo se llama mapa abierto si está abierto en cada punto de su dominio, mientras que se llama mapa casi abierto cada una de sus fibras tiene algún punto de apertura. Explícitamente, se dice que un mapa sobreyectivo es casi abierto si para cada existe alguno que esté abierto en Cada sobreyección casi abierta es necesariamente un mapa sobreyectivo. ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle y\in Y,}$ ${\displaystyle x\in f^{-1}(y)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x.}$mapa pseudoabierto (introducido porAlexander Arhangelskiien 1963), que por definición significa que para todosy cada uno de los barriosde(es decir,),es necesariamente un barrio de ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f^{-1}(y)}$ ${\displaystyle f^{-1}(y)\subseteq \operatorname {Int} _{X}U}$ ${\displaystyle f(U)}$ ${\displaystyle y.}$

Mapa lineal casi abierto.

Un mapa lineal entre dos espacios vectoriales topológicos (TVS) se llama ${\displaystyle T:X\to Y}$mapa lineal casi abierto o unmapa lineal casi abiertosi para cualquier vecindaddeenel cierre deines una vecindad del origen. Es importante destacar que algunos autores utilizan una definición diferente de "mapa casi abierto" en la que, en cambio, requieren que el mapa linealsatisfaga: para cualquier vecindaddeenel cierre deen(en lugar de en) es una vecindad del origen; este artículo no utilizará esta definición.^[1] ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle T(U)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle T(U)}$ ${\displaystyle T(X)}$ ${\displaystyle Y}$

Si un mapa lineal es casi abierto, entonces porque es un subespacio vectorial que contiene una vecindad del origen en el mapa es necesariamente sobreyectivo . Por este motivo, muchos autores exigen la sobreyectividad como parte de la definición de "casi abierto". ${\displaystyle T:X\to Y}$ ${\displaystyle T(X)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle T:X\to Y}$

Si es un operador lineal biyectivo, entonces es casi abierto si y sólo si es casi continuo. ^[1] ${\displaystyle T:X\to Y}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T^{-1}}$

Relación con mapas abiertos

Todo mapa abierto sobreyectivo es un mapa casi abierto pero, en general, lo contrario no es necesariamente cierto. Si una sobreyección es un mapa casi abierto, entonces será un mapa abierto si satisface la siguiente condición (una condición que no depende de ninguna manera de la topología de ): ${\displaystyle f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \sigma }$

siempre que pertenezcan a la misma fibra de (es decir, ) entonces, para cada vecindad de existe alguna vecindad de tal que ${\displaystyle m,n\in X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(m)=f(n)}$ ${\displaystyle U\in \tau }$ ${\displaystyle m,}$ ${\displaystyle V\in \tau }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle F(V)\subseteq F(U).}$

Si el mapa es continuo, entonces la condición anterior también es necesaria para que el mapa esté abierto. Es decir, si es una sobreyección continua entonces es un mapa abierto si y sólo si es casi abierto y satisface la condición anterior. ${\displaystyle f:X\to Y}$

Teoremas de mapeo abierto

Teorema : ^[1] Si es un operador lineal sobreyectivo de un espacio localmente convexo a un espacio en forma de barril, entonces está casi abierto. ${\displaystyle T:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle T}$

Teorema : ^[1] Si es un operador lineal sobreyectivo de un TVS a un espacio de Baire , entonces está casi abierto. ${\displaystyle T:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle T}$

Los dos teoremas anteriores no requieren que el mapa lineal sobreyectivo satisfaga ninguna condición topológica.

Teorema : ^[1] Si es un TVS pseudometrizable completo , es un TVS de Hausdorff y es una sobreyección lineal cerrada y casi abierta, entonces es un mapa abierto. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle T:X\to Y}$ ${\displaystyle T}$

Teorema : ^[1] Supongamos que es un operador lineal continuo de un TVS pseudometrizable completo a un TVS de Hausdorff. Si la imagen de no es exigua , entonces es un mapa abierto sobreyectivo y es un espacio metrizable completo. ${\displaystyle T:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle T:X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$

Ver también

• Conjunto casi abierto  – Diferencia de un conjunto abierto por un conjunto escasoPages displaying short descriptions of redirect targets
• Espacio en barril  : tipo de espacio vectorial topológico
• Teorema de la inversa acotada
• Gráfico cerrado  : gráfico de un mapa cerrado en el espacio del producto.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Teorema del gráfico cerrado  : teorema que relaciona la continuidad con los gráficos
• Conjunto abierto  : subconjunto básico de un espacio topológico
• Mapas abiertos y cerrados  : una función que envía subconjuntos abiertos (o cerrados) a subconjuntos abiertos (o cerrados)
• Teorema de mapeo abierto (análisis funcional)  : condición para que un operador lineal sea abierto (también conocido como teorema de Banach-Schauder)
• Mapa cuasi abierto  : función que asigna conjuntos abiertos no vacíos a conjuntos que tienen un interior no vacío en su codominio
• Sobreyección de espacios de Fréchet  – Caracterización de la sobreyección
• Espacio palmeado  : espacio donde se mantienen los teoremas de mapeo abierto y gráfico cerrado

Referencias

1. Narici y Beckenstein 2011, págs.

Bibliografía

• Bourbaki, Nicolás (1987) [1981]. Espacios vectoriales topológicos: capítulos 1 a 5 . Elementos matemáticos . Traducido por Eggleston, HG; Madan, S. Berlín Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-13627-4. OCLC  17499190.
• Husain, Taqdir; Khaleelulla, SM (1978). "Barrelness" en espacios vectoriales topológicos y ordenados . Apuntes de conferencias de matemáticas . vol. 692. Berlín, Nueva York, Heidelberg: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-09096-0. OCLC  4493665.
• Jarchow, Hans (1981). Espacios localmente convexos . Stuttgart: BG Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC  8210342.
• Khaleelulla, SM (1982). Contraejemplos en espacios vectoriales topológicos . Apuntes de conferencias de matemáticas . vol. 936. Berlín, Heidelberg, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC  8588370.
• Köthe, Gottfried (1983) [1969]. Espacios vectoriales topológicos I. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. vol. 159. Traducido por Garling, DJH Nueva York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. SEÑOR  0248498. OCLC  840293704.
• Narici, Lorenzo; Beckenstein, Eduardo (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemática pura y aplicada (Segunda ed.). Boca Ratón, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Robertson, Alex P.; Robertson, Wendy J. (1980). Espacios vectoriales topológicos . Tratados de Cambridge en Matemáticas. vol. 53. Cambridge Inglaterra: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-29882-7. OCLC  589250.
• Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer Nueva York Pie de imprenta Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Trèves, François (2006) [1967]. Espacios vectoriales topológicos, distribuciones y núcleos . Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.
• Wilansky, Albert (2013). Métodos modernos en espacios vectoriales topológicos . Mineola, Nueva York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC  849801114.