Teorema del grafo cerrado (análisis funcional)

Teoremas que conectan la continuidad con el cierre de grafos

En matemáticas, particularmente en análisis funcional , el teorema del grafo cerrado es un resultado que relaciona la continuidad de un operador lineal con una propiedad topológica de su grafo . Precisamente, el teorema establece que un operador lineal entre dos espacios de Banach es continuo si y solo si el grafo del operador es cerrado (tal operador se denomina operador lineal cerrado ; véase también propiedad del grafo cerrado ).

Una de las cuestiones importantes en el análisis funcional es la de la continuidad (o acotación) de un operador lineal determinado. El teorema del grafo cerrado ofrece una respuesta a esa pregunta.

Explicación

Sea un operador lineal entre espacios de Banach (o más generalmente espacios de Fréchet). Entonces la continuidad de significa que para cada secuencia convergente . Por otro lado, la cerrazón del grafo de significa que para cada secuencia convergente tal que , tenemos . Por lo tanto, el teorema del grafo cerrado dice que para comprobar la continuidad de , se puede demostrar bajo el supuesto adicional de que es convergente. ${\displaystyle T:X\to Y}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle Tx_{i}\to Tx}$ ${\displaystyle x_{i}\to x}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle x_{i}\to x}$ ${\displaystyle Tx_{i}\to y}$ ${\displaystyle y=Tx}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle Tx_{i}\to Tx}$ ${\displaystyle Tx_{i}}$

En efecto, para que el grafo de T sea cerrado, basta con que si , entonces . En efecto, suponiendo que se cumple esa condición, si , entonces y . Por tanto, ; es decir, está en el grafo de T . ${\displaystyle x_{i}\to 0,\,Tx_{i}\to y}$ ${\displaystyle y=0}$ ${\displaystyle (x_{i},Tx_{i})\to (x,y)}$ ${\displaystyle x_{i}-x\to 0}$ ${\displaystyle T(x_{i}-x)\to y-Tx}$ ${\displaystyle y=Tx}$ ${\displaystyle (x,y)}$

Nótese que, para comprobar la cerrazón de un grafo, ni siquiera es necesario utilizar la topología normal: si el grafo de T está cerrado en alguna topología más burda que la topología normal, entonces está cerrado en la topología normal. ^[1] En la práctica, esto funciona así: T es algún operador en algún espacio de funciones. Se muestra que T es continuo con respecto a la topología de distribución ; por lo tanto, el grafo está cerrado en esa topología, lo que implica cerrazón en la topología normal y luego T está acotado por el teorema de grafo cerrado (cuando se aplica el teorema). Véase § Ejemplo para un ejemplo explícito.

Declaración

Teorema  —  ^[2] Si es un operador lineal entre espacios de Banach (o más generalmente espacios de Fréchet ), entonces los siguientes son equivalentes: ${\displaystyle T:X\to Y}$

1. ${\displaystyle T}$es continua
2. El gráfico de está cerrado en la topología del producto en ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X\times Y.}$

La prueba habitual del teorema del grafo cerrado emplea el teorema de aplicación abierta . Simplemente utiliza una receta general para obtener el teorema del grafo cerrado a partir del teorema de aplicación abierta; véase teorema del grafo cerrado § Relación con el teorema de aplicación abierta (esta deducción es formal y no utiliza linealidad; la linealidad es necesaria para apelar al teorema de aplicación abierta que se basa en la linealidad).

De hecho, el teorema de aplicación abierta puede a su vez deducirse del teorema del grafo cerrado de la siguiente manera. Como se señala en Teorema de aplicación abierta (análisis funcional) § Enunciado y demostración , es suficiente demostrar el teorema de aplicación abierta para un operador lineal continuo que sea biyectivo (no solo sobreyectivo). Sea T un operador de este tipo. Entonces, por continuidad, el grafo de T es cerrado. Entonces, bajo . Por lo tanto, por el teorema del grafo cerrado, es continua; es decir, T es una aplicación abierta. ${\displaystyle \Gamma _{T}}$ ${\displaystyle \Gamma _{T}\simeq \Gamma _{T^{-1}}}$ ${\displaystyle (x,y)\mapsto (y,x)}$ ${\displaystyle T^{-1}}$

Dado que el teorema del grafo cerrado es equivalente al teorema de aplicación abierta, se sabe que el teorema falla sin el supuesto de completitud. Pero, más concretamente, existe un operador con grafo cerrado que no está acotado (ver operador no acotado ) y, por lo tanto, sirve como contraejemplo.

Ejemplo

La desigualdad de Hausdorff-Young dice que la transformación de Fourier es un operador acotado bien definido con una norma de operador uno cuando . Este resultado se suele demostrar utilizando el teorema de interpolación de Riesz-Thorin y es altamente no trivial. El teorema del grafo cerrado se puede utilizar para demostrar una versión suave de este resultado; es decir, la transformación de Fourier es un operador acotado con la norma de operador desconocida. ^[3] ${\displaystyle {\widehat {\cdot }}:L^{p}(\mathbb {R} ^{n})\to L^{p'}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle 1/p+1/p'=1}$

Así es como se desarrollaría el argumento. Sea T la transformación de Fourier. Primero, mostramos que es un operador lineal continuo para Z = el espacio de distribuciones templadas en . Segundo, notamos que T mapea el espacio de funciones de Schwarz a sí mismo (en resumen, porque la suavidad y el decaimiento rápido se transforman en decaimiento rápido y suavidad, respectivamente). Esto implica que el gráfico de T está contenido en y está definido pero con límites desconocidos. ^{[ aclaración necesaria ]} Dado que es continuo, el gráfico de es cerrado en la topología de distribución; por lo tanto en la topología de norma. Finalmente, por el teorema del grafo cerrado, es un operador acotado. ${\displaystyle T:L^{p}\to Z}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle L^{p}\times L^{p'}}$ ${\displaystyle T:L^{p}\to L^{p'}}$ ${\displaystyle T:L^{p}\to Z}$ ${\displaystyle T:L^{p}\to L^{p'}}$ ${\displaystyle T:L^{p}\to L^{p'}}$

Generalización

Codominio metrizable completo

El teorema del grafo cerrado se puede generalizar desde los espacios de Banach a espacios vectoriales topológicos más abstractos de las siguientes maneras.

Teorema  :  Un operador lineal de un espacio de barril a un espacio de Fréchet es continuo si y solo si su gráfico es cerrado. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Entre espacios F

Hay versiones que no requieren ser localmente convexas. ${\displaystyle Y}$

Teorema  :  Una función lineal entre dos F-espacios es continua si y sólo si su gráfico es cerrado. ^{[4] [5]}

Este teorema se reformula y se amplía con algunas condiciones que pueden usarse para determinar si un gráfico está cerrado:

Teorema  —  Si es una función lineal entre dos F-espacios , entonces los siguientes son equivalentes: ${\displaystyle T:X\to Y}$

1. ${\displaystyle T}$es continua
2. ${\displaystyle T}$tiene un gráfico cerrado.
3. Si en y si converge en algún entonces ^[6] ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\to x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T\left(x_{\bullet }\right):=\left(T\left(x_{i}\right)\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle y\in Y,}$ ${\displaystyle y=T(x).}$
4. Si en y si converge en algún entonces ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\to 0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T\left(x_{\bullet }\right)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle y\in Y,}$ ${\displaystyle y=0.}$

Codominio pseudometrizable completo

Todo espacio topológico metrizable es pseudometrizable . Un espacio pseudometrizable es metrizable si y sólo si es de Hausdorff .

Teorema de grafos cerrados ^[7]  —  Además, una función lineal cerrada de un espacio ultrabarrelado localmente convexo en un TVS pseudometrizable completo es continua.

Teorema de grafo cerrado  :  una función lineal cerrada y acotada de un espacio infrabarrilado localmente convexo a un espacio localmente convexo pseudometrizable completo es continua. ^[7]

Codominio no completo o (pseudo)metrizable

Teorema ^[8]  —  Supóngase que es una función lineal cuyo gráfico es cerrado. Si es un límite inductivo de TVS de Baire y es un espacio en red, entonces es continuo. ${\displaystyle T:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle T}$

Teorema de grafos cerrados ^[7]  —  Una función lineal sobreyectiva cerrada de un TVS pseudometrizable completo sobre un espacio ultrabarrelado localmente convexo es continua.

Una versión aún más general del teorema del grafo cerrado es

Teorema ^[9]  —  Supóngase que y son dos espacios vectoriales topológicos (no necesitan ser de Hausdorff o localmente convexos) con la siguiente propiedad: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Si es cualquier subespacio cerrado de y es cualquier aplicación continua de sobre entonces es una aplicación abierta. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle u}$

Bajo esta condición, si es una función lineal cuyo gráfico está cerrado entonces es continua. ${\displaystyle T:X\to Y}$ ${\displaystyle T}$

Teorema del grafo de Borel

El teorema del grafo de Borel, demostrado por L. Schwartz, muestra que el teorema del grafo cerrado es válido para aplicaciones lineales definidas y valoradas en la mayoría de los espacios encontrados en el análisis. ^[10] Recordemos que un espacio topológico se denomina espacio polaco si es un espacio metrizable completo separable y que un espacio de Souslin es la imagen continua de un espacio polaco. El dual débil de un espacio de Fréchet separable y el dual fuerte de un espacio de Fréchet-Montel separable son espacios de Souslin. Además, el espacio de distribuciones y todos los espacios Lp sobre subconjuntos abiertos del espacio euclidiano, así como muchos otros espacios que se dan en el análisis, son espacios de Souslin. El teorema del grafo de Borel establece:

Teorema del grafo de Borel  :  Sea una función lineal entre dos espacios de Hausdorff localmente convexos y Si es el límite inductivo de una familia arbitraria de espacios de Banach, si es un espacio de Souslin y si el grafo de es un conjunto de Borel en entonces es continuo. ^[10] ${\displaystyle u:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle X\times Y,}$ ${\displaystyle u}$

Una mejora de este teorema, demostrada por A. Martineau, utiliza espacios K-analíticos.

Un espacio topológico se denomina si es la intersección contable de uniones contables de conjuntos compactos. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K_{\sigma \delta }}$

Un espacio topológico de Hausdorff se denomina K-analítico si es la imagen continua de un espacio (es decir, si existe un espacio y una función continua de sobre ). ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle K_{\sigma \delta }}$ ${\displaystyle K_{\sigma \delta }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Todo conjunto compacto es K-analítico, de modo que existen espacios K-analíticos no separables. Además, todo espacio polaco, de Souslin y de Fréchet reflexivo es K-analítico, al igual que el dual débil de un espacio de Frechet. El teorema generalizado del grafo de Borel establece:

Teorema generalizado del grafo de Borel ^[11]  —  Sea una función lineal entre dos espacios de Hausdorff localmente convexos y Si es el límite inductivo de una familia arbitraria de espacios de Banach, si es un espacio K-analítico y si el grafo de está cerrado en entonces es continuo. ${\displaystyle u:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle X\times Y,}$ ${\displaystyle u}$

Resultados relacionados

Si es un operador lineal cerrado de un TVS localmente convexo de Hausdorff en un TVS de dimensión finita de Hausdorff, entonces es continuo. ^[12] ${\displaystyle F:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle F}$

Véase también

• Mapa lineal casi abierto  – Mapa que satisface una condición similar a la de ser un mapa abierto.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Espacio en barril  : tipo de espacio vectorial topológico
• Grafo cerrado  – Gráfica de un mapa cerrado en el espacio del productoPages displaying short descriptions of redirect targets
• Operador lineal cerrado
• Operador densamente definido  : función que está definida casi en todas partes (matemáticas)
• Mapa lineal discontinuo
• Teorema del punto fijo de Kakutani  : Teorema del punto fijo para funciones con valores conjuntos
• Teorema de aplicación abierta (análisis funcional)  : condición para que un operador lineal sea abierto
• Teorema de Ursescu  : generalización del grafo cerrado, aplicación abierta y teorema de acotación uniforme
• Espacio en red  : espacio donde se cumplen los teoremas de mapeo abierto y grafos cerrados

Referencias

Notas

1. Teorema 4 de Tao. NB: El Hausdorffness se pone allí para asegurar que el gráfico de una función continua esté cerrado.
2. Vogt 2000, Teorema 1.8.
3. Tao, Ejemplo 3
4. Schaefer y Wolff 1999, pág. 78.
5. Trèves (2006), pág. 173
6. Rudin 1991, págs. 50–52.
7. Narici y Beckenstein 2011, págs. 474–476.
8. Narici y Beckenstein 2011, págs. 479-483.
9. Trèves 2006, pág. 169.
10. Trèves 2006, pág. 549.
11. Trèves 2006, págs. 557–558.
12. Narici y Beckenstein 2011, pág. 476.

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