Función matemática que caracteriza la pertenencia a un conjunto
En matemáticas , una función indicadora o función característica de un subconjunto de un conjunto es una función que asigna los elementos del subconjunto a uno y todos los demás elementos a cero. Es decir, si A es un subconjunto de algún conjunto X , entonces si y en caso contrario, donde es una notación común para la función indicadora. Otras notaciones comunes son y
La función indicadora de A es el corchete de Iverson de la propiedad de pertenencia a A ; es decir,
La función indicadora de un subconjunto A de un conjunto X es una función
definido como
1 A ( x ) := { 1 si x ∈ A , 0 si x ∉ A . {\displaystyle \mathbf {1} _{A}(x):={\begin{cases}1~&{\text{ si }}~x\en A~,\\0~&{\text{ si }}~x\notin A~.\end{cases}}}
El corchete de Iverson proporciona la notación equivalente, o ⟦ x ∈ A ⟧ , que se utilizará en lugar de
La función a veces se denota I A , χ A , K A o incluso simplemente A . [a] [b]
Un concepto relacionado en estadística es el de variable ficticia (no debe confundirse con "variables ficticias", como se suele usar ese término en matemáticas, también llamada variable ligada ).
El término " función característica " tiene un significado no relacionado con la teoría clásica de la probabilidad . Por esta razón, los probabilistas tradicionales utilizan el término función indicadora para la función definida aquí casi exclusivamente, mientras que los matemáticos de otros campos tienden más a utilizar el término función característica [a] para describir la función que indica la pertenencia a un conjunto.
De manera más general, supongamos que es una colección de subconjuntos de X. Para cualquier
es claramente un producto de 0 s y 1 s. Este producto tiene el valor 1 precisamente en aquellos que no pertenecen a ninguno de los conjuntos y es 0 en caso contrario. Es decir
En muchos casos, como en la teoría del orden , se puede definir la inversa de la función indicadora. Esto se denomina comúnmente función de Möbius generalizada , como una generalización de la inversa de la función indicadora en la teoría de números elemental , la función de Möbius . (Véase el párrafo siguiente sobre el uso de la inversa en la teoría de la recursión clásica).
Función característica en la teoría de la recursión, función representativa de Gödel y Kleene
Kurt Gödel describió la función de representación en su artículo de 1934 "Sobre proposiciones indecidibles de sistemas matemáticos formales" (el "¬" indica inversión lógica, es decir "NO"): [1] : 42
A cada clase o relación R le corresponderá una función representativa si y si
Kleene ofrece la misma definición en el contexto de las funciones recursivas primitivas como una función φ de un predicado P toma valores 0 si el predicado es verdadero y 1 si el predicado es falso. [2]
Por ejemplo, debido a que el producto de funciones características siempre que cualquiera de las funciones es igual a 0 , desempeña el papel de OR lógico: IF OR ... OR THEN su producto es 0. Lo que aparece al lector moderno como la inversión lógica de la función que representa, es decir, la función que representa es 0 cuando la función R es "verdadera" o se satisface, desempeña un papel útil en la definición de Kleene de las funciones lógicas OR, AND e IMPLY, [2] : 228 los operadores mu acotados- [2] : 228 e ilimitados- [2] : 279 ff y la función CASE. [2] : 229
Función característica en la teoría de conjuntos difusos
En las matemáticas clásicas, las funciones características de los conjuntos solo toman valores 1 (miembros) o 0 (no miembros). En la teoría de conjuntos difusos , las funciones características se generalizan para tomar valor en el intervalo de unidad real [0, 1] , o más generalmente, en alguna álgebra o estructura (generalmente se requiere que sea al menos un conjunto parcial o reticular ). Tales funciones características generalizadas se denominan más comúnmente funciones de pertenencia , y los "conjuntos" correspondientes se denominan conjuntos difusos . Los conjuntos difusos modelan el cambio gradual en el grado de pertenencia observado en muchos predicados del mundo real como "alto", "cálido", etc.
Suavidad
En general, la función indicadora de un conjunto no es suave; es continua si y solo si su soporte es un componente conexo . Sin embargo, en la geometría algebraica de cuerpos finitos , toda variedad afín admite una función indicadora continua ( de Zariski ). [3] Dado un conjunto finito de funciones, sea su lugar geométrico nulo. Entonces, la función actúa como una función indicadora para . Si entonces , de lo contrario, para algún , tenemos , lo que implica que , por lo tanto .
Así, la derivada de la función escalón de Heaviside puede verse como la derivada normal hacia adentro en el límite del dominio dado por la semirrecta positiva. En dimensiones superiores, la derivada se generaliza naturalmente a la derivada normal hacia adentro, mientras que la función escalón de Heaviside se generaliza naturalmente a la función indicadora de algún dominio D . La superficie de D se denotará por S . Procediendo, se puede derivar que la derivada normal hacia adentro del indicador da lugar a una 'función delta de superficie', que puede indicarse por :
donde n es la normal hacia afuera de la superficie S . Esta 'función delta de superficie' tiene la siguiente propiedad: [4]
^ ab La letra griega χ aparece porque es la letra inicial de la palabra griega χαρακτήρ , que es el origen último de la palabra característica .
^ El conjunto de todas las funciones indicadoras en X se puede identificar con el conjunto potencia de X . En consecuencia, ambos conjuntos a veces se denotan por Este es un caso especial ( ) de la notación para el conjunto de todas las funciones
Referencias
^ Davis, Martin , ed. (1965). Lo indecidible . Nueva York, NY: Raven Press Books. págs. 41–74.
^ abcde Kleene, Stephen (1971) [1952]. Introducción a las metamatemáticas (sexta reimpresión, con correcciones ed.). Países Bajos: Wolters-Noordhoff Publishing y North Holland Publishing Company. pág. 227.
^ Serre. Curso de aritmética . pág. 5.
^ Lange, Rutger-Jan (2012). "Teoría del potencial, integrales de trayectoria y el laplaciano del indicador". Journal of High Energy Physics . 2012 (11): 29–30. arXiv : 1302.0864 . Código Bibliográfico :2012JHEP...11..032L. doi :10.1007/JHEP11(2012)032. S2CID 56188533.
Fuentes
Folland, GB (1999). Análisis real: técnicas modernas y sus aplicaciones (segunda edición). John Wiley & Sons, Inc. ISBN 978-0-471-31716-6.
Davis, Martin , ed. (1965). Lo indecidible . Nueva York, NY: Raven Press Books.
Kleene, Stephen (1971) [1952]. Introducción a las metamatemáticas (sexta reimpresión, con correcciones ed.). Países Bajos: Wolters-Noordhoff Publishing y North Holland Publishing Company.
Zadeh, LA (junio de 1965). "Conjuntos difusos". Información y control . 8 (3). San Diego: 338–353. doi : 10.1016/S0019-9958(65)90241-X . ISSN 0019-9958. Zbl 0139.24606. Wikidata Q25938993.
Goguen, Joseph (1967). " Conjuntos L -difusos". Revista de análisis matemático y aplicaciones . 18 (1): 145–174. doi :10.1016/0022-247X(67)90189-8. hdl : 10338.dmlcz/103980 .