Espacio LP

Espacios funcionales que generalizan espacios normativos p de dimensión finita

En matemáticas , los espacios L ^p son espacios funcionales definidos mediante una generalización natural de la p -norma para espacios vectoriales de dimensión finita . A veces se los llama espacios de Lebesgue , en honor a Henri Lebesgue (Dunford & Schwartz 1958, III.3), aunque según el grupo de Bourbaki (Bourbaki 1987) fueron introducidos por primera vez por Frigyes Riesz (Riesz 1910).

Los espacios ^{de Lebesgue} forman una clase importante de espacios de Banach en el análisis funcional y de espacios vectoriales topológicos . Debido a su papel clave en el análisis matemático de espacios de medida y probabilidad, los espacios de Lebesgue también se utilizan en la discusión teórica de problemas en física, estadística, economía, finanzas, ingeniería y otras disciplinas.

Aplicaciones

Estadística

En estadística, las medidas de tendencia central y dispersión estadística , como la media , la mediana y la desviación estándar , pueden definirse en términos de métricas, y las medidas de tendencia central pueden caracterizarse como soluciones a problemas variacionales . ${\displaystyle L^{p}}$

En la regresión penalizada , la "penalización L1" y la "penalización L2" se refieren a penalizar la norma del vector de valores de parámetros de una solución (es decir, la suma de sus valores absolutos) o su norma al cuadrado (su longitud euclidiana ). Las técnicas que utilizan una penalización L1, como LASSO , fomentan las soluciones dispersas (donde los muchos parámetros son cero). ^[1] La regularización de red elástica utiliza un término de penalización que es una combinación de la norma y la norma al cuadrado del vector de parámetros. ${\displaystyle L^{1}}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle L^{1}}$ ${\displaystyle L^{2}}$

Desigualdad de Hausdorff-Young

La transformada de Fourier para la línea real (o, para funciones periódicas , véase serie de Fourier ), se asigna a (o a ) respectivamente, donde y Esto es una consecuencia del teorema de interpolación de Riesz-Thorin , y se precisa con la desigualdad de Hausdorff-Young . ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle L^{q}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle L^{p}(\mathbf {T} )}$ ${\displaystyle \ell ^{q}}$ ${\displaystyle 1\leq p\leq 2}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1.}$

Por el contrario, si la transformada de Fourier no se corresponde con ${\displaystyle p>2,}$ ${\displaystyle L^{q}.}$

Espacios de Hilbert

Los espacios de Hilbert son fundamentales para muchas aplicaciones, desde la mecánica cuántica hasta el cálculo estocástico . Los espacios y son ambos espacios de Hilbert. De hecho, al elegir una base de Hilbert , es decir, un subconjunto ortonormal máximo de o cualquier espacio de Hilbert, se ve que cada espacio de Hilbert es isométricamente isomorfo a (igual que arriba), es decir, un espacio de Hilbert de tipo ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle \ell ^{2}}$ ${\displaystyle E,}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle \ell ^{2}(E)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \ell ^{2}.}$

Elpag-norma en dimensiones finitas

Las ilustraciones de círculos unitarios (ver también superelipse ) se basan en diferentes normas (cada vector desde el origen hasta el círculo unitario tiene una longitud de uno, y la longitud se calcula con la fórmula de longitud del correspondiente ). ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$

La longitud euclidiana de un vector en el espacio vectorial real -dimensional viene dada por la norma euclidiana : ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ $${\displaystyle \|x\|_{2}=\left({x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2}+\dotsb +{x_{n}}^{2}\right)^{1/2}.}$$

La distancia euclidiana entre dos puntos y es la longitud de la línea recta entre los dos puntos. En muchas situaciones, la distancia euclidiana es apropiada para capturar las distancias reales en un espacio dado. Por el contrario, considere a los taxistas en un plano de calles en cuadrícula que deben medir la distancia no en términos de la longitud de la línea recta hasta su destino, sino en términos de la distancia rectilínea , que tiene en cuenta que las calles son ortogonales o paralelas entre sí. La clase de -normas generaliza estos dos ejemplos y tiene una gran cantidad de aplicaciones en muchas partes de las matemáticas , la física y la informática . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \|x-y\|_{2}}$ ${\displaystyle p}$

Definición

Para un número real, la -norma o -norma de se define por Las barras de valor absoluto se pueden eliminar cuando es un número racional con un numerador par en su forma reducida, y se extrae del conjunto de números reales, o uno de sus subconjuntos. ${\displaystyle p\geq 1,}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle \|x\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\dotsb +|x_{n}|^{p}\right)^{1/p}.}$$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x}$

La norma euclidiana desde arriba cae en esta clase y es la -norma, y ​​la -norma es la norma que corresponde a la distancia rectilínea . ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 1}$

La -norma o norma máxima (o norma uniforme) es el límite de las -normas para Resulta que este límite es equivalente a la siguiente definición: ${\displaystyle L^{\infty }}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle p\to \infty .}$ $${\displaystyle \|x\|_{\infty }=\max \left\{|x_{1}|,|x_{2}|,\dotsc ,|x_{n}|\right\}}$$

Ver L -infinito .

Porque todas las -normas y la norma máxima definidas anteriormente satisfacen de hecho las propiedades de una "función de longitud" (o norma ), que son: ${\displaystyle p\geq 1,}$ ${\displaystyle p}$

• Sólo el vector cero tiene longitud cero,
• la longitud del vector es homogénea positiva con respecto a la multiplicación por un escalar ( homogeneidad positiva ), y
• la longitud de la suma de dos vectores no es mayor que la suma de las longitudes de los vectores ( desigualdad triangular ).

En términos abstractos, esto significa que junto con la norma es un espacio vectorial normado . Además, resulta que este espacio es completo, por lo que es un espacio de Banach . Este espacio de Banach es el espacio sobre ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle \{1,2,\ldots ,n\}.}$

Relaciones entrepag-normas

La distancia de cuadrícula o distancia rectilínea (a veces llamada " distancia de Manhattan ") entre dos puntos nunca es menor que la longitud del segmento de línea que los separa (distancia euclidiana o "distancia en línea recta"). Formalmente, esto significa que la norma euclidiana de cualquier vector está limitada por su norma 1: $${\displaystyle \|x\|_{2}\leq \|x\|_{1}.}$$

Este hecho se generaliza a las -normas en el sentido de que la -norma de cualquier vector dado no crece con : ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \|x\|_{p}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle \|x\|_{p+a}\leq \|x\|_{p}}$para cualquier vector y números reales y (de hecho, esto sigue siendo cierto para y ). ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p\geq 1}$ ${\displaystyle a\geq 0.}$ ${\displaystyle 0<p<1}$ ${\displaystyle a\geq 0}$

Para la dirección opuesta, se conoce la siguiente relación entre la -norma y la -norma: ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 2}$ $${\displaystyle \|x\|_{1}\leq {\sqrt {n}}\|x\|_{2}~.}$$

Esta desigualdad depende de la dimensión del espacio vectorial subyacente y se deriva directamente de la desigualdad de Cauchy-Schwarz . ${\displaystyle n}$

En general, para los vectores en donde ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle 0<r<p:}$ $${\displaystyle \|x\|_{p}\leq \|x\|_{r}\leq n^{{\frac {1}{r}}-{\frac {1}{p}}}\|x\|_{p}~.}$$

Esto es una consecuencia de la desigualdad de Hölder .

Cuando0 < p < 1

Astroide , círculo unitario en el sistema métrico ${\displaystyle p={\tfrac {2}{3}}}$

En la fórmula se define una función absolutamente homogénea para , sin embargo, la función resultante no define una norma, porque no es subaditiva . Por otra parte, la fórmula define una función subaditiva a costa de perder la homogeneidad absoluta. Sin embargo, sí define una F-norma , que es homogénea de grado ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n>1,}$ $${\displaystyle \|x\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\cdots +|x_{n}|^{p}\right)^{1/p}}$$ ${\displaystyle 0<p<1;}$ $${\displaystyle |x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\dotsb +|x_{n}|^{p}}$$ ${\displaystyle p.}$

Por lo tanto, la función define una métrica . El espacio métrico se denota por $${\displaystyle d_{p}(x,y)=\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|^{p}}$$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},d_{p})}$ ${\displaystyle \ell _{n}^{p}.}$

Aunque la bola unitaria alrededor del origen en esta métrica es "cóncava", la topología definida por la métrica es la topología de espacio vectorial habitual de por lo tanto es un espacio vectorial topológico localmente convexo . Más allá de esta afirmación cualitativa, una forma cuantitativa de medir la falta de convexidad de es denotar por la constante más pequeña tal que el múltiplo escalar de la bola unitaria contenga la envoltura convexa de la cual es igual a El hecho de que para fijo tenemos muestra que el espacio de secuencia de dimensión infinita definido a continuación, ya no es localmente convexo. ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle B_{n}^{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle B_{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle \ell _{n}^{p}}$ ${\displaystyle \ell _{n}^{p}}$ ${\displaystyle C_{p}(n)}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C\,B_{n}^{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle B_{n}^{p},}$ ${\displaystyle B_{n}^{1}.}$ ${\displaystyle p<1}$ $${\displaystyle C_{p}(n)=n^{{\tfrac {1}{p}}-1}\to \infty ,\quad {\text{as }}n\to \infty }$$ ${\displaystyle \ell ^{p}}$

Cuandop = 0

Hay una norma y otra función llamada "norma" (entre comillas). ${\displaystyle \ell _{0}}$ ${\displaystyle \ell _{0}}$

La definición matemática de la norma fue establecida por la Teoría de Operaciones Lineales de Banach . El espacio de sucesiones tiene una topología métrica completa proporcionada por la F-norma que es discutida por Stefan Rolewicz en Metric Linear Spaces . ^[2] El espacio -normado se estudia en análisis funcional, teoría de probabilidad y análisis armónico. ${\displaystyle \ell _{0}}$ $${\displaystyle (x_{n})\mapsto \sum _{n}2^{-n}{\frac {|x_{n}|}{1+|x_{n}|}},}$$ ${\displaystyle \ell _{0}}$

Otra función que David Donoho denominó "norma" (cuyas comillas advierten que esta función no es una norma propiamente dicha) es el número de entradas distintas de cero del vector ^{[ cita requerida ]} Muchos autores abusan de la terminología omitiendo las comillas. Definir la "norma" cero de es igual a ${\displaystyle \ell _{0}}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle 0^{0}=0,}$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle |x_{1}|^{0}+|x_{2}|^{0}+\cdots +|x_{n}|^{0}.}$$

Un gif animado de normas p de 0,1 a 2 con un paso de 0,05.

Esto no es una norma porque no es homogéneo . Por ejemplo, escalar el vector por una constante positiva no cambia la "norma". A pesar de estos defectos como norma matemática, la "norma" de conteo distinto de cero tiene usos en computación científica , teoría de la información y estadística , en particular en detección comprimida en procesamiento de señales y análisis armónico computacional . A pesar de no ser una norma, la métrica asociada, conocida como distancia de Hamming , es una distancia válida, ya que no se requiere homogeneidad para las distancias. ${\displaystyle x}$

Elpag-norma en dimensiones infinitas yℓ pespacios

El espacio de secuenciaℓ p

La -norma se puede extender a vectores que tienen un número infinito de componentes ( secuencias ), lo que produce el espacio Esto contiene como casos especiales: ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \ell ^{p}.}$

• ${\displaystyle \ell ^{1},}$el espacio de sucesiones cuyas series son absolutamente convergentes ,
• ${\displaystyle \ell ^{2},}$el espacio de secuencias cuadradamente sumables , que es un espacio de Hilbert , y
• ${\displaystyle \ell ^{\infty },}$el espacio de secuencias acotadas .

El espacio de sucesiones tiene una estructura natural de espacio vectorial al aplicar la suma y la multiplicación escalar coordenada por coordenada. Explícitamente, la suma vectorial y la acción escalar para sucesiones infinitas de números reales (o complejos ) vienen dadas por: $${\displaystyle {\begin{aligned}&(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},x_{n+1},\ldots )+(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n},y_{n+1},\ldots )\\={}&(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},\ldots ,x_{n}+y_{n},x_{n+1}+y_{n+1},\ldots ),\\[6pt]&\lambda \cdot \left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},x_{n+1},\ldots \right)\\={}&(\lambda x_{1},\lambda x_{2},\ldots ,\lambda x_{n},\lambda x_{n+1},\ldots ).\end{aligned}}}$$

Defina la -norma: ${\displaystyle p}$ $${\displaystyle \|x\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\cdots +|x_{n}|^{p}+|x_{n+1}|^{p}+\cdots \right)^{1/p}}$$

Aquí surge una complicación, y es que la serie de la derecha no siempre es convergente, por lo que, por ejemplo, la sucesión formada sólo por unos, tendrá una -norma infinita para El espacio se define entonces como el conjunto de todas las sucesiones infinitas de números reales (o complejos) tales que la -norma es finita. ${\displaystyle (1,1,1,\ldots ),}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 1\leq p<\infty .}$ ${\displaystyle \ell ^{p}}$ ${\displaystyle p}$

Se puede comprobar que, a medida que aumenta, el conjunto se hace más grande. Por ejemplo, la sucesión no está en pero sí en para ya que la serie diverge para (la serie armónica ), pero es convergente para ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \ell ^{p}}$ $${\displaystyle \left(1,{\frac {1}{2}},\ldots ,{\frac {1}{n}},{\frac {1}{n+1}},\ldots \right)}$$ ${\displaystyle \ell ^{1},}$ ${\displaystyle \ell ^{p}}$ ${\displaystyle p>1,}$ $${\displaystyle 1^{p}+{\frac {1}{2^{p}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{p}}}+{\frac {1}{(n+1)^{p}}}+\cdots ,}$$ ${\displaystyle p=1}$ ${\displaystyle p>1.}$

También se define la -norma utilizando el supremo : y el espacio correspondiente de todas las sucesiones acotadas. Resulta que ^[3] si el lado derecho es finito, o el lado izquierdo es infinito. Por lo tanto, consideraremos espacios para ${\displaystyle \infty }$ $${\displaystyle \|x\|_{\infty }=\sup(|x_{1}|,|x_{2}|,\dotsc ,|x_{n}|,|x_{n+1}|,\ldots )}$$ ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$ $${\displaystyle \|x\|_{\infty }=\lim _{p\to \infty }\|x\|_{p}}$$ ${\displaystyle \ell ^{p}}$ ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty .}$

La -norma así definida es, en efecto, una norma, y ​​junto con esta norma es un espacio de Banach . El espacio totalmente general se obtiene, como se ve a continuación, considerando vectores, no sólo con un número finito o numerable-infinito de componentes, sino con " un número arbitrario de componentes "; en otras palabras, funciones . Se utiliza una integral en lugar de una suma para definir la -norma. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \ell ^{p}}$ ${\displaystyle \ell ^{p}}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle p}$

General ℓpag-espacio

En completa analogía con la definición precedente, se puede definir el espacio sobre un conjunto índice general (y ) como donde la convergencia a la derecha significa que solo un número contable de sumandos son distintos de cero (véase también Convergencia incondicional ). Con la norma, el espacio se convierte en un espacio de Banach. En el caso en que es finito con elementos, esta construcción da como resultado la -norma definida anteriormente. Si es contablemente infinito, este es exactamente el espacio de sucesiones definido anteriormente. Para conjuntos incontables , este es un espacio de Banach no separable que puede verse como el límite directo localmente convexo de los espacios de sucesiones. ^[4] ${\displaystyle \ell ^{p}(I)}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle 1\leq p<\infty }$ $${\displaystyle \ell ^{p}(I)=\left\{(x_{i})_{i\in I}\in \mathbb {K} ^{I}:\sum _{i\in I}|x_{i}|^{p}<+\infty \right\},}$$ $${\displaystyle \|x\|_{p}=\left(\sum _{i\in I}|x_{i}|^{p}\right)^{1/p}}$$ ${\displaystyle \ell ^{p}(I)}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \ell ^{p}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \ell ^{p}}$

Porque la -norma es incluso inducida por un producto interno canónico llamado ${\displaystyle p=2,}$ ${\displaystyle \|\,\cdot \,\|_{2}}$ ${\displaystyle \langle \,\cdot ,\,\cdot \rangle ,}$Producto interno euclidiano , lo que significa quese cumple para todos los vectores.Este producto interno se puede expresar en términos de la norma utilizando laidentidad de polarización. Ense puede definir por mientras que para el espacioasociado con unespacio de medidaque consta de todaslas funciones integrables al cuadrado, es ${\displaystyle \|\mathbf {x} \|_{2}={\sqrt {\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle }}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} .}$ ${\displaystyle \ell ^{2},}$ $${\displaystyle \langle \left(x_{i}\right)_{i},\left(y_{n}\right)_{i}\rangle _{\ell ^{2}}~=~\sum _{i}x_{i}{\overline {y_{i}}}}$$ ${\displaystyle L^{2}(X,\mu )}$ ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu ),}$ $${\displaystyle \langle f,g\rangle _{L^{2}}=\int _{X}f(x){\overline {g(x)}}\,\mathrm {d} x.}$$

Consideremos ahora el caso Definir ^{[nota 1]} donde para todo ^{[5] [nota 2]} ${\displaystyle p=\infty .}$ $${\displaystyle \ell ^{\infty }(I)=\{x\in \mathbb {K} ^{I}:\sup \operatorname {range} |x|<+\infty \},}$$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle \|x\|_{\infty }\equiv \inf\{C\in \mathbb {R} _{\geq 0}:|x_{i}|\leq C{\text{ for all }}i\in I\}={\begin{cases}\sup \operatorname {range} |x|&{\text{if }}X\neq \varnothing ,\\0&{\text{if }}X=\varnothing .\end{cases}}}$$

El conjunto de índices se puede convertir en un espacio de medida si se le asigna la σ-álgebra discreta y la medida de conteo . En ese caso, el espacio es simplemente un caso especial del espacio más general (definido a continuación). ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \ell ^{p}(I)}$ ${\displaystyle L^{p}}$

L pespacios e integrales de Lebesgue

Un espacio puede definirse como un espacio de funciones mensurables para las cuales la potencia -ésima del valor absoluto es integrable según Lebesgue , donde se identifican funciones que concuerdan casi en todas partes. De manera más general, sea un espacio de medida y ^{[nota 3]} Cuando , considere el conjunto de todas las funciones mensurables desde hasta o cuyo valor absoluto elevado a la potencia -ésima tiene una integral finita, o en símbolos: ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle (S,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty .}$ ${\displaystyle p\neq \infty }$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle p}$ $${\displaystyle \|f\|_{p}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(\int _{S}|f|^{p}\;\mathrm {d} \mu \right)^{1/p}<\infty .}$$

Para definir el conjunto recordemos que dos funciones y definidas en se dice que son iguales casi en todas partes , escrito ae , si el conjunto es medible y tiene medida cero. De manera similar, una función medible (y su valor absoluto ) está acotada (o dominada ) casi en todas partes por un número real escrito ae , si el conjunto (necesariamente) medible tiene medida cero. El espacio es el conjunto de todas las funciones mesurables que están acotadas casi en todas partes (por algún número real ) y se define como el ínfimo de estos límites: Cuando entonces este es el mismo que el supremo esencial del valor absoluto de : ^{[nota 4]} ${\displaystyle p=\infty ,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f=g}$ ${\displaystyle \{s\in S:f(s)\neq g(s)\}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C,}$ ${\displaystyle |f|\leq C}$ ${\displaystyle \{s\in S:|f(s)|>C\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{\infty }(S,\mu )}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \|f\|_{\infty }}$ $${\displaystyle \|f\|_{\infty }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\inf\{C\in \mathbb {R} _{\geq 0}:|f(s)|\leq C{\text{ for almost every }}s\}.}$$ ${\displaystyle \mu (S)\neq 0}$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle \|f\|_{\infty }~=~{\begin{cases}\operatorname {esssup} |f|&{\text{if }}\mu (S)>0,\\0&{\text{if }}\mu (S)=0.\end{cases}}}$$

Por ejemplo, si es una función medible que es igual a casi todas partes ^{[nota 5]} entonces para cada y por lo tanto para todos ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \|f\|_{p}=0}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f\in {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}$ ${\displaystyle p.}$

Para cada positivo el valor bajo de una función medible y su valor absoluto son siempre los mismos (es decir, para todo ) y por lo tanto una función medible pertenece a si y solo si su valor absoluto lo es. Debido a esto, muchas fórmulas que involucran -normas se establecen solo para funciones de valor real no negativo. Consideremos por ejemplo la identidad que se cumple siempre que es medible, es real y (aquí cuando ). El requisito de no negatividad se puede eliminar sustituyendo en por lo que da Nótese en particular que cuando es finito entonces la fórmula relaciona la -norma con la -norma. ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle \|\,\cdot \,\|_{p}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle |f|:S\to [0,\infty ]}$ ${\displaystyle \|f\|_{p}=\||f|\|_{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \|f\|_{p}^{r}=\|f^{r}\|_{p/r},}$ ${\displaystyle f\geq 0}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle 0<p\leq \infty }$ ${\displaystyle \infty /r\;{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\;\infty }$ ${\displaystyle p=\infty }$ ${\displaystyle f\geq 0}$ ${\displaystyle |f|}$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle \|\,|f|\,\|_{p}^{r}=\|\,|f|^{r}\,\|_{p/r}.}$ ${\displaystyle p=r}$ ${\displaystyle \|f\|_{p}^{p}=\||f|^{p}\|_{1}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 1}$

Espacio semirregulado de funciones integrables de potencia -ésima ${\displaystyle p}$

Cada conjunto de funciones forma un espacio vectorial cuando la suma y la multiplicación escalar se definen puntualmente. ^{[nota 6]} Que la suma de dos funciones integrables a la potencia -ésima y es a su vez integrable a la potencia -ésima se deduce de ^{[prueba 1]} aunque también es una consecuencia de la desigualdad de Minkowski que establece que satisface la desigualdad triangular para (la desigualdad triangular no se cumple para ). Que sea cerrado bajo la multiplicación escalar se debe a que es absolutamente homogéneo , lo que significa que para cada escalar y cada función ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle p}$ ${\textstyle \|f+g\|_{p}^{p}\leq 2^{p-1}\left(\|f\|_{p}^{p}+\|g\|_{p}^{p}\right),}$ $${\displaystyle \|f+g\|_{p}\leq \|f\|_{p}+\|g\|_{p}}$$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$ ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$ ${\displaystyle 0<p<1}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$ ${\displaystyle \|sf\|_{p}=|s|\|f\|_{p}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle f.}$

La homogeneidad absoluta , la desigualdad triangular y la no negatividad son las propiedades definitorias de una seminorma . Por lo tanto, es una seminorma y el conjunto de funciones integrables de potencia -ésima junto con la función define un espacio vectorial seminormado . En general, la seminorma no es una norma porque podrían existir funciones mensurables que satisfacen pero no son idénticamente iguales a ^{[nota 5]} ( es una norma si y solo si no existe tal ). ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \|f\|_{p}=0}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$ ${\displaystyle f}$

Conjuntos cero de seminormas ${\displaystyle p}$

Si es medible e igual a ae entonces para todo positivo Por otro lado, si es una función medible para la cual existe alguna tal que entonces casi en todas partes. Cuando es finito entonces esto se sigue del caso y de la fórmula mencionada anteriormente. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \|f\|_{p}=0}$ ${\displaystyle p\leq \infty .}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 0<p\leq \infty }$ ${\displaystyle \|f\|_{p}=0}$ ${\displaystyle f=0}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p=1}$ ${\displaystyle \|f\|_{p}^{p}=\||f|^{p}\|_{1}}$

Por lo tanto, si es positivo y es cualquier función medible, entonces si y solo si casi en todas partes . Dado que el lado derecho ( ae ) no menciona , se deduce que todos tienen el mismo conjunto cero (no depende de ). Por lo tanto, denote este conjunto común por Este conjunto es un subespacio vectorial de para cada positivo ${\displaystyle p\leq \infty }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \|f\|_{p}=0}$ ${\displaystyle f=0}$ ${\displaystyle f=0}$ ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$ ${\displaystyle p}$ $${\displaystyle {\mathcal {N}}\;{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\;\{f:f=0\ \mu {\text{-almost everywhere}}\}=\{f\in {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu ):\|f\|_{p}=0\}\qquad \forall \ p.}$$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}$ ${\displaystyle p\leq \infty .}$

Espacio vectorial cociente

Al igual que cada seminorma , la seminorma induce una norma (definida en breve) en el espacio vectorial cociente canónico de por su subespacio vectorial. Este espacio vectorial cociente normado se denomina espacio de Lebesgue y es el tema de este artículo. Comenzamos definiendo el espacio vectorial cociente. ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}$ ${\textstyle {\mathcal {N}}=\{f\in {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu ):\|f\|_{p}=0\}.}$

Dado cualquier coconjunto , consta de todas las funciones medibles que son iguales a casi en todas partes . El conjunto de todos los coconjuntos, normalmente denotado por forma un espacio vectorial con origen cuando la suma vectorial y la multiplicación escalar se definen por y Este espacio vectorial cociente particular se denotará por ${\displaystyle f\in {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu ),}$ ${\displaystyle f+{\mathcal {N}}\;{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\;\{f+h:h\in {\mathcal {N}}\}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\mu )/{\mathcal {N}}~~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~~\{f+{\mathcal {N}}:f\in {\mathcal {L}}^{p}(S,\mu )\},}$$ ${\displaystyle 0+{\mathcal {N}}={\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle (f+{\mathcal {N}})+(g+{\mathcal {N}})\;{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\;(f+g)+{\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle s(f+{\mathcal {N}})\;{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\;(sf)+{\mathcal {N}}.}$ ${\displaystyle L^{p}(S,\,\mu )~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\mathcal {L}}^{p}(S,\mu )/{\mathcal {N}}.}$

Dos clases laterales son iguales si y solo si (o equivalentemente, ), lo que sucede si y solo si casi en todas partes; si este es el caso, entonces y se identifican en el espacio cociente. ${\displaystyle f+{\mathcal {N}}=g+{\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle g\in f+{\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle f-g\in {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle f=g}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

La -norma en el espacio vectorial cociente ${\displaystyle p}$

Dado cualquier valor de la seminorma en la clase lateral es constante e igual a denotar este valor único por de modo que: Esta asignación define un mapa, que también será denotado por en el espacio vectorial cociente. Este mapa es una norma en llamada ${\displaystyle f\in {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu ),}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$ ${\displaystyle f+{\mathcal {N}}=\{f+h:h\in {\mathcal {N}}\}}$ ${\displaystyle \|f\|_{p};}$ ${\displaystyle \|f+{\mathcal {N}}\|_{p},}$ $${\displaystyle \|f+{\mathcal {N}}\|_{p}\;{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\;\|f\|_{p}.}$$ ${\displaystyle f+{\mathcal {N}}\mapsto \|f+{\mathcal {N}}\|_{p}}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{p},}$ $${\displaystyle L^{p}(S,\mu )~~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~~{\mathcal {L}}^{p}(S,\mu )/{\mathcal {N}}~=~\{f+{\mathcal {N}}:f\in {\mathcal {L}}^{p}(S,\mu )\}.}$$ ${\displaystyle L^{p}(S,\mu )}$ ${\displaystyle p}$-norma . El valorde una clase laterales independiente de la función particularque se eligió para representarla, lo que significa que sies cualquier clase lateral entoncespara cada(ya quepara cada). ${\displaystyle \|f+{\mathcal {N}}\|_{p}}$ ${\displaystyle f+{\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\in L^{p}(S,\mu )}$ ${\displaystyle \|{\mathcal {C}}\|_{p}=\|f\|_{p}}$ ${\displaystyle f\in {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}=f+{\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle f\in {\mathcal {C}}}$

El espacio Lebesgue ${\displaystyle L^{p}}$

El espacio vectorial normado se denomina espacio o espacio de Lebesgue de funciones integrables de potencia -ésima y es un espacio de Banach para cada (lo que significa que es un espacio métrico completo , un resultado que a veces se denomina teorema de Riesz-Fischer ). Cuando se entiende el espacio de medida subyacente , a menudo se abrevia o incluso simplemente Dependiendo del autor, la notación de subíndice puede denotar uno o ${\displaystyle \left(L^{p}(S,\mu ),\|\cdot \|_{p}\right)}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle L^{p}(S,\mu )}$ ${\displaystyle L^{p}(\mu ),}$ ${\displaystyle L^{p}.}$ ${\displaystyle L_{p}}$ ${\displaystyle L^{p}(S,\mu )}$ ${\displaystyle L^{1/p}(S,\mu ).}$

Si la seminorma de resulta ser una norma (lo que sucede si y sólo si ), entonces el espacio normado será linealmente isométrico isomorfo al espacio cociente normado a través de la función canónica (ya que ); en otras palabras, serán, hasta una isometría lineal , el mismo espacio normado y, por lo tanto, ambos pueden llamarse " espacio". ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}=\{0\}}$ ${\displaystyle \left({\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu ),\|\cdot \|_{p}\right)}$ ${\displaystyle \left(L^{p}(S,\mu ),\|\cdot \|_{p}\right)}$ ${\displaystyle g\in {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )\mapsto \{g\}}$ ${\displaystyle g+{\mathcal {N}}=\{g\}}$ ${\displaystyle L^{p}}$

Las definiciones anteriores se generalizan a los espacios de Bochner .

En general, este proceso no se puede revertir: no hay una manera consistente de definir un representante "canónico" de cada clase lateral de en . Sin embargo, existe una teoría de ascensores que permite dicha recuperación. ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle L^{p}.}$ ${\displaystyle L^{\infty },}$

Casos especiales

Similar a los espacios, es el único espacio de Hilbert entre los espacios. En el caso complejo, el producto interno de se define por ${\displaystyle \ell ^{p}}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle L^{2}}$ $${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{S}f(x){\overline {g(x)}}\,\mathrm {d} \mu (x)}$$

La estructura de producto interno adicional permite una teoría más rica, con aplicaciones, por ejemplo, a las series de Fourier y a la mecánica cuántica . Las funciones en a veces se denominan funciones integrables al cuadrado , funciones integrables cuadráticamente o funciones sumables al cuadrado , pero a veces estos términos se reservan para funciones que son integrables al cuadrado en algún otro sentido, como en el sentido de una integral de Riemann (Titchmarsh 1976). ${\displaystyle L^{2}}$

Si utilizamos funciones de valor complejo, el espacio es un álgebra C* conmutativa con multiplicación y conjugación puntuales. Para muchos espacios de medida, incluidos todos los sigma-finitos, es de hecho un álgebra de von Neumann conmutativa . Un elemento de define un operador acotado en cualquier espacio por multiplicación . ${\displaystyle L^{\infty }}$ ${\displaystyle L^{\infty }}$ ${\displaystyle L^{p}}$

Los espacios son un caso especial de espacios, cuando consisten en los números naturales y es la medida de conteo en De manera más general , si se considera cualquier conjunto con la medida de conteo, el espacio resultante se denota Por ejemplo, el espacio es el espacio de todas las secuencias indexadas por los números enteros, y al definir la -norma en dicho espacio, se suma sobre todos los números enteros. El espacio donde es el conjunto con elementos, es con su -norma como se definió anteriormente. Como cualquier espacio de Hilbert, cada espacio es linealmente isométrico a un adecuado donde la cardinalidad del conjunto es la cardinalidad de una base hilbertiana arbitraria para este particular ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$ ${\displaystyle \ell ^{p}}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle S=\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mathbb {N} .}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle \ell ^{p}(S).}$ ${\displaystyle \ell ^{p}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \ell ^{p}(n),}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle \ell ^{2}(I),}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle L^{2}.}$

Propiedades deyopagespacios

Al igual que en el caso discreto, si existe tal que entonces ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle q<\infty }$ ${\displaystyle f\in L^{\infty }(S,\mu )\cap L^{q}(S,\mu ),}$ $${\displaystyle \|f\|_{\infty }=\lim _{p\to \infty }\|f\|_{p}.}$$

Desigualdad de Hölder

Supóngase que se satisface (donde ). Si y entonces y ^[6] ${\displaystyle p,q,r\in [1,\infty ]}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}={\tfrac {1}{r}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{\infty }}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~0}$ ${\displaystyle f\in L^{p}(S,\mu )}$ ${\displaystyle g\in L^{q}(S,\mu )}$ ${\displaystyle fg\in L^{r}(S,\mu )}$ $${\displaystyle \|fg\|_{r}~\leq ~\|f\|_{p}\,\|g\|_{q}.}$$

Esta desigualdad, llamada desigualdad de Hölder , es en cierto sentido óptima ^[6] ya que si (por lo que ) y es una función medible tal que donde el supremo se toma sobre la bola unitaria cerrada de entonces y ${\displaystyle r=1}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1}$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle \sup _{\|g\|_{q}\leq 1}\,\int _{S}|fg|\,\mathrm {d} \mu ~<~\infty }$$ ${\displaystyle L^{q}(S,\mu ),}$ ${\displaystyle f\in L^{p}(S,\mu )}$ $${\displaystyle \|f\|_{p}~=~\sup _{\|g\|_{q}\leq 1}\,\int _{S}fg\,\mathrm {d} \mu .}$$

Desigualdad de Minkowski

La desigualdad de Minkowski , que establece que satisface la desigualdad triangular , se puede generalizar: Si la función medible no es negativa (donde y son espacios de medida), entonces para todos los ^[7] ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$ ${\displaystyle F:M\times N\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (M,\mu )}$ ${\displaystyle (N,\nu )}$ ${\displaystyle 1\leq p\leq q\leq \infty ,}$ $${\displaystyle \left\|\left\|F(\,\cdot ,n)\right\|_{L^{p}(M,\mu )}\right\|_{L^{q}(N,\nu )}~\leq ~\left\|\left\|F(m,\cdot )\right\|_{L^{q}(N,\nu )}\right\|_{L^{p}(M,\mu )}\ .}$$

Descomposición atómica

Si entonces cada no negativo tiene una descomposición atómica , ^[8] lo que significa que existe una secuencia de números reales no negativos y una secuencia de funciones no negativas llamadas átomos , cuyos soportes son conjuntos de medida disjuntos por pares tales que y para cada entero y y donde además, la secuencia de funciones depende solo de (es independiente de ). ^[8] Estas desigualdades garantizan que para todos los enteros mientras que los soportes de ser disjuntos por pares implica ^[8] ${\displaystyle 1\leq p<\infty }$ ${\displaystyle f\in L^{p}(\mu )}$ ${\displaystyle (r_{n})_{n\in \mathbb {Z} }}$ ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {Z} },}$ ${\displaystyle \left(\operatorname {supp} f_{n}\right)_{n\in \mathbb {Z} }}$ ${\displaystyle \mu \left(\operatorname {supp} f_{n}\right)\leq 2^{n+1},}$ $${\displaystyle f~=~\sum _{n\in \mathbb {Z} }r_{n}\,f_{n}\,,}$$ ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ,}$ $${\displaystyle \|f_{n}\|_{\infty }~\leq ~2^{-{\tfrac {n}{p}}}\,,}$$ $${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\|f\|_{p}^{p}~\leq ~\sum _{n\in \mathbb {Z} }r_{n}^{p}~\leq ~2\|f\|_{p}^{p}\,,}$$ ${\displaystyle (r_{n}f_{n})_{n\in \mathbb {Z} }}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \|f_{n}\|_{p}^{p}\leq 2}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {Z} }}$ $${\displaystyle \|f\|_{p}^{p}~=~\sum _{n\in \mathbb {Z} }r_{n}^{p}\,\|f_{n}\|_{p}^{p}\,.}$$

Una descomposición atómica se puede dar explícitamente definiendo primero para cada entero ^[8] (este ínfimo se alcanza mediante es decir, se cumple) y luego dejando donde denota la medida del conjunto y denota la función indicadora del conjunto. La secuencia es decreciente y converge a como ^[8] En consecuencia, si entonces y por lo que es idénticamente igual a (en particular, la división por no causa problemas). ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ,}$ $${\displaystyle t_{n}=\inf\{t\in \mathbb {R} :\mu (f>t)<2^{n}\}}$$ ${\displaystyle t_{n};}$ ${\displaystyle \mu (f>t_{n})<2^{n}}$ $${\displaystyle r_{n}~=~2^{n/p}\,t_{n}~{\text{ and }}\quad f_{n}~=~{\frac {f}{r_{n}}}\,\mathbf {1} _{(t_{n+1}<f\leq t_{n})}}$$ ${\displaystyle \mu (f>t)=\mu (\{s:f(s)>t\})}$ ${\displaystyle (f>t):=\{s\in S:f(s)>t\}}$ ${\displaystyle \mathbf {1} _{(t_{n+1}<f\leq t_{n})}}$ ${\displaystyle (t_{n+1}<f\leq t_{n}):=\{s\in S:t_{n+1}<f(s)\leq t_{n}\}.}$ ${\displaystyle (t_{n})_{n\in \mathbb {Z} }}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle n\to \infty .}$ ${\displaystyle t_{n}=0}$ ${\displaystyle t_{n+1}=0}$ ${\displaystyle (t_{n+1}<f\leq t_{n})=\varnothing }$ ${\displaystyle f_{n}={\frac {1}{r_{n}}}\,f\,\mathbf {1} _{(t_{n+1}<f\leq t_{n})}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{r_{n}}}}$ ${\displaystyle r_{n}=0}$

La función de distribución acumulativa complementaria de que se utilizó para definir también aparece en la definición de la -norma débil (que se proporciona a continuación) y se puede utilizar para expresar la -norma (para ) de como la integral ^[8] donde la integración es con respecto a la medida de Lebesgue habitual en ${\displaystyle t\in \mathbb {R} \mapsto \mu (|f|>t)}$ ${\displaystyle |f|=f}$ ${\displaystyle t_{n}}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$ ${\displaystyle 1\leq p<\infty }$ ${\displaystyle f\in L^{p}(S,\mu )}$ $${\displaystyle \|f\|_{p}^{p}~=~p\,\int _{0}^{\infty }t^{p-1}\mu (|f|>t)\,\mathrm {d} t\,,}$$ ${\displaystyle (0,\infty ).}$

Espacios duales

El espacio dual (el espacio de Banach de todos los funcionales lineales continuos) de para tiene un isomorfismo natural con donde es tal que (es decir, ). Este isomorfismo se asocia con el funcional definido por para cada ${\displaystyle L^{p}(\mu )}$ ${\displaystyle 1<p<\infty }$ ${\displaystyle L^{q}(\mu ),}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1}$ ${\displaystyle q={\tfrac {p}{p-1}}}$ ${\displaystyle g\in L^{q}(\mu )}$ ${\displaystyle \kappa _{p}(g)\in L^{p}(\mu )^{*}}$ $${\displaystyle f\mapsto \kappa _{p}(g)(f)=\int fg\,\mathrm {d} \mu }$$ ${\displaystyle f\in L^{p}(\mu ).}$

El hecho de que esté bien definido y sea continuo se sigue de la desigualdad de Hölder . es una aplicación lineal que es una isometría por el caso extremo de la desigualdad de Hölder. También es posible demostrar (por ejemplo con el teorema de Radon-Nikodym , véase ^[9] ) que cualquier puede expresarse de esta manera: es decir, que es sobre . Como es sobre e isométrico, es un isomorfismo de los espacios de Banach . Con este isomorfismo (isométrico) en mente, es habitual decir simplemente que es el espacio dual continuo de ${\displaystyle \kappa _{p}(g)}$ ${\displaystyle \kappa _{p}:L^{q}(\mu )\to L^{p}(\mu )^{*}}$ ${\displaystyle G\in L^{p}(\mu )^{*}}$ ${\displaystyle \kappa _{p}}$ ${\displaystyle \kappa _{p}}$ ${\displaystyle L^{q}(\mu )}$ ${\displaystyle L^{p}(\mu ).}$

Para el espacio es reflexivo . Sea como se indica arriba y sea la isometría lineal correspondiente. Considérese la función de a obtenida al componer con la transpuesta (o adjunta) de la inversa de ${\displaystyle 1<p<\infty ,}$ ${\displaystyle L^{p}(\mu )}$ ${\displaystyle \kappa _{p}}$ ${\displaystyle \kappa _{q}:L^{p}(\mu )\to L^{q}(\mu )^{*}}$ ${\displaystyle L^{p}(\mu )}$ ${\displaystyle L^{p}(\mu )^{**},}$ ${\displaystyle \kappa _{q}}$ ${\displaystyle \kappa _{p}:}$

$${\displaystyle j_{p}:L^{p}(\mu )\mathrel {\overset {\kappa _{q}}{\longrightarrow }} L^{q}(\mu )^{*}\mathrel {\overset {\left(\kappa _{p}^{-1}\right)^{*}}{\longrightarrow }} L^{p}(\mu )^{**}}$$

Este mapa coincide con la incrustación canónica de en su bidual. Además, el mapa es sobre, como composición de dos isometrías sobre, y esto prueba la reflexividad. ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle L^{p}(\mu )}$ ${\displaystyle j_{p}}$

Si la medida de es sigma-finita , entonces el dual de es isométricamente isomorfo a (más precisamente, la función correspondiente a es una isometría de sobre ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle L^{1}(\mu )}$ ${\displaystyle L^{\infty }(\mu )}$ ${\displaystyle \kappa _{1}}$ ${\displaystyle p=1}$ ${\displaystyle L^{\infty }(\mu )}$ ${\displaystyle L^{1}(\mu )^{*}.}$

El dual de es más sutil. Los elementos de pueden identificarse con medidas finitamente aditivas con signo acotadas en que son absolutamente continuas con respecto a Véase el espacio ba para más detalles. Si asumimos el axioma de elección, este espacio es mucho más grande que excepto en algunos casos triviales. Sin embargo, Saharon Shelah demostró que existen extensiones relativamente consistentes de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF + DC + "Todo subconjunto de los números reales tiene la propiedad de Baire ") en las que el dual de es ^[10] ${\displaystyle L^{\infty }(\mu )}$ ${\displaystyle L^{\infty }(\mu )^{*}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mu .}$ ${\displaystyle L^{1}(\mu )}$ ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$ ${\displaystyle \ell ^{1}.}$

Incrustaciones

Coloquialmente, si entonces contiene funciones que son más singulares localmente, mientras que los elementos de pueden estar más dispersos. Considere la medida de Lebesgue en la semirrecta Una función continua en podría explotar cerca pero debe decaer lo suficientemente rápido hacia el infinito. Por otro lado, las funciones continuas en no necesitan decaer en absoluto pero no se permite ninguna explosión. El resultado técnico preciso es el siguiente. ^[11] Supongamos que Entonces: ${\displaystyle 1\leq p<q\leq \infty ,}$ ${\displaystyle L^{p}(S,\mu )}$ ${\displaystyle L^{q}(S,\mu )}$ ${\displaystyle (0,\infty ).}$ ${\displaystyle L^{1}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle L^{\infty }}$ ${\displaystyle 0<p<q\leq \infty .}$

1. ${\displaystyle L^{q}(S,\mu )\subseteq L^{p}(S,\mu )}$si y sólo si no contiene conjuntos de medida finita pero arbitrariamente grandes (cualquier medida finita , por ejemplo). ${\displaystyle S}$
2. ${\displaystyle L^{p}(S,\mu )\subseteq L^{q}(S,\mu )}$si y solo si no contiene conjuntos de medidas distintas de cero pero arbitrariamente pequeñas (la medida de conteo , por ejemplo). ${\displaystyle S}$

Ninguna de las condiciones se cumple para la línea real con la medida de Lebesgue, mientras que ambas condiciones se cumplen para la medida de conteo en cualquier conjunto finito. En ambos casos, la incrustación es continua, en el sentido de que el operador identidad es una función lineal acotada de a en el primer caso, y de a en el segundo. (Esto es una consecuencia del teorema del grafo cerrado y las propiedades de los espacios). De hecho, si el dominio tiene una medida finita, se puede hacer el siguiente cálculo explícito utilizando la desigualdad de Hölder que conduce a ${\displaystyle L^{q}}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle L^{q}}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle S}$ $${\displaystyle \ \|\mathbf {1} f^{p}\|_{1}\leq \|\mathbf {1} \|_{q/(q-p)}\|f^{p}\|_{q/p}}$$ $${\displaystyle \ \|f\|_{p}\leq \mu (S)^{1/p-1/q}\|f\|_{q}.}$$

La constante que aparece en la desigualdad anterior es óptima, en el sentido de que la norma del operador de la identidad es precisamente el caso de que la igualdad se alcance exactamente cuando -casi-en todas partes. ${\displaystyle I:L^{q}(S,\mu )\to L^{p}(S,\mu )}$ $${\displaystyle \|I\|_{q,p}=\mu (S)^{1/p-1/q}}$$ ${\displaystyle f=1}$ ${\displaystyle \mu }$

Subespacios densos

A lo largo de esta sección asumimos que ${\displaystyle 1\leq p<\infty .}$

Sea un espacio de medida. Una función simple integrable en es una de la forma donde son escalares, tiene medida finita y es la función indicadora del conjunto para Por construcción de la integral , el espacio vectorial de funciones simples integrables es denso en ${\displaystyle (S,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S}$ $${\displaystyle f=\sum _{j=1}^{n}a_{j}\mathbf {1} _{A_{j}}}$$ ${\displaystyle a_{j}}$ ${\displaystyle A_{j}\in \Sigma }$ ${\displaystyle {\mathbf {1} }_{A_{j}}}$ ${\displaystyle A_{j},}$ ${\displaystyle j=1,\dots ,n.}$ ${\displaystyle L^{p}(S,\Sigma ,\mu ).}$

Se puede decir más cuando es un espacio topológico normal y su álgebra de Borel , es decir, la álgebra más pequeña de subconjuntos de que contienen los conjuntos abiertos . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle S}$

Supongamos que es un conjunto abierto con Se puede demostrar que para cada conjunto de Borel contenido en y para cada existe un conjunto cerrado y un conjunto abierto tales que ${\displaystyle V\subseteq S}$ ${\displaystyle \mu (V)<\infty .}$ ${\displaystyle A\in \Sigma }$ ${\displaystyle V,}$ ${\displaystyle \varepsilon >0,}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle U}$ $${\displaystyle F\subseteq A\subseteq U\subseteq V\quad {\text{and}}\quad \mu (U)-\mu (F)=\mu (U\setminus F)<\varepsilon }$$

De ello se deduce que existe una función de Urysohn continua en que es continua y continua con ${\displaystyle 0\leq \varphi \leq 1}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle S\setminus U,}$ $${\displaystyle \int _{S}|\mathbf {1} _{A}-\varphi |\,\mathrm {d} \mu <\varepsilon \,.}$$

Si puede ser cubierto por una secuencia creciente de conjuntos abiertos que tienen medida finita, entonces el espacio de funciones continuas –integrables es denso en Más precisamente, se pueden utilizar funciones continuas acotadas que se desvanecen fuera de uno de los conjuntos abiertos ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (V_{n})}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle L^{p}(S,\Sigma ,\mu ).}$ ${\displaystyle V_{n}.}$

Esto se aplica en particular cuando y cuando es la medida de Lebesgue. El espacio de funciones continuas y compactas soportadas es denso en De manera similar, el espacio de funciones escalonadas integrables es denso en este espacio es el espacio lineal de funciones indicadoras de intervalos acotados cuando de rectángulos acotados cuando y más generalmente de productos de intervalos acotados. ${\displaystyle S=\mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ^{d}).}$ ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ^{d});}$ ${\displaystyle d=1,}$ ${\displaystyle d=2}$

Varias propiedades de funciones generales en se prueban primero para funciones continuas y con soporte compacto (a veces para funciones escalonadas), y luego se extienden por densidad a todas las funciones. Por ejemplo, se prueba de esta manera que las traslaciones son continuas en en el siguiente sentido: donde ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ^{d})}$ ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ^{d}),}$ $${\displaystyle \forall f\in L^{p}\left(\mathbb {R} ^{d}\right):\quad \left\|\tau _{t}f-f\right\|_{p}\to 0,\quad {\text{as }}\mathbb {R} ^{d}\ni t\to 0,}$$ $${\displaystyle (\tau _{t}f)(x)=f(x-t).}$$

Subespacios cerrados

Si es cualquier número real positivo, es una medida de probabilidad en un espacio medible (de modo que ), y es un subespacio vectorial, entonces es un subespacio cerrado de si y solo si es de dimensión finita ^[12] ( se eligió independientemente de ). En este teorema, que se debe a Alexander Grothendieck , ^[12] es crucial que el espacio vectorial sea un subconjunto de ya que es posible construir un subespacio vectorial cerrado de dimensión infinita de (que sea incluso un subconjunto de ), donde es la medida de Lebesgue en el círculo unitario y es la medida de probabilidad que resulta de dividirlo por su masa ^[12] ${\displaystyle 0<p<\infty }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle (S,\Sigma )}$ ${\displaystyle L^{\infty }(\mu )\subseteq L^{p}(\mu )}$ ${\displaystyle V\subseteq L^{\infty }(\mu )}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L^{p}(\mu )}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L^{\infty }}$ ${\displaystyle L^{1}\left(S^{1},{\tfrac {1}{2\pi }}\lambda \right)}$ ${\displaystyle L^{4}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2\pi }}\lambda }$ ${\displaystyle \lambda (S^{1})=2\pi .}$

L p (0 < p < 1)

Sea un espacio de medida. Si entonces se puede definir como se indica más arriba: es el espacio vectorial cociente de aquellas funciones mensurables tales que ${\displaystyle (S,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle 0<p<1,}$ ${\displaystyle L^{p}(\mu )}$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle N_{p}(f)=\int _{S}|f|^{p}\,d\mu <\infty .}$$

Como antes, podemos introducir la -norma pero no satisface la desigualdad triangular en este caso, y define solo una cuasi-norma . La desigualdad válida para implica que (Rudin 1991, §1.47) y por lo tanto la función es una métrica en El espacio métrico resultante es completo ; ^[13] la verificación es similar al caso familiar cuando Las bolas forman una base local en el origen para esta topología, como se extiende sobre los reales positivos. ^[13] Estas bolas satisfacen para todos los reales que en particular muestran que es un vecindario acotado del origen; ^[13] en otras palabras, este espacio está acotado localmente, al igual que todo espacio normado , a pesar de no ser una norma. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \|f\|_{p}=N_{p}(f)^{1/p},}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$ ${\displaystyle (a+b)^{p}\leq a^{p}+b^{p},}$ ${\displaystyle a,b\geq 0,}$ $${\displaystyle N_{p}(f+g)\leq N_{p}(f)+N_{p}(g)}$$ $${\displaystyle d_{p}(f,g)=N_{p}(f-g)=\|f-g\|_{p}^{p}}$$ ${\displaystyle L^{p}(\mu ).}$ ${\displaystyle p\geq 1.}$ $${\displaystyle B_{r}=\{f\in L^{p}:N_{p}(f)<r\}}$$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle B_{r}=r^{1/p}B_{1}}$ ${\displaystyle r>0,}$ ${\displaystyle B_{1}}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$

En este contexto se satisface una desigualdad de Minkowski inversa , es decir para ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle u,v\in L^{p}}$ $${\displaystyle {\Big \|}|u|+|v|{\Big \|}_{p}\geq \|u\|_{p}+\|v\|_{p}}$$

Este resultado puede utilizarse para demostrar las desigualdades de Clarkson , que a su vez se utilizan para establecer la convexidad uniforme de los espacios para (Adams y Fournier 2003). ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle 1<p<\infty }$

El espacio para es un F-espacio : admite una métrica invariante de traslación completa con respecto a la cual las operaciones del espacio vectorial son continuas. Es el ejemplo prototípico de un F-espacio que, para la mayoría de los espacios de medida razonables, no es localmente convexo : en o cada conjunto convexo abierto que contiene la función es ilimitado para la -cuasi-norma; por lo tanto, el vector no posee un sistema fundamental de vecindades convexas. En concreto, esto es cierto si el espacio de medida contiene una familia infinita de conjuntos medibles disjuntos de medida positiva finita. ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle 0<p<1}$ ${\displaystyle \ell ^{p}}$ ${\displaystyle L^{p}([0,1]),}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle S}$

El único conjunto abierto convexo no vacío en es el espacio entero (Rudin 1991, §1.47). Como consecuencia particular, no hay funcionales lineales continuos distintos de cero en el espacio dual continuo es el espacio cero. En el caso de la medida de conteo en los números naturales (que produce el espacio de secuencias ), los funcionales lineales acotados en son exactamente aquellos que están acotados en, es decir, aquellos dados por las secuencias en Aunque contiene conjuntos abiertos convexos no triviales, no tiene suficientes para dar una base para la topología. ${\displaystyle L^{p}([0,1])}$ ${\displaystyle L^{p}([0,1]);}$ ${\displaystyle L^{p}(\mu )=\ell ^{p}}$ ${\displaystyle \ell ^{p}}$ ${\displaystyle \ell ^{1},}$ ${\displaystyle \ell ^{\infty }.}$ ${\displaystyle \ell ^{p}}$

La situación de no tener funcionales lineales es altamente indeseable para los propósitos de hacer análisis. En el caso de la medida de Lebesgue en en lugar de trabajar con para es común trabajar con el espacio de Hardy H ^p siempre que sea posible, ya que este tiene bastantes funcionales lineales: suficientes para distinguir puntos entre sí. Sin embargo, el teorema de Hahn-Banach todavía falla en H ^p para (Duren 1970, §7.5). ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle 0<p<1,}$ ${\displaystyle p<1}$

El 0, el espacio de funciones mensurables

El espacio vectorial de (clases de equivalencia de) funciones mensurables en se denota (Kalton, Peck y Roberts 1984). Por definición, contiene todos los y está equipado con la topología de convergencia en medida . Cuando es una medida de probabilidad (es decir, ), este modo de convergencia se denomina convergencia en probabilidad . El espacio es siempre un grupo abeliano topológico pero solo es un espacio vectorial topológico si Esto se debe a que la multiplicación escalar es continua si y solo si Si es -finito, entonces la topología más débil de convergencia local en medida es un F-espacio , es decir, un espacio vectorial topológico completamente metrizable . Además, esta topología es isométrica a la convergencia global en medida para una elección adecuada de medida de probabilidad ${\displaystyle (S,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle L^{0}(S,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle L^{p},}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu (S)=1}$ ${\displaystyle L^{0}}$ ${\displaystyle \mu (S)<\infty .}$ ${\displaystyle \mu (S)<\infty .}$ ${\displaystyle (S,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle (S,\Sigma ,\nu )}$ ${\displaystyle \nu .}$

La descripción es más fácil cuando es finita. Si es una medida finita en la función se admite para la convergencia en medida el siguiente sistema fundamental de vecindades ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle (S,\Sigma ),}$ ${\displaystyle 0}$ $${\displaystyle V_{\varepsilon }={\Bigl \{}f:\mu {\bigl (}\{x:|f(x)|>\varepsilon \}{\bigr )}<\varepsilon {\Bigr \}},\qquad \varepsilon >0.}$$

La topología se puede definir por cualquier métrica de la forma donde es acotada, continua, cóncava y no decreciente en con y cuando (por ejemplo, Tal métrica se llama Lévy -métrica para Bajo esta métrica el espacio es completo. Sin embargo, como se mencionó anteriormente, la multiplicación escalar es continua con respecto a esta métrica solo si . Para ver esto, considere la función medible de Lebesgue definida por . Entonces claramente . El espacio en general no está acotado localmente y no es localmente convexo. ${\displaystyle d}$ $${\displaystyle d(f,g)=\int _{S}\varphi {\bigl (}|f(x)-g(x)|{\bigr )}\,\mathrm {d} \mu (x)}$$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle [0,\infty ),}$ ${\displaystyle \varphi (0)=0}$ ${\displaystyle \varphi (t)>0}$ ${\displaystyle t>0}$ ${\displaystyle \varphi (t)=\min(t,1).}$ ${\displaystyle L^{0}.}$ ${\displaystyle L^{0}}$ ${\displaystyle \mu (S)<\infty }$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(x)=x}$ ${\displaystyle \lim _{c\rightarrow 0}d(cf,0)=\infty }$ ${\displaystyle L^{0}}$

Para la medida de Lebesgue infinita la definición del sistema fundamental de barrios podría modificarse de la siguiente manera ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ $${\displaystyle W_{\varepsilon }=\left\{f:\lambda \left(\left\{x:|f(x)|>\varepsilon {\text{ and }}|x|<{\tfrac {1}{\varepsilon }}\right\}\right)<\varepsilon \right\}}$$

El espacio resultante , con la topología de convergencia local en medida, es isomorfo al espacio para cualquier densidad integrable positiva ${\displaystyle L^{0}(\mathbb {R} ^{n},\lambda )}$ ${\displaystyle L^{0}(\mathbb {R} ^{n},g\,\lambda ),}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle g.}$

Generalizaciones y extensiones

DébilL p

Sea un espacio de medida, y una función medible con valores reales o complejos en La función de distribución de está definida para ${\displaystyle (S,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle t\geq 0}$ $${\displaystyle \lambda _{f}(t)=\mu \{x\in S:|f(x)|>t\}.}$$

Si está en para algunos con entonces por la desigualdad de Markov , ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle L^{p}(S,\mu )}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 1\leq p<\infty ,}$ $${\displaystyle \lambda _{f}(t)\leq {\frac {\|f\|_{p}^{p}}{t^{p}}}}$$

Se dice que una función está en el espacio débil , o si existe una constante tal que, para todo ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle L^{p}(S,\mu )}$ ${\displaystyle L^{p,w}(S,\mu ),}$ ${\displaystyle C>0}$ ${\displaystyle t>0,}$ $${\displaystyle \lambda _{f}(t)\leq {\frac {C^{p}}{t^{p}}}}$$

La mejor constante para esta desigualdad es la -norma de y se denota por ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle L^{p,w}}$ ${\displaystyle f,}$ $${\displaystyle \|f\|_{p,w}=\sup _{t>0}~t\lambda _{f}^{1/p}(t).}$$

Los débiles coinciden con los espacios de Lorentz por lo que también se utiliza esta notación para denotarlos. ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle L^{p,\infty },}$

La -norma no es una norma verdadera, ya que la desigualdad triangular no se cumple. Sin embargo, para en y en particular ${\displaystyle L^{p,w}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle L^{p}(S,\mu ),}$ $${\displaystyle \|f\|_{p,w}\leq \|f\|_{p}}$$ ${\displaystyle L^{p}(S,\mu )\subset L^{p,w}(S,\mu ).}$

De hecho, uno tiene y eleva el poder y toma la supremacía en uno tiene $${\displaystyle \|f\|_{L^{p}}^{p}=\int |f(x)|^{p}d\mu (x)\geq \int _{\{|f(x)|>t\}}t^{p}+\int _{\{|f(x)|\leq t\}}|f|^{p}\geq t^{p}\mu (\{|f|>t\}),}$$ ${\displaystyle 1/p}$ ${\displaystyle t}$ $${\displaystyle \|f\|_{L^{p}}\geq \sup _{t>0}t\;\mu (\{|f|>t\})^{1/p}=\|f\|_{L^{p,w}}.}$$

Según la convención de que dos funciones son iguales si son iguales casi en todas partes, entonces los espacios están completos (Grafakos 2004). ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle L^{p,w}}$

Para cualquier expresión es comparable a la -norma. Además, en el caso de que esta expresión defina una norma si Por lo tanto, para los espacios débiles son espacios de Banach (Grafakos 2004). ${\displaystyle 0<r<p}$ $${\displaystyle \||f|\|_{L^{p,\infty }}=\sup _{0<\mu (E)<\infty }\mu (E)^{-1/r+1/p}\left(\int _{E}|f|^{r}\,d\mu \right)^{1/r}}$$ ${\displaystyle L^{p,w}}$ ${\displaystyle p>1,}$ ${\displaystyle r=1.}$ ${\displaystyle p>1}$ ${\displaystyle L^{p}}$

Un resultado importante que utiliza los espacios es el teorema de interpolación de Marcinkiewicz , que tiene amplias aplicaciones en el análisis armónico y el estudio de integrales singulares . ${\displaystyle L^{p,w}}$

PonderadoL pespacios

Como antes, considere un espacio de medida Sea una función medible. El espacio ponderado se define como donde significa la medida definida por ${\displaystyle (S,\Sigma ,\mu ).}$ ${\displaystyle w:S\to [a,\infty ),a>0}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle L^{p}(S,w\,\mathrm {d} \mu ),}$ ${\displaystyle w\,\mathrm {d} \mu }$ ${\displaystyle \nu }$ $${\displaystyle \nu (A)\equiv \int _{A}w(x)\,\mathrm {d} \mu (x),\qquad A\in \Sigma ,}$$

o, en términos de la derivada de Radon–Nikodym , la norma para es explícitamente ${\displaystyle w={\tfrac {\mathrm {d} \nu }{\mathrm {d} \mu }}}$ ${\displaystyle L^{p}(S,w\,\mathrm {d} \mu )}$ $${\displaystyle \|u\|_{L^{p}(S,w\,\mathrm {d} \mu )}\equiv \left(\int _{S}w(x)|u(x)|^{p}\,\mathrm {d} \mu (x)\right)^{1/p}}$$

Como -espacios, los espacios ponderados no tienen nada especial, ya que es igual a Pero son el marco natural para varios resultados en el análisis armónico (Grafakos 2004); aparecen por ejemplo en el teorema de Muckenhoupt : para la transformada de Hilbert clásica se define en donde denota el círculo unitario y la medida de Lebesgue; el operador maximal (no lineal) de Hardy-Littlewood está acotado en El teorema de Muckenhoupt describe pesos tales que la transformada de Hilbert permanece acotada en y el operador maximal en ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle L^{p}(S,w\,\mathrm {d} \mu )}$ ${\displaystyle L^{p}(S,\mathrm {d} \nu ).}$ ${\displaystyle 1<p<\infty ,}$ ${\displaystyle L^{p}(\mathbf {T} ,\lambda )}$ ${\displaystyle \mathbf {T} }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ^{n},\lambda ).}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle L^{p}(\mathbf {T} ,w\,\mathrm {d} \lambda )}$ ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ^{n},w\,\mathrm {d} \lambda ).}$

L pespacios en colectores

También se pueden definir espacios en una variedad, llamados espacios intrínsecos de la variedad, utilizando densidades . ${\displaystyle L^{p}(M)}$ ${\displaystyle L^{p}}$

Valorado en vectoresL pespacios

Dado un espacio de medida y un espacio localmente convexo (que aquí se supone completo ), es posible definir espacios de funciones integrables con valores en de varias maneras. Una forma es definir los espacios de funciones integrables de Bochner y de Pettis , y luego dotarlos de topologías TVS localmente convexas que son (cada una a su manera) una generalización natural de la topología habitual. Otra forma implica productos tensoriales topológicos de con Elemento del espacio vectorial son sumas finitas de tensores simples donde cada tensor simple puede identificarse con la función que envía Este producto tensorial está entonces dotado de una topología localmente convexa que lo convierte en un producto tensorial topológico , los más comunes de los cuales son el producto tensorial proyectivo , denotado por y el producto tensorial inyectivo , denotado por En general, ninguno de estos espacios es completo por lo que se construyen sus completaciones , que se denotan respectivamente por y (esto es análogo a cómo el espacio de funciones simples de valor escalar en cuando seminormado por cualquier no es completo por lo que se construye una completación que, después de ser cociente por es isométricamente isomorfa al espacio de Banach ). Alexander Grothendieck demostró que cuando es un espacio nuclear (un concepto que introdujo), entonces estas dos construcciones son, respectivamente, canónicamente TVS-isomorfas con los espacios de funciones integrales de Bochner y Pettis mencionadas anteriormente; En resumen, son indistinguibles. ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle L^{p}(\Omega ,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle E.}$ ${\displaystyle L^{p}(\Omega ,\Sigma ,\mu )\otimes E}$ ${\displaystyle f_{1}\otimes e_{1}+\cdots +f_{n}\otimes e_{n},}$ ${\displaystyle f\times e}$ ${\displaystyle \Omega \to E}$ ${\displaystyle x\mapsto ef(x).}$ ${\displaystyle L^{p}(\Omega ,\Sigma ,\mu )\otimes E}$ ${\displaystyle L^{p}(\Omega ,\Sigma ,\mu )\otimes _{\pi }E,}$ ${\displaystyle L^{p}(\Omega ,\Sigma ,\mu )\otimes _{\varepsilon }E.}$ ${\displaystyle L^{p}(\Omega ,\Sigma ,\mu ){\widehat {\otimes }}_{\pi }E}$ ${\displaystyle L^{p}(\Omega ,\Sigma ,\mu ){\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }E}$ ${\displaystyle \Omega ,}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{p},}$ ${\displaystyle \ker \|\cdot \|_{p},}$ ${\displaystyle L^{p}(\Omega ,\mu )}$ ${\displaystyle E}$

Véase también

• Función absolutamente integrable  : función cuyo valor absoluto tiene integral finita.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Espacio de Bochner  – Tipo de espacio topológico
• Espacio de Orlicz  – Tipo de espacio funcional
• Espacio Hardy  : concepto dentro del análisis complejo
• Teorema de Riesz-Thorin  – Teorema sobre la interpolación de operadores
• Media de Hölder  : raíz N-ésima de la media aritmética de los números dados elevados a la potencia nPages displaying short descriptions of redirect targets
• Espacio de Hölder  – Tipo de continuidad de una función complejaPages displaying short descriptions of redirect targets
• Raíz cuadrada media  – Raíz cuadrada del cuadrado medio
• Desviaciones mínimas absolutas  – Criterio de optimalidad estadística
• Función integrable localmente  : Función que es integrable en su dominio. ${\displaystyle \left(L_{\text{loc}}^{1}\right)}$
• ${\displaystyle L^{p}(G)}$Espacios sobre un grupo localmente compacto ${\displaystyle G}$  – Dualidad para grupos abelianos localmente compactos
• Análisis espectral de mínimos cuadrados  : método de cálculo de periodicidad
• Lista de espacios de Banach
• Distancia de Minkowski  : métrica matemática en el espacio vectorial normalizado
• L-infinito  – Espacio de sucesiones acotadas
• L ^p sum  – Medida en análisis funcional

Notas

1. Hastie, TJ ; Tibshirani, R .; Wainwright, MJ (2015). Aprendizaje estadístico con escasez: el lazo y las generalizaciones . CRC Press. ISBN 978-1-4987-1216-3.
2. Rolewicz, Stefan (1987), Análisis funcional y teoría de control: sistemas lineales , Matemáticas y sus aplicaciones (Serie de Europa del Este), vol. 29 (traducido del polaco por Ewa Bednarczuk ed.), Dordrecht; Varsovia: D. Reidel Publishing Co.; PWN—Editores científicos polacos, pp. xvi+524, doi :10.1007/978-94-015-7758-8, ISBN 90-277-2186-6, MR  0920371, OCLC  13064804^{[ página necesaria ]}
3. Maddox, IJ (1988), Elementos del análisis funcional (2.ª ed.), Cambridge: CUP, página 16
4. Rafael Dahmen, Gábor Lukács: Colímites largos de grupos topológicos I: Aplicaciones continuas y homeomorfismos. en: Topología y sus aplicaciones Nr. 270, 2020. Ejemplo 2.14
5. Garling, DJH (2007). Desigualdades: un viaje al análisis lineal . Cambridge University Press. pág. 54. ISBN 978-0-521-87624-7.
6. Bahouri, Chemin y Danchin 2011, págs.
7. Bahouri, Chemin y Danchin 2011, pág. 4.
8. Bahouri, Chemin y Danchin 2011, págs.
9. Rudin, Walter (1980), Análisis real y complejo (2.ª ed.), Nueva Delhi: Tata McGraw-Hill, ISBN 9780070542341, Teorema 6.16
10. Schechter, Eric (1997), Manual de análisis y sus fundamentos , Londres: Academic Press Inc.Véanse las secciones 14.77 y 27.44–47.
11. Villani, Alfonso (1985), "Otra nota sobre la inclusión L ^p ( μ ) ⊂ L ^q ( μ ) ", Amer. Math. Monthly , 92 (7): 485–487, doi :10.2307/2322503, JSTOR  2322503, MR  0801221
12. Rudin 1991, págs. 117-119.
13. Rudin 1991, pág. 37.

1. La condición no es equivalente a ser finita, a menos que ${\displaystyle \sup \operatorname {range} |x|<+\infty .}$ ${\displaystyle \sup \operatorname {range} |x|}$ ${\displaystyle X\neq \varnothing .}$
2. Si entonces ${\displaystyle X=\varnothing }$ ${\displaystyle \sup \operatorname {range} |x|=-\infty .}$
3. Las definiciones de y se pueden extender a todos (en lugar de solo a ), pero solo cuando se garantiza que es una norma (aunque es una cuasi-seminorma para todos los ). ${\displaystyle \|\cdot \|_{p},}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu ),}$ ${\displaystyle L^{p}(S,\,\mu )}$ ${\displaystyle 0<p\leq \infty }$ ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$ ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$ ${\displaystyle 0<p\leq \infty ,}$
4. Si entonces ${\displaystyle \mu (S)=0}$ ${\displaystyle \operatorname {esssup} |f|=-\infty .}$
5. de medidas mesurables no vacío , entonces su función indicadora satisface aunque ${\displaystyle N\neq \varnothing }$ ${\displaystyle \mu (N)=0}$ ${\displaystyle \mathbf {1} _{N}}$ ${\displaystyle \|\mathbf {1} _{N}\|_{p}=0}$ ${\displaystyle \mathbf {1} _{N}\neq 0.}$
6. Explícitamente, las operaciones en el espacio vectorial se definen por: para todos y todos los escalares Estas operaciones se convierten en un espacio vectorial porque si es cualquier escalar y entonces tanto y también pertenecen a $${\displaystyle {\begin{aligned}(f+g)(x)&=f(x)+g(x),\\(sf)(x)&=sf(x)\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle f,g\in {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}$ ${\displaystyle s.}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle f,g\in {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}$ ${\displaystyle sf}$ ${\displaystyle f+g}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu ).}$

1. Cuando la desigualdad se puede deducir del hecho de que la función definida por es convexa , lo que por definición significa que para todos y todos en el dominio de Sustituyendo y en para y da lo que demuestra que La desigualdad triangular ahora implica La desigualdad deseada se deduce al integrar ambos lados. ${\displaystyle 1\leq p<\infty ,}$ ${\displaystyle \|f+g\|_{p}^{p}\leq 2^{p-1}\left(\|f\|_{p}^{p}+\|g\|_{p}^{p}\right)}$ ${\displaystyle F:[0,\infty )\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle F(t)=t^{p}}$ ${\displaystyle F(tx+(1-t)y)\leq tF(x)+(1-t)F(y)}$ ${\displaystyle 0\leq t\leq 1}$ ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle F.}$ ${\displaystyle |f|,|g|,}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle x,y,}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \left({\tfrac {1}{2}}|f|+{\tfrac {1}{2}}|g|\right)^{p}\leq {\tfrac {1}{2}}|f|^{p}+{\tfrac {1}{2}}|g|^{p},}$ ${\displaystyle (|f|+|g|)^{p}\leq 2^{p-1}(|f|^{p}+|g|^{p}).}$ ${\displaystyle |f+g|\leq |f|+|g|}$ ${\displaystyle |f+g|^{p}\leq 2^{p-1}(|f|^{p}+|g|^{p}).}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

Referencias

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• Bahouri, Hajer ; Chemin, Jean-Yves ; Danchin, Raphaël (2011). Análisis de Fourier y ecuaciones diferenciales parciales no lineales. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. vol. 343. Berlín, Heidelberg: Springer. ISBN 978-3-642-16830-7.OCLC 704397128  .
• Bourbaki, Nicolas (1987), Espacios vectoriales topológicos , Elementos de matemáticas, Berlín: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-13627-9.
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• Riesz, Frigyes (1910), "Untersuchungen über Systeme integrierbarer Funktionen", Mathematische Annalen , 69 (4): 449–497, doi :10.1007/BF01457637, S2CID  120242933
• Rudin, Walter (1991). Análisis funcional. Serie internacional de matemáticas puras y aplicadas. Vol. 8 (segunda edición). Nueva York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5.OCLC 21163277  .
• Rudin, Walter (1987), Análisis real y complejo (3.ª ed.), Nueva York: McGraw-Hill , ISBN 978-0-07-054234-1, Sr.  0924157
• Titchmarsh, EC (1976), La teoría de funciones , Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853349-8

Enlaces externos

• "Espacio de Lebesgue", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Prueba de que los espacios Lp son completos