Propiedad de gráfico cerrado

Gráfica de un mapa cerrado en el espacio del producto.

En matemáticas , particularmente en análisis funcional y topología , la gráfica cerrada es una propiedad de las funciones . ^{[1] [2]} Una función f  : X → Y entre espacios topológicos tiene una gráfica cerrada si su gráfica es un subconjunto cerrado del espacio producto X ×  Y . Una propiedad relacionada es el gráfico abierto . ^[3]

Esta propiedad se estudia porque existen muchos teoremas, conocidos como teoremas de gráfica cerrada , que dan condiciones bajo las cuales una función con gráfica cerrada es necesariamente continua . Una clase particularmente conocida de teoremas de grafos cerrados son los teoremas de grafos cerrados en el análisis funcional .

Definiciones

Gráficos y funciones de valores establecidos

Definición y notación : La gráfica de una función f  : X → Y es el conjunto

Gr f  := { ( x , f ( x ) ) : x ∈ X  } = { ( x , y ) ∈ X ×  Y  : y = f ( x ) } .

Notación : Si Y es un conjunto, entonces el conjunto potencia de Y , que es el conjunto de todos los subconjuntos de Y , se denota por 2 ^Y o 𝒫( Y ) .

Definición : si X e Y son conjuntos, una función con valores establecidos en Y en X (también llamada multifunción con valores Y en X ) es una función F  : X → 2 ^Y con dominio X que se valora en 2 ^Y. Es decir, F es una función sobre X tal que para cada x ∈ X , F ( x ) es un subconjunto de Y .

• Algunos autores llaman a una función F  : X → 2 ^Y una función de valores conjuntos sólo si satisface el requisito adicional de que F ( x ) no está vacía para cada x ∈ X ; este artículo no requiere esto.

Definición y notación : Si F  : X → 2 ^Y es una función con valores establecidos en un conjunto Y , entonces la gráfica de F es el conjunto

Gr F  := { ( x , y ) ∈ X ×  Y  : y ∈ F ( x ) } .

Definición : Una función f  : X → Y se puede identificar canónicamente con la función con valores establecidos F  : X → 2 ^Y definida por F ( x ) := { f ( x ) } para cada x ∈ X , donde F se llama función canónica de valores conjuntos inducida por (o asociada con) f .

• Tenga en cuenta que en este caso, Gr f = Gr F .

Gráfico abierto y cerrado

Damos la definición más general de cuándo una función con valores de Y o una función con valores de conjunto definida en un subconjunto S de X tiene una gráfica cerrada, ya que esta generalidad es necesaria en el estudio de operadores lineales cerrados que se definen en un subespacio denso S de un espacio vectorial topológico X (y no necesariamente definido en todo X ). Este caso particular es una de las principales razones por las que en el análisis funcional se estudian funciones con gráficas cerradas .

Supuestos : en todo momento, X e Y son espacios topológicos , S ⊆ X , y f es una función con valores de Y o una función con valores establecidos en S (es decir , f  : S → Y o f  : S → 2 ^Y ). X ×  Y siempre estará dotado de la topología del producto .

Definición : ^[4] Decimos que f   tiene una gráfica cerrada (respectivamente gráfica abierta , gráfica secuencialmente cerrada , gráfica secuencialmente abierta ) en X ×  Y si la gráfica de f , Gr f , es cerrada ( resp. abierta , secuencialmente cerrada) . , secuencialmente abierto ) subconjunto de X ×  Y cuando X ×  Y está dotado de la topología del producto . Si S = X o si X se desprende claramente del contexto, entonces podemos omitir escribir "en X ×  Y "

Observación : Si g  : S → Y es una función y G es la función canónica de valores establecidos inducida por g   (es decir, G  : S → 2 ^Y está definida por G ( s ) := { g ( s ) } para cada s ∈ S ) entonces, dado que Gr g = Gr G , g tiene un gráfico cerrado (resp. secuencialmente cerrado, abierto, secuencialmente abierto) en X × Y  si y solo si lo mismo ocurre con G.

Mapas que se pueden cerrar y cierres.

Definición : Decimos que la función (resp. función con valores establecidos) f se puede cerrar en X ×  Y si existe un subconjunto D ⊆ X que contiene S y una función (resp. función con valores establecidos) F  : D → Y cuyo gráfico es igual a la clausura del conjunto Gr f en X ×  Y . Tal F se llama cierre de f en X ×  Y , se denota por f y necesariamente extiende f .

• Supuestos adicionales para mapas lineales : si además, S , X e Y son espacios vectoriales topológicos y f  : S → Y es un mapa lineal, entonces para llamar a f cerrable también requerimos que el conjunto D sea un subespacio vectorial de X y el cierre de f sea un mapa lineal.

Definición : Si f se puede cerrar en S , entonces un núcleo o dominio esencial de f es un subconjunto D ⊆ S tal que el cierre en X ×  Y de la gráfica de la restricción f  | _D  : D → Y de f a D es igual al cierre de la gráfica de f en X ×  Y (es decir, el cierre de Gr f en X ×  Y es igual al cierre de Gr f  | _D en X ×  Y ).

Mapas cerrados y operadores lineales cerrados.

Definición y notación : Cuando escribimos f  : D ( f ) ⊆ X → Y entonces queremos decir que f es una función valorada en Y con dominio D ( f ) donde D ( f ) ⊆ X . Si decimos que f  : D ( f ) ⊆ X → Y está cerrada (resp. secuencialmente cerrada ) o tiene una gráfica cerrada (resp. tiene una gráfica secuencialmente cerrada ), entonces queremos decir que la gráfica de f está cerrada (resp. secuencialmente cerrado) en X ×  Y (en lugar de en D ( f ) ×  Y ).

Al leer literatura sobre análisis funcional , si f  : X → Y es un mapa lineal entre espacios vectoriales topológicos (TVS) (por ejemplo, espacios de Banach ), entonces " f está cerrado" casi siempre significará lo siguiente:

Definición : Una aplicación f  : X → Y se llama cerrada si su gráfica es cerrada en X ×  Y. En particular, el término " operador lineal cerrado " casi con certeza se referirá a un mapa lineal cuyo gráfico es cerrado.

De lo contrario, especialmente en la literatura sobre topología de conjuntos de puntos , " f está cerrada" puede significar lo siguiente:

Definición : Un mapa f  : X → Y entre espacios topológicos se llama mapa cerrado si la imagen de un subconjunto cerrado de X es un subconjunto cerrado de Y.

Estas dos definiciones de "mapa cerrado" no son equivalentes. Si no está claro, se recomienda que el lector compruebe cómo se define "mapa cerrado" en la literatura que está leyendo.

Caracterizaciones

En todo momento, sean X e Y espacios topológicos.

Función con gráfica cerrada.

Si f  : X → Y es una función, entonces las siguientes son equivalentes:

1. f   tiene una gráfica cerrada (en X ×  Y );
2. (definición) la gráfica de f , Gr f , es un subconjunto cerrado de X ×  Y ;
3. para cada x ∈ X y neto x _• = ( x _i ) _{i ∈ I} en X tal que x _• → x en X , si y ∈ Y es tal que el neto f ( x _• ) := ( f ( x _i ) ) _{i ∈ I} → y en Y entonces y = f ( x ) ; ^[4]
   • Compare esto con la definición de continuidad en términos de redes, que recuerda es la siguiente: para cada x ∈ X y red x _• = ( x _i ) _{i ∈ I} en X tal que x _• → x en X , f ( x _• ) → f ( x ) en Y .
   • Así, para demostrar que la función f tiene una gráfica cerrada podemos suponer que f ( x _• ) converge en Y con algún y ∈ Y (y luego demostrar que y = f ( x ) ) mientras que para demostrar que f es continua no podemos supongamos que f ( x _• ) converge en Y con algún y ∈ Y y, en cambio, debemos demostrar que esto es cierto (y además, debemos demostrar más específicamente que f ( x _• ) converge con f ( x ) en Y ).

y si Y es un espacio compacto de Hausdorff entonces podemos agregar a esta lista:

4. f   es continua; ^[5]

y si tanto X como Y son los primeros espacios contables, entonces podemos agregar a esta lista:

5. f   tiene una gráfica secuencialmente cerrada (en X ×  Y );

Función con gráfica secuencialmente cerrada.

Si f  : X → Y es una función, entonces las siguientes son equivalentes:

1. f   tiene una gráfica secuencialmente cerrada (en X ×  Y );
2. (definición) la gráfica de f es un subconjunto secuencialmente cerrado de X ×  Y ;
3. para cada x ∈ X y secuencia x _• = ( x _i )^∞
   _{yo =1}en X tal que x _• → x en X , si y ∈ Y es tal que la red f ( x _• ) := ( f ( x _i ))^∞
   _{yo =1}→ y en Y entonces y = f ( x ) ; ^[4]

función de valor establecido con un gráfico cerrado

Si F  : X → 2 ^Y es una función con valores establecidos entre espacios topológicos X e Y , entonces lo siguiente es equivalente:

1. F   tiene una gráfica cerrada (en X ×  Y );
2. (definición) la gráfica de F es un subconjunto cerrado de X ×  Y ;

y si Y es compacto y Hausdorff entonces podemos agregar a esta lista:

3. F es hemicontinua superior y F ( x ) es un subconjunto cerrado de Y para todo x ∈ X ; ^[6]

y si tanto X como Y son espacios metrizables entonces podemos agregar a esta lista:

4. para todo x ∈ X , y ∈ Y , y secuencias x _• = ( x _i )^∞
   _{yo =1}en X e y _• = ( y _i )^∞
   _{yo =1}en Y tal que x _• → x en X y y _• → y en Y , y y _i ∈ F ( x _i ) para todo i , entonces y ∈ F ( x ) . ^{[ cita necesaria ]}

Condiciones suficientes para un gráfico cerrado.

• Si f  : X → Y es una función continua entre espacios topológicos y si Y es Hausdorff entonces f   tiene una gráfica cerrada en X ×  Y . ^[4]
  • Tenga en cuenta que si f  : X → Y es una función entre espacios topológicos de Hausdorff, entonces es posible que f   tenga una gráfica cerrada en X ×  Y pero no sea continua.

Teoremas de grafo cerrado: cuando un grafo cerrado implica continuidad

Las condiciones que garantizan que una función con gráfica cerrada sea necesariamente continua se llaman teoremas de gráfica cerrada . Los teoremas de grafos cerrados son de particular interés en el análisis funcional donde hay muchos teoremas que dan condiciones bajo las cuales un mapa lineal con un gráfico cerrado es necesariamente continuo.

• Si f  : X → Y es una función entre espacios topológicos cuya gráfica está cerrada en X ×  Y y si Y es un espacio compacto entonces f  : X → Y es continua. ^[4]

Ejemplos

Mapas continuos pero no cerrados.

• Sea X los números reales ℝ con la topología euclidiana habitual y Y denote ℝ con la topología indiscreta (donde tenga en cuenta que Y no es Hausdorff y que cada función valorada en Y es continua). Sea f  : X → Y definido por f (0) = 1 y f ( x ) = 0 para todo x ≠ 0 . Entonces f  : X → Y es continua pero su gráfica no es cerrada en X ×  Y . ^[4]
• Si X es cualquier espacio entonces la aplicación identidad Id : X → X es continua pero su gráfica, que es la diagonal Gr Id := { ( x , x ) : x ∈ X  } , es cerrada en X × X si y sólo si X es Hausdorff. ^[7] En particular, si X no es Hausdorff entonces Id : X → X es continuo pero no cerrado.
• Si f  : X → Y es una aplicación continua cuya gráfica no es cerrada, entonces Y no es un espacio de Hausdorff.

Mapas cerrados pero no continuos.

• Sean X e Y los números reales ℝ con la topología euclidiana habitual . Sea f  : X → Y definida por f (0) = 0 y f ( x ) =1/Xpara todo x ≠ 0 . Entonces f  : X → Y tiene una gráfica cerrada (y una gráfica secuencialmente cerrada) en X ×  Y = ℝ ² pero no es continua (ya que tiene una discontinuidad en x = 0 ). ^[4]
• Sea X los números reales ℝ con la topología euclidiana habitual , sea Y el ℝ con la topología discreta y sea Id : X → Y el mapa de identidad (es decir, Id( x ) := x para cada x ∈ X ). Entonces Id : X → Y es un mapa lineal cuya gráfica está cerrada en X ×  Y pero claramente no es continua (ya que los conjuntos singleton son abiertos en Y pero no en X ). ^[4]
• Sea ( X , 𝜏) un TVS de Hausdorff y sea 𝜐 una topología vectorial en X que es estrictamente más fina que 𝜏 . Entonces el mapa de identidad Id : ( X , 𝜏) → ( X , 𝜐 ) es un operador lineal discontinuo cerrado. ^[8]

Operadores lineales cerrados

Todo operador lineal continuo valorado en un espacio vectorial topológico (TVS) de Hausdorff tiene un gráfico cerrado y recordemos que un operador lineal entre dos espacios normados es continuo si y solo si está acotado .

Definición : Si X e Y son espacios vectoriales topológicos (TVS), entonces llamamos a un mapa lineal f  : D ( f ) ⊆ X → Y operador lineal cerrado si su gráfica es cerrada en X ×  Y .

Teorema del gráfico cerrado

El teorema del grafo cerrado establece que cualquier operador lineal cerrado f  : X → Y entre dos espacios F (como los espacios de Banach ) es continuo, donde recordemos que si X e Y son espacios de Banach entonces f  : X → Y siendo continuo es equivalente a f estar limitado.

Propiedades básicas

Las siguientes propiedades se verifican fácilmente para un operador lineal f  : D ( f ) ⊆ X → Y entre espacios de Banach:

• Si A es cerrado entonces A − λ Id _{D ( f )} es cerrado donde λ es un escalar e Id _{D ( f )} es la función identidad ;
• Si f es cerrado, entonces su núcleo (o espacio nulo) es un subespacio vectorial cerrado de X ;
• Si f es cerrada e inyectiva entonces su inversa f  ⁻¹ también es cerrada;
• Un operador lineal f admite cierre si y sólo si para cada x ∈ X y cada par de sucesiones x _• = ( x _i )^∞
  _{yo =1}y y _• = ( y _yo )^∞
  _{yo =1}en D ( f ) ambos convergen a x en X , de modo que ambos f ( x _• ) = ( f ( x _i ))^∞
  _{yo =1}y f ( y _• ) = ( f ( y _i ))^∞
  _{yo =1}convergen en Y , uno tiene lim _{i → ∞} fx _i = lim _{i → ∞} fy _i .

Ejemplo

Considere el operador derivativo A =d/dxdonde X = Y = C ([ a , b ]) es el espacio de Banach de todas las funciones continuas en un intervalo [ a , b ] . Si se toma su dominio D ( f ) como C ¹ ([ a , b ]) , entonces f es un operador cerrado, que no está acotado. ^[9] Por otro lado si D ( f ) = C ^∞ ([ a , b ]) , entonces f ya no estará cerrada, pero será cerrable, siendo el cierre su extensión definida en C ¹ ([ a , b ]) .

Ver también

• Mapa lineal casi abierto  – Mapa que satisface una condición similar a la de ser un mapa abierto.Páginas que muestran descripciones breves de los objetivos de redireccionamiento
• Teorema del gráfico cerrado  : teorema que relaciona la continuidad con los gráficos
• Teorema de gráfico cerrado (análisis funcional)  : teoremas que conectan la continuidad con el cierre de gráficos
• Teorema del punto fijo de Kakutani  : teorema del punto fijo para funciones con valores establecidos
• Teorema de mapeo abierto (análisis funcional)  : condición para que un operador lineal esté abierto
• Espacio palmeado  : espacio donde se mantienen los teoremas de mapeo abierto y gráfico cerrado

Referencias

1. Baggs, Iván (1974). "Funciones con gráfica cerrada". Actas de la Sociedad Matemática Estadounidense . 43 (2): 439–442. doi : 10.1090/S0002-9939-1974-0334132-8 . ISSN  0002-9939.
2. Ursescu, Corneliu (1975). "Multifunciones con gráfico cerrado convexo". Revista de Matemáticas Checoslovaca . 25 (3): 438–441. doi : 10.21136/CMJ.1975.101337 . ISSN  0011-4642.
3. Shafer, Wayne; Sonnenschein, Hugo (1 de diciembre de 1975). «Equilibrio en economías abstractas sin preferencias ordenadas» (PDF) . Revista de Economía Matemática . 2 (3): 345–348. doi :10.1016/0304-4068(75)90002-6. hdl : 10419/220454 . ISSN  0304-4068.
4. Narici y Beckenstein 2011, págs.
5. Munkres 2000, pag. 171.
6. Aliprantis, Charlambos; Kim C. Frontera (1999). "Capítulo 17". Análisis dimensional infinito: una guía para el autoestopista (3ª ed.). Saltador.
7. Rudin p.50
8. Narici y Beckenstein 2011, pag. 480.
9. Kreyszig, Erwin (1978). Análisis funcional introductorio con aplicaciones . Estados Unidos: John Wiley & Sons. Inc. pág. 294.ISBN​ 0-471-50731-8.

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• Narici, Lorenzo; Beckenstein, Eduardo (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemática pura y aplicada (Segunda ed.). Boca Ratón, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
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