Función integrable localmente

Función que es integrable en su dominio

En matemáticas , una función localmente integrable (a veces también llamada función localmente sumable ) ^[1] es una función que es integrable (por lo que su integral es finita) en cada subconjunto compacto de su dominio de definición . La importancia de tales funciones radica en el hecho de que su espacio de funciones es similar a los espacios L p , pero no se requiere que sus miembros satisfagan ninguna restricción de crecimiento en su comportamiento en el límite de su dominio (en el infinito si el dominio no está acotado): en otras palabras, las funciones localmente integrables pueden crecer arbitrariamente rápido en el límite del dominio, pero aún son manejables de una manera similar a las funciones integrables ordinarias.

Definición

Definición estándar

Definición 1 . ^[2] Sea Ω un conjunto abierto en el espacio euclidiano y f  : Ω → una función medible de Lebesgue . Si f en Ω es tal que ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle \int _{K}|f|\,\mathrm {d} x<+\infty ,}$

es decir, su integral de Lebesgue es finita en todos los subconjuntos compactos K de Ω , ^[3] entonces f se llama localmente integrable . El conjunto de todas esas funciones se denota por L _1,loc (Ω) :

${\displaystyle L_{1,\mathrm {loc} }(\Omega )={\bigl \{}f\colon \Omega \to \mathbb {C} {\text{ measurable}}:f|_{K}\in L_{1}(K)\ \forall \,K\subset \Omega ,\,K{\text{ compact}}{\bigr \}},}$

donde denota la restricción de f al conjunto K . ${\textstyle \left.f\right|_{K}}$

La definición clásica de una función localmente integrable involucra solo conceptos teóricos de medida y topológicos ^[4] y puede trasladarse de manera abstracta a funciones de valores complejos en un espacio de medida topológico ( X , Σ, μ ) : ^[5] sin embargo, dado que la aplicación más común de tales funciones es la teoría de distribución en espacios euclidianos, ^[2] todas las definiciones en esta y las siguientes secciones tratan explícitamente solo con este importante caso.

Una definición alternativa

Definición 2 . ^[6] Sea Ω un conjunto abierto en el espacio euclidiano . Entonces una función f  : Ω → tal que ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle \int _{\Omega }|f\varphi |\,\mathrm {d} x<+\infty ,}$

para cada función de prueba φ ∈ C ∞
c (Ω) se llama localmente integrable , y el conjunto de tales funciones se denota por L _1,loc (Ω) . Aquí C ∞
c (Ω) denota el conjunto de todas las funciones infinitamente diferenciables φ  : Ω → ${\displaystyle \mathbb {R} }$ con soporte compacto contenido en Ω .

Esta definición tiene sus raíces en el enfoque de la teoría de la medida y la integración basada en el concepto de funcional lineal continuo en un espacio vectorial topológico , desarrollado por la escuela de Nicolas Bourbaki : ^[7] es también la adoptada por Strichartz (2003) y por Maz'ya & Shaposhnikova (2009, p. 34). ^[8] Esta definición "teórica de la distribución" es equivalente a la estándar, como lo prueba el siguiente lema:

Lema 1. Una función dada f  : Ω → ${\displaystyle \mathbb {C} }$ es localmente integrable según la Definición 1 si y sólo si es localmente integrable según la Definición 2 , es decir

${\displaystyle \int _{K}|f|\,\mathrm {d} x<+\infty \quad \forall \,K\subset \Omega ,\,K{\text{ compact}}\quad \Longleftrightarrow \quad \int _{\Omega }|f\varphi |\,\mathrm {d} x<+\infty \quad \forall \,\varphi \in C_{\mathrm {c} }^{\infty }(\Omega ).}$

Prueba deLema 1

Si parte : Sea φ ∈ C ∞
c (Ω) sea una función de prueba. Está limitada por su norma suprema || φ || _∞ , es medible y tiene un soporte compacto , llamémoslo K . Por lo tanto

${\displaystyle \int _{\Omega }|f\varphi |\,\mathrm {d} x=\int _{K}|f|\,|\varphi |\,\mathrm {d} x\leq \|\varphi \|_{\infty }\int _{K}|f|\,\mathrm {d} x<\infty }$

por definición 1 .

Sólo si parte : Sea K un subconjunto compacto del conjunto abierto Ω . Primero construiremos una función de prueba φ _K ∈ C ∞
c (Ω) que mayoriza la función indicadora χ _K de K . La distancia habitual establecida ^[9] entre K y el límite ∂Ω es estrictamente mayor que cero, es decir

${\displaystyle \Delta :=d(K,\partial \Omega )>0,}$

Por lo tanto, es posible elegir un número real δ tal que Δ > 2 δ > 0 (si ∂Ω es el conjunto vacío, tome Δ = ∞ ). Sean K _δ y K _{2 δ} las vecindades cerradas δ y 2 δ de K , respectivamente. Son asimismo compactos y satisfacen

${\displaystyle K\subset K_{\delta }\subset K_{2\delta }\subset \Omega ,\qquad d(K_{\delta },\partial \Omega )=\Delta -\delta >\delta >0.}$

Ahora use la convolución para definir la función φ _K  : Ω → ${\displaystyle \mathbb {R} }$ por

${\displaystyle \varphi _{K}(x)={\chi _{K_{\delta }}\ast \varphi _{\delta }(x)}=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\chi _{K_{\delta }}(y)\,\varphi _{\delta }(x-y)\,\mathrm {d} y,}$

donde φ _δ es un suavizador construido usando el simétrico positivo estándar . Obviamente φ _K es no negativo en el sentido de que φ _K ≥ 0 , infinitamente diferenciable, y su soporte está contenido en K _{2 δ} , en particular es una función de prueba. Como φ _K ( x ) = 1 para todo x ∈ K , tenemos que χ _K ≤ φ _K .

Sea f una función localmente integrable según la Definición 2. Entonces

${\displaystyle \int _{K}|f|\,\mathrm {d} x=\int _{\Omega }|f|\chi _{K}\,\mathrm {d} x\leq \int _{\Omega }|f|\varphi _{K}\,\mathrm {d} x<\infty .}$

Como esto es válido para cada subconjunto compacto K de Ω , la función f es localmente integrable según la Definición 1. □

Generalización: localmentepag-funciones integrables

Definición 3 . ^[10] Sea Ω un conjunto abierto en el espacio euclidiano y f  : Ω → una función medible de Lebesgue. Si, para un p dado con 1 ≤ p ≤ +∞ , f satisface ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle \int _{K}|f|^{p}\,\mathrm {d} x<+\infty ,}$

es decir, pertenece a L _p ( K ) para todos los subconjuntos compactos K de Ω , entonces f se llama localmente p - integrable o también p - localmente integrable . ^[10] El conjunto de todas estas funciones se denota por L _{p ,loc} (Ω) :

${\displaystyle L_{p,\mathrm {loc} }(\Omega )=\left\{f:\Omega \to \mathbb {C} {\text{ measurable }}\left|\ f|_{K}\in L_{p}(K),\ \forall \,K\subset \Omega ,K{\text{ compact}}\right.\right\}.}$

También se puede dar una definición alternativa, completamente análoga a la dada para funciones localmente integrables, para funciones localmente p -integrables: también se puede demostrar que es equivalente a la de esta sección. ^[11] A pesar de su aparente mayor generalidad, las funciones localmente p -integrables forman un subconjunto de funciones localmente integrables para cada p tal que 1 < p ≤ +∞ . ^[12]

Notación

Aparte de los diferentes glifos que pueden usarse para la "L" mayúscula, ^[13] existen pocas variantes para la notación del conjunto de funciones localmente integrables.

• ${\displaystyle L_{\mathrm {loc} }^{p}(\Omega ),}$adoptado por (Hörmander 1990, p. 37), (Strichartz 2003, pp. 12-13) y (Vladimirov 2002, p. 3).
• ${\displaystyle L_{p,\mathrm {loc} }(\Omega ),}$adoptado por (Maz'ya & Poborchi 1997, p. 4) y Maz'ya & Shaposhnikova (2009, p. 44).
• ${\displaystyle L_{p}(\Omega ,\mathrm {loc} ),}$adoptado por (Maz'ja 1985, p. 6) y (Maz'ya 2011, p. 2).

Propiedades

yop ,loces un espacio métrico completo para todospag≥ 1

Teorema 1. [ ^14] L _{p ,loc} es un espacio metrizable completo : su topología puede generarse mediante la siguiente métrica :

${\displaystyle d(u,v)=\sum _{k\geq 1}{\frac {1}{2^{k}}}{\frac {\Vert u-v\Vert _{p,\omega _{k}}}{1+\Vert u-v\Vert _{p,\omega _{k}}}}\qquad u,v\in L_{p,\mathrm {loc} }(\Omega ),}$

donde { ω _k } _{k ≥1} es una familia de conjuntos abiertos no vacíos tales que

• ω _k ⊂⊂ ω _{k +1} , lo que significa que ω _k está incluido de forma compacta en ω _{k +1,} es decir, es un conjunto que tiene cierre compacto estrictamente incluido en el conjunto de índice superior.
• ∪ _{kω k} = Ω .
• ${\displaystyle \scriptstyle {\Vert \cdot \Vert _{p,\omega _{k}}}\to \mathbb {R} ^{+}}$, k ∈ es una familia indexada de seminormas , definida como ${\displaystyle \mathbb {N} }$

${\displaystyle {\Vert u\Vert _{p,\omega _{k}}}=\left(\int _{\omega _{k}}|u(x)|^{p}\,\mathrm {d} x\right)^{1/p}\qquad \forall \,u\in L_{p,\mathrm {loc} }(\Omega ).}$

En las referencias (Gilbarg y Trudinger 2001, p. 147), (Maz'ya y Poborchi 1997, p. 5), (Maz'ja 1985, p. 6) y (Maz'ya 2011, p. 2), este teorema se enuncia pero no se demuestra sobre una base formal: ^[15] una prueba completa de un resultado más general, que lo incluye, se encuentra en (Meise y Vogt 1997, p. 40).

yopages un subespacio deyo1,loca pesar depag≥ 1

Teorema 2. Toda función f perteneciente a L _p (Ω) , 1 ≤ p ≤ +∞ , donde Ω es un subconjunto abierto de , es localmente integrable. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Demostración . El caso p = 1 es trivial, por lo tanto en la continuación de la demostración se supone que 1 < p ≤ +∞ . Considérese la función característica χ _K de un subconjunto compacto K de Ω : entonces, para p ≤ +∞ ,

${\displaystyle \left|{\int _{\Omega }|\chi _{K}|^{q}\,\mathrm {d} x}\right|^{1/q}=\left|{\int _{K}\mathrm {d} x}\right|^{1/q}=|K|^{1/q}<+\infty ,}$

dónde

• q es un número positivo tal que 1/ p + 1/ q = 1 para un dado 1 ≤ p ≤ +∞
• | K | es la medida de Lebesgue del conjunto compacto K

Entonces, para cualquier f perteneciente a L _p (Ω) , por la desigualdad de Hölder , el producto fχ _K es integrable , es decir, pertenece a L ₁ (Ω) y

${\displaystyle {\int _{K}|f|\,\mathrm {d} x}={\int _{\Omega }|f\chi _{K}|\,\mathrm {d} x}\leq \left|{\int _{\Omega }|f|^{p}\,\mathrm {d} x}\right|^{1/p}\left|{\int _{K}\mathrm {d} x}\right|^{1/q}=\|f\|_{p}|K|^{1/q}<+\infty ,}$

por lo tanto

${\displaystyle f\in L_{1,\mathrm {loc} }(\Omega ).}$

Nótese que dado que la siguiente desigualdad es verdadera

${\displaystyle {\int _{K}|f|\,\mathrm {d} x}={\int _{\Omega }|f\chi _{K}|\,\mathrm {d} x}\leq \left|{\int _{K}|f|^{p}\,\mathrm {d} x}\right|^{1/p}\left|{\int _{K}\mathrm {d} x}\right|^{1/q}=\|f\chi _{K}\|_{p}|K|^{1/q}<+\infty ,}$

El teorema es válido también para funciones f que pertenecen únicamente al espacio de funciones localmente p -integrables, por lo tanto el teorema implica también el siguiente resultado.

Corolario 1. Toda función en , , es localmente integrable, es decir, pertenece a . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle L_{p,loc}(\Omega )}$ ${\displaystyle 1<p\leq \infty }$ ${\displaystyle L_{1,loc}(\Omega )}$

Nota: Si es un subconjunto abierto de que también está acotado, entonces se tiene la inclusión estándar que tiene sentido dada la inclusión anterior . Pero la primera de estas afirmaciones no es verdadera si no está acotado; entonces sigue siendo cierto que para cualquier , pero no que . Para ver esto, uno considera típicamente la función , que está en pero no en para cualquier finito . ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle L_{p}(\Omega )\subset L_{1}(\Omega )}$ ${\displaystyle L_{1}(\Omega )\subset L_{1,loc}(\Omega )}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle L_{p}(\Omega )\subset L_{1,loc}(\Omega )}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle L_{p}(\Omega )\subset L_{1}(\Omega )}$ ${\displaystyle u(x)=1}$ ${\displaystyle L_{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle L_{p}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle p}$

yo1,loces el espacio de densidades de medidas absolutamente continuas

Teorema 3. Una función f es la densidad de una medida absolutamente continua si y sólo si . ${\displaystyle f\in L_{1,loc}}$

La prueba de este resultado está esbozada por (Schwartz 1998, p. 18). Reformulando su enunciado, este teorema afirma que toda función localmente integrable define una medida absolutamente continua y, a la inversa, que toda medida absolutamente continua define una función localmente integrable: esta es también, en el marco de la teoría de la medida abstracta, la forma del importante teorema de Radon-Nikodym expuesto por Stanisław Saks en su tratado. ^[16]

Ejemplos

• La función constante 1 definida en la recta real es integrable localmente pero no globalmente ya que la recta real tiene medida infinita. En términos más generales, las constantes , las funciones continuas ^[17] y las funciones integrables son integrables localmente. ^[18]
• La función para x ∈ (0, 1) es localmente pero no globalmente integrable en (0, 1). Es localmente integrable ya que cualquier conjunto compacto K ⊆ (0, 1) tiene una distancia positiva de 0 y, por lo tanto, f está acotado en K. Este ejemplo respalda la afirmación inicial de que las funciones localmente integrables no requieren la satisfacción de condiciones de crecimiento cerca del límite en dominios acotados. ${\displaystyle f(x)=1/x}$
• La función

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}1/x&x\neq 0,\\0&x=0,\end{cases}}\quad x\in \mathbb {R} }$

no es localmente integrable en x = 0 : de hecho es localmente integrable cerca de este punto ya que su integral sobre cada conjunto compacto que no lo incluye es finita. Formalmente hablando, : ^[19] sin embargo, esta función puede extenderse a una distribución en su totalidad como un valor principal de Cauchy . ^[20] ${\displaystyle 1/x\in L_{1,loc}(\mathbb {R} \setminus 0)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

• El ejemplo anterior plantea una pregunta: ¿toda función que es localmente integrable en Ω ⊊ admite una extensión al todo como distribución? La respuesta es negativa y la siguiente función proporciona un contraejemplo: ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}e^{1/x}&x\neq 0,\\0&x=0,\end{cases}}}$

no define ninguna distribución en . ^[21] ${\displaystyle \mathbb {R} }$

• El siguiente ejemplo, similar al anterior, es una función perteneciente a L _1,loc (  \ 0) que sirve como contraejemplo elemental en la aplicación de la teoría de distribuciones a operadores diferenciales con coeficientes singulares irregulares : ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}k_{1}e^{1/x^{2}}&x>0,\\0&x=0,\\k_{2}e^{1/x^{2}}&x<0,\end{cases}}}$

donde k ₁ y k ₂ son constantes complejas , es una solución general de la siguiente ecuación diferencial elemental no fuchsiana de primer orden

${\displaystyle x^{3}{\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}+2f=0.}$

Nuevamente, no define ninguna distribución en su totalidad , si k ₁ o k ₂ no son cero: la única solución global distribucional de dicha ecuación es, por lo tanto, la distribución cero, y esto muestra cómo, en esta rama de la teoría de ecuaciones diferenciales, no se puede esperar que los métodos de la teoría de distribuciones tengan el mismo éxito alcanzado en otras ramas de la misma teoría, en particular en la teoría de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes. ^[22] ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Aplicaciones

Las funciones localmente integrables desempeñan un papel destacado en la teoría de la distribución y aparecen en la definición de varias clases de funciones y espacios de funciones , como las funciones de variación acotada . Además, aparecen en el teorema de Radon-Nikodym al caracterizar la parte absolutamente continua de cada medida.

Véase también

• Conjunto compacto
• Distribución (matemáticas)
• Teorema de densidad de Lebesgue
• Teorema de diferenciación de Lebesgue
• Integral de Lebesgue
• Espacio LP

Notas

1. Según Gel'fand y Shilov (1964, pág. 3).
2. Véase por ejemplo (Schwartz 1998, p. 18) y (Vladimirov 2002, p. 3).
3. Otra ligera variante de esta definición, elegida por Vladimirov (2002, p. 1), es requerir solamente que K ⋐ Ω (o, usando la notación de Gilbarg & Trudinger (2001, p. 9), K ⊂⊂ Ω ), lo que significa que K está estrictamente incluido en Ω, es decir, es un conjunto que tiene clausura compacta estrictamente incluida en el conjunto ambiental dado.
4. La noción de compacidad debe obviamente definirse en el espacio de medida abstracto dado.
5. Este es el enfoque desarrollado por ejemplo por Cafiero (1959, pp. 285-342) y por Saks (1937, capítulo I), sin tratar explícitamente el caso localmente integrable.
6. Véase, por ejemplo, (Strichartz 2003, págs. 12-13).
7. Este enfoque fue elogiado por Schwartz (1998, pp. 16-17) quien también destacó su utilidad, aunque utilizó la Definición 1 para definir funciones localmente integrables.
8. Nótese que Maz'ya y Shaposhnikova definen explícitamente sólo la versión "localizada" del espacio de Sobolev W ^{k , p} (Ω) , aunque afirman explícitamente que se utiliza el mismo método para definir versiones localizadas de todos los demás espacios de Banach utilizados en el libro citado: en particular, L _{p ,loc} (Ω) se introduce en la página 44.
9. No debe confundirse con la distancia de Hausdorff .
10. Véase, por ejemplo (Vladimirov 2002, p. 3) y (Maz'ya & Poborchi 1997, p. 4).
11. Como se señaló en la sección anterior, este es el enfoque adoptado por Maz'ya y Shaposhnikova (2009), sin desarrollar los detalles elementales.
12. Precisamente, forman un subespacio vectorial de L _1,loc (Ω) : ver Corolario 1 del Teorema 2 .
13. Véase por ejemplo (Vladimirov 2002, p. 3), donde se utiliza una ℒ caligráfica.
14. Véase (Gilbarg y Trudinger 2001, pág. 147), (Maz'ya y Poborchi 1997, pág. 5) para una declaración de estos resultados, y también las breves notas en (Maz'ja 1985, pág. 6) y (Maz'ya 2011, pág. 2).
15. Gilbarg y Trudinger (2001, p. 147) y Maz'ya y Poborchi (1997, p. 5) sólo esbozan muy brevemente el método de prueba, mientras que en (Maz'ja 1985, p. 6) y (Maz'ya 2011, p. 2) se supone como un resultado conocido, a partir del cual comienza el desarrollo posterior.
16. Según Saks (1937, p. 36), " Si E es un conjunto de medida finita, o, más generalmente, la suma de una secuencia de conjuntos de medida finita ( μ ) , entonces, para que una función aditiva de un conjunto ( 𝔛 ) en E sea absolutamente continua en E , es necesario y suficiente que esta función de un conjunto sea la integral indefinida de alguna función integrable de un punto de E ". Suponiendo que ( μ ) es la medida de Lebesgue, se puede ver que las dos afirmaciones son equivalentes.
17. Véase, por ejemplo, (Hörmander 1990, pág. 37).
18. Véase (Strichartz 2003, pág. 12).
19. Véase (Schwartz 1998, pág. 19).
20. Ver (Vladimirov 2002, págs. 19-21).
21. Ver (Vladimirov 2002, p. 21).
22. Para una breve discusión de este ejemplo, véase (Schwartz 1998, pp. 131-132).

Referencias

• Cafiero, Federico (1959), Misura e integrazione , Monografie matematiche del Consiglio Nazionale delle Ricerche (en italiano), vol. 5, Roma : Edizioni Cremonese, págs. VII+451, MR  0215954, Zbl  0171.01503Medida e integración (como se lee en la traducción al inglés del título) es una monografía definitiva sobre la integración y la teoría de la medida: el tratamiento del comportamiento límite de la integral de varios tipos de secuencias de estructuras relacionadas con la medida (funciones medibles, conjuntos medibles , medidas y sus combinaciones) es algo concluyente.
• Gel'fand, IM ; Shilov, GE (1964) [1958], Funciones generalizadas. Vol. I: Propiedades y operaciones, Nueva York–Londres: Academic Press , pp. xviii+423, ISBN 978-0-12-279501-5, MR  0166596, Zbl  0115.33101Traducido de la edición rusa original de 1958 por Eugene Saletan, esta es una importante monografía sobre la teoría de funciones generalizadas , que trata tanto de distribuciones como de funcionales analíticos.
• Gilbarg, David ; Trudinger, Neil S. (2001) [1998], Ecuaciones diferenciales parciales elípticas de segundo orden, Classics in Mathematics (3.ª edición revisada de la 2.ª ed.), Berlín – Heidelberg – Nueva York: Springer Verlag , pp. xiv+517, ISBN 3-540-41160-7, MR  1814364, Zbl  1042.35002.
• Hörmander, Lars (1990), El análisis de operadores diferenciales parciales lineales I , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaft, vol. 256 (2.ª ed.), Berlín - Heidelberg - Nueva York : Springer-Verlag , págs. xii+440, ISBN 0-387-52343-X, MR  1065136, Zbl  0712.35001(disponible también como ISBN 3-540-52343-X ). 
• Maz'ja, Vladimir G. (1985), Sobolev Spaces , Berlín-Heidelberg-Nueva York: Springer-Verlag , págs. xix+486, ISBN 3-540-13589-8, MR  0817985, Zbl  0692.46023(disponible también como ISBN 0-387-13589-8 ). 
• Maz'ya, Vladimir G. (2011) [1985], Espacios Sobolev. Con aplicaciones a ecuaciones diferenciales parciales elípticas. , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 342 (segunda edición revisada y aumentada), Berlín – Heidelberg – Nueva York: Springer Verlag , págs. xxviii + 866, ISBN 978-3-642-15563-5, MR  2777530, Zbl  1217.46002.
• Maz'ya, Vladimir G. ; Poborchi, Sergei V. (1997), Funciones diferenciables en dominios defectuosos , Singapur–Nueva Jersey–Londres–Hong Kong: World Scientific , págs. xx+481, ISBN 981-02-2767-1, MR  1643072, Zbl  0918.46033.
• Maz'ya, Vladimir G .; Shaposhnikova, Tatyana O. (2009), Teoría de los multiplicadores de Sobolev. Con aplicaciones a operadores diferenciales e integrales, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaft, vol. 337, Heidelberg : Springer-Verlag , págs. xiii+609, ISBN 978-3-540-69490-8, MR  2457601, Zbl  1157.46001.
• Meise, Reinhold; Vogt, Dietmar (1997), Introducción al análisis funcional , Oxford Graduate Texts in Mathematics, vol. 2, Oxford: Clarendon Press , pp. x+437, ISBN 0-19-851485-9, MR  1483073, Zbl  0924.46002.
• Saks, Stanisław (1937), Teoría de la integral, Monografie Matematyczne, vol. 7 (2ª ed.), Varsovia - Lwów : GE Stechert & Co., págs. VI+347, JFM  63.0183.05, MR  0167578, Zbl  0017.30004Traducción al inglés de Laurence Chisholm Young , con dos notas adicionales de Stefan Banach : el número de Mathematical Reviews se refiere a la edición de Dover Publications de 1964, que es básicamente una reimpresión.
• Schwartz, Laurent (1998) [1966], Théorie des Distributions , Publications de l'Institut de Mathématique de l'Université de Strasbourg (en francés) (Nouvelle ed.), París: Hermann Éditeurs, págs. xiii+420, ISBN 2-7056-5551-4, MR  0209834, Zbl  0149.09501.
• Strichartz, Robert S. (2003), Una guía para la teoría de la distribución y las transformadas de Fourier (segunda edición), River Edge, NJ : World Scientific Publishers , págs. x+226, ISBN 981-238-430-8, MR  2000535, Zbl  1029.46039.
• Vladimirov, VS (2002), Métodos de la teoría de funciones generalizadas, Analytical Methods and Special Functions, vol. 6, Londres-Nueva York: Taylor & Francis , pp. XII+353, ISBN 0-415-27356-0, MR  2012831, Zbl  1078.46029. Una monografía sobre la teoría de funciones generalizadas escrita con miras a sus aplicaciones a varias variables complejas y a la física matemática , como es habitual en el autor.

Enlaces externos

• Rowland, Todd. "Localmente integrable". MathWorld .
• Vinogradova, IA (2001) [1994], "Función localmente integrable", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press

Este artículo incorpora material de Función integrable localmente en PlanetMath , que se encuentra bajo la licencia Creative Commons Attribution/Share-Alike License .