Transformada de Hilbert

Transformada integral y operador lineal.

En matemáticas y procesamiento de señales , la transformada de Hilbert es una integral singular específica que toma una función, u ( t ) de una variable real y produce otra función de una variable real H( u )( t ) . La transformada de Hilbert viene dada por el valor principal de Cauchy de la convolución con la función (ver § Definición). La transformada de Hilbert tiene una representación particularmente simple en el dominio de la frecuencia : imparte un desplazamiento de fase de ±90° ( π /2 radianes) a cada componente de frecuencia de una función, el signo del desplazamiento depende del signo de la frecuencia (ver § Relación con la transformada de Fourier). La transformada de Hilbert es importante en el procesamiento de señales, donde es un componente de la representación analítica de una señal de valor real u ( t ) . La transformada de Hilbert fue introducida por primera vez por David Hilbert en este contexto, para resolver un caso especial del problema de Riemann-Hilbert para funciones analíticas. ${\displaystyle 1/(\pi t)}$

Definición

La transformada de Hilbert de u puede considerarse como la convolución de u ( t ) con la función h ( t ) =1/πt​, conocido como núcleo de Cauchy . Debido a que 1/ t no es integrable en t = 0 , la integral que define la convolución no siempre converge. En cambio, la transformada de Hilbert se define utilizando el valor principal de Cauchy (indicado aquí por pv ). Explícitamente, la transformada de Hilbert de una función (o señal) u ( t ) viene dada por

$${\displaystyle \operatorname {H} (u)(t)={\frac {1}{\pi }}\,\operatorname {p.v.} \int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {u(\tau )}{t-\tau }}\,\mathrm {d} \tau ,}$$

siempre que esta integral exista como valor principal. Esta es precisamente la convolución de u con la distribución templada p.v.1/πt​. ^[1] Alternativamente, al cambiar las variables, la integral del valor principal se puede escribir explícitamente ^[2] como

$${\displaystyle \operatorname {H} (u)(t)={\frac {2}{\pi }}\,\lim _{\varepsilon \to 0}\int _{\varepsilon }^{\infty }{\frac {u(t-\tau )-u(t+\tau )}{2\tau }}\,\mathrm {d} \tau .}$$

Cuando la transformada de Hilbert se aplica dos veces seguidas a una función u , el resultado es

$${\displaystyle \operatorname {H} {\bigl (}\operatorname {H} (u){\bigr )}(t)=-u(t),}$$

siempre que las integrales que definen ambas iteraciones converjan en un sentido adecuado. En particular, la transformada inversa es . Este hecho se puede ver más fácilmente considerando el efecto de la transformada de Hilbert sobre la transformada de Fourier de u ( t ) (ver § Relación con la transformada de Fourier a continuación). ${\displaystyle -\operatorname {H} }$

Para una función analítica en el semiplano superior , la transformada de Hilbert describe la relación entre la parte real y la parte imaginaria de los valores límite. Es decir, si f ( z ) es analítica en el plano complejo medio superior { z  : Im{ z } > 0} , y u ( t ) = Re{ f ( t + 0· i )} , entonces Im{ f ( t + 0· i )} = H( u )( t ) hasta una constante aditiva, siempre que exista esta transformada de Hilbert.

Notación

En el procesamiento de señales, la transformada de Hilbert de u ( t ) se denota comúnmente por . ^[3] Sin embargo, en matemáticas, esta notación ya se utiliza ampliamente para denotar la transformada de Fourier de u ( t ) . ^[4] Ocasionalmente, la transformada de Hilbert puede denotarse por . Además, muchas fuentes definen la transformada de Hilbert como la negativa de la definida aquí. ^[5] ${\displaystyle {\hat {u}}(t)}$ ${\displaystyle {\tilde {u}}(t)}$

Historia

La transformada de Hilbert surgió en el trabajo de Hilbert de 1905 sobre un problema planteado por Riemann sobre funciones analíticas, ^{[6] [7]} que ha llegado a conocerse como el problema de Riemann-Hilbert . El trabajo de Hilbert se centró principalmente en la transformada de Hilbert para funciones definidas en el círculo. ^{[8] [9]} Algunos de sus trabajos anteriores relacionados con la transformada discreta de Hilbert se remontan a conferencias que dio en Göttingen . Los resultados fueron publicados posteriormente por Hermann Weyl en su disertación. ^[10] Schur mejoró los resultados de Hilbert sobre la transformada discreta de Hilbert y los extendió al caso integral. ^[11] Estos resultados se restringieron a los espacios L ² y ℓ ² . En 1928, Marcel Riesz demostró que la transformada de Hilbert se puede definir para u en ( espacio L p ) para 1 < p < ∞ , que la transformada de Hilbert es un operador acotado para 1 < p < ∞ y que resultados similares son válidos para la transformada de Hilbert en el círculo así como la transformada de Hilbert discreta. ^[12] La transformada de Hilbert fue un ejemplo motivador para Antoni Zygmund y Alberto Calderón durante su estudio de integrales singulares . ^[13] Sus investigaciones han jugado un papel fundamental en el análisis armónico moderno. Varias generalizaciones de la transformada de Hilbert, como las transformadas de Hilbert bilineales y trilineales, siguen siendo áreas de investigación activas en la actualidad. ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$

Relación con la transformada de Fourier

La transformada de Hilbert es un operador multiplicador . ^[14] El multiplicador de H es σ _H ( ω ) = − i sgn( ω ) , donde sgn es la función signum . Por lo tanto:

$${\displaystyle {\mathcal {F}}{\bigl (}\operatorname {H} (u){\bigr )}(\omega )=-i\operatorname {sgn}(\omega )\cdot {\mathcal {F}}(u)(\omega ),}$$

donde denota la transformada de Fourier . Dado que sgn( x ) = sgn(2 π x ) , se deduce que este resultado se aplica a las tres definiciones comunes de . ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Por la fórmula de Euler ,

$${\displaystyle \sigma _{\operatorname {H} }(\omega )={\begin{cases}~~i=e^{+i\pi /2},&{\text{for }}\omega <0,\\~~0,&{\text{for }}\omega =0,\\-i=e^{-i\pi /2},&{\text{for }}\omega >0.\end{cases}}}$$

Por lo tanto, H( u )( t ) tiene el efecto de desplazar la fase de los componentes de frecuencia negativos de u ( t ) en +90° ( π ⁄ 2  radianes) y la fase de los componentes de frecuencia positivos en −90°, y i ·H( u )( t ) tiene el efecto de restaurar los componentes de frecuencia positivos mientras desplaza los de frecuencia negativa +90° adicionales, lo que resulta en su negación (es decir, una multiplicación por −1).

Cuando la transformada de Hilbert se aplica dos veces, la fase de los componentes de frecuencia negativos y positivos de u ( t ) se desplazan respectivamente +180° y −180°, que son cantidades equivalentes. La señal es negada; es decir, H(H( u )) = − u , porque

$${\displaystyle \left(\sigma _{\operatorname {H} }(\omega )\right)^{2}=e^{\pm i\pi }=-1\quad {\text{for }}\omega \neq 0.}$$

Tabla de transformadas de Hilbert seleccionadas

En la siguiente tabla, el parámetro de frecuencia es real. ${\displaystyle \omega }$

Notas

1. Algunos autores (por ejemplo, Bracewell) utilizan nuestro −H como definición de transformada directa. Una consecuencia es que se negaría la columna derecha de esta tabla.
2. La transformada de Hilbert de las funciones sen y cos se puede definir tomando el valor principal de la integral en el infinito. Esta definición concuerda con el resultado de definir distributivamente la transformada de Hilbert.

Está disponible una tabla extensa de transformadas de Hilbert. ^[15] Tenga en cuenta que la transformada de Hilbert de una constante es cero.

Dominio de definición

De ninguna manera es obvio que la transformada de Hilbert esté bien definida, ya que la integral impropia que la define debe converger en un sentido adecuado. Sin embargo, la transformada de Hilbert está bien definida para una amplia clase de funciones, concretamente aquellas para 1 < p < ∞ . ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$

Más precisamente, si u es para 1 < p < ∞ , entonces el límite que define la integral impropia ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$

$${\displaystyle \operatorname {H} (u)(t)={\frac {2}{\pi }}\lim _{\varepsilon \to 0}\int _{\varepsilon }^{\infty }{\frac {u(t-\tau )-u(t+\tau )}{2\tau }}\,d\tau }$$

existe para casi todos los t . La función límite también está y de hecho es el límite en la media de la integral impropia. Eso es, ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$

$${\displaystyle {\frac {2}{\pi }}\int _{\varepsilon }^{\infty }{\frac {u(t-\tau )-u(t+\tau )}{2\tau }}\,\mathrm {d} \tau \to \operatorname {H} (u)(t)}$$

como ε → 0 en la norma L ^p , así como puntualmente en casi todas partes, según el teorema de Titchmarsh. ^[dieciséis]

En el caso p = 1 , la transformada de Hilbert todavía converge puntualmente en casi todas partes, pero puede no ser integrable, ni siquiera localmente. ^[17] En particular, la convergencia en la media no ocurre en general en este caso. Sin embargo, la transformada de Hilbert de una función L ¹ converge en L ¹ -débil, y la transformada de Hilbert es un operador acotado de L ¹ a L ^1,w . ^[18] (En particular, dado que la transformada de Hilbert es también un operador multiplicador en L ² , la interpolación de Marcinkiewicz y un argumento de dualidad proporcionan una prueba alternativa de que H está acotado en L ^p .)

Propiedades

Limitación

Si 1 < p < ∞ , entonces la transformada de Hilbert es un operador lineal acotado , lo que significa que existe una constante C _p tal que ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$

$${\displaystyle \left\|\operatorname {H} u\right\|_{p}\leq C_{p}\left\|u\right\|_{p}}$$

para todos . ^[19] ${\displaystyle u\in L^{p}(\mathbb {R} )}$

La mejor constante está dada por ^[20] ${\displaystyle C_{p}}$

$${\displaystyle C_{p}={\begin{cases}\tan {\frac {\pi }{2p}}&{\text{for}}~1<p\leq 2,\\[4pt]\cot {\frac {\pi }{2p}}&{\text{for}}~2<p<\infty .\end{cases}}}$$

Una manera fácil de encontrar lo mejor por ser una potencia de 2 es a través de la llamada identidad de Cotlar que para todos los valores reales vale f . Las mismas mejores constantes son válidas para la transformada periódica de Hilbert. ${\displaystyle C_{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle (\operatorname {H} f)^{2}=f^{2}+2\operatorname {H} (f\operatorname {H} f)}$

La acotación de la transformada de Hilbert implica la convergencia del operador simétrico de suma parcial ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$

$${\displaystyle S_{R}f=\int _{-R}^{R}{\hat {f}}(\xi )e^{2\pi ix\xi }\,\mathrm {d} \xi }$$

para f en . ^[21] ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$

Anti-autoadjunción

La transformada de Hilbert es un operador adjunto anti-yo relativo al emparejamiento de dualidad entre y el espacio dual , donde p y q son conjugados de Hölder y 1 < p , q < ∞ . Simbólicamente, ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle L^{q}(\mathbb {R} )}$

$${\displaystyle \langle \operatorname {H} u,v\rangle =\langle u,-\operatorname {H} v\rangle }$$

Para y . ^[22] ${\displaystyle u\in L^{p}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle v\in L^{q}(\mathbb {R} )}$

transformada inversa

La transformada de Hilbert es una anti-involución , ^[23] lo que significa que

$${\displaystyle \operatorname {H} {\bigl (}\operatorname {H} \left(u\right){\bigr )}=-u}$$

siempre que cada transformación esté bien definida. Dado que H preserva el espacio , esto implica en particular que la transformada de Hilbert es invertible en , y que ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$

$${\displaystyle \operatorname {H} ^{-1}=-\operatorname {H} }$$

Estructura compleja

Debido a que H ² = −I (" I " es el operador de identidad ) en el espacio real de Banach de funciones con valores reales en , la transformada de Hilbert define una estructura lineal compleja en este espacio de Banach. En particular, cuando p = 2 , la transformada de Hilbert da el espacio de Hilbert de funciones con valores reales en la estructura de un espacio de Hilbert complejo . ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$

Los estados propios (complejos) de la transformada de Hilbert admiten representaciones como funciones holomorfas en los semiplanos superior e inferior en el espacio de Hardy H 2 según el teorema de Paley-Wiener .

Diferenciación

Formalmente, la derivada de la transformada de Hilbert es la transformada de Hilbert de la derivada, es decir, estos dos operadores lineales conmutan:

$${\displaystyle \operatorname {H} \left({\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} t}}\right)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\operatorname {H} (u)}$$

Iterando esta identidad,

$${\displaystyle \operatorname {H} \left({\frac {\mathrm {d} ^{k}u}{\mathrm {d} t^{k}}}\right)={\frac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} t^{k}}}\operatorname {H} (u)}$$

Esto es rigurosamente cierto, como se indicó, siempre que u y sus primeras k derivadas pertenezcan a . ^[24] Esto se puede comprobar fácilmente en el dominio de la frecuencia, donde la diferenciación se convierte en multiplicación por ω . ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$

Convoluciones

La transformada de Hilbert puede realizarse formalmente como una convolución con la distribución templada ^[25]

$${\displaystyle h(t)=\operatorname {p.v.} {\frac {1}{\pi \,t}}}$$

Así formalmente,

$${\displaystyle \operatorname {H} (u)=h*u}$$

Sin embargo, a priori esto sólo puede definirse para una distribución de soporte compacto . Es posible trabajar con cierto rigor con esto ya que las funciones soportadas de forma compacta (que son distribuciones a fortiori ) son densas en L ^p . Alternativamente, se puede utilizar el hecho de que h ( t ) es la derivada distribucional de la función log| t |/ π ; esto es

$${\displaystyle \operatorname {H} (u)(t)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {1}{\pi }}\left(u*\log {\bigl |}\cdot {\bigr |}\right)(t)\right)}$$

Para la mayoría de los fines operativos, la transformada de Hilbert puede tratarse como una convolución. Por ejemplo, en un sentido formal, la transformada de Hilbert de una convolución es la convolución de la transformada de Hilbert aplicada sobre uno solo de cualquiera de los factores:

$${\displaystyle \operatorname {H} (u*v)=\operatorname {H} (u)*v=u*\operatorname {H} (v)}$$

Esto es rigurosamente cierto si u y v son distribuciones soportadas de forma compacta ya que, en ese caso,

$${\displaystyle h*(u*v)=(h*u)*v=u*(h*v)}$$

Al pasar a un límite apropiado, también es cierto si u ∈ L ^p y v ∈ L ^q siempre que

$${\displaystyle 1<{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}}$$

de un teorema debido a Titchmarsh. ^[26]

Invariancia

La transformada de Hilbert tiene las siguientes propiedades de invariancia en . ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$

• Conmuta con las traducciones. Es decir, conmuta con los operadores T _a f ( x ) = f ( x + a ) para todo a en ${\displaystyle \mathbb {R} .}$
• Conmuta con dilataciones positivas. Es decir, conmuta con los operadores M _λ f ( x ) = f ( λ x ) para todo λ > 0 .
• Anticonmuta con la reflexión R f ( x ) = f (− x ) .

Hasta una constante multiplicativa, la transformada de Hilbert es el único operador acotado en L ² con estas propiedades. ^[27]

De hecho, existe un conjunto más amplio de operadores que conmutan con la transformada de Hilbert. El grupo actúa mediante operadores unitarios U _g en el espacio según la fórmula ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$

$${\displaystyle \operatorname {U} _{g}^{-1}f(x)={\frac {1}{cx+d}}\,f\left({\frac {ax+b}{cx+d}}\right)\,,\qquad g={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}~,\qquad {\text{ for }}~ad-bc=\pm 1.}$$

Esta representación unitaria es un ejemplo de representación en serie principal de En este caso es reducible, dividiéndose como la suma ortogonal de dos subespacios invariantes, el espacio de Hardy y su conjugado. Estos son los espacios de valores límite L ² de funciones holomorfas en los semiplanos superior e inferior. y su conjugado consiste exactamente en esas funciones L ² con transformadas de Fourier que desaparecen en las partes negativa y positiva del eje real, respectivamente. Dado que la transformada de Hilbert es igual a H = − i (2 P − I) , siendo P la proyección ortogonal de sobre e I el operador identidad , se deduce que y su complemento ortogonal son espacios propios de H para los valores propios ± i . En otras palabras, H conmuta con los operadores U _g . Las restricciones de los operadores U _g to y su conjugado dan representaciones irreducibles de – el llamado límite de representaciones de series discretas . ^[28] ${\displaystyle ~{\text{SL}}(2,\mathbb {R} )~.}$ ${\displaystyle H^{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle H^{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \operatorname {H} ^{2}(\mathbb {R} ),}$ ${\displaystyle \operatorname {H} ^{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \operatorname {H} ^{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {R} )}$

Ampliando el dominio de la definición

Transformada de Hilbert de distribuciones.

Además, es posible extender la transformada de Hilbert a ciertos espacios de distribuciones (Pandey 1996, Capítulo 3). Dado que la transformada de Hilbert conmuta con diferenciación y es un operador acotado en L ^p , H se restringe para dar una transformada continua en el límite inverso de los espacios de Sobolev :

$${\displaystyle {\mathcal {D}}_{L^{p}}={\underset {n\to \infty }{\underset {\longleftarrow }{\lim }}}W^{n,p}(\mathbb {R} )}$$

La transformada de Hilbert se puede definir entonces en el espacio dual de , denotado , que consta de distribuciones L ^p . Esto se logra mediante el emparejamiento de dualidad: Para , defina: ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{L^{p}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{L^{p}}'}$
${\displaystyle u\in {\mathcal {D}}'_{L^{p}}}$

$${\displaystyle \operatorname {H} (u)\in {\mathcal {D}}'_{L^{p}}=\langle \operatorname {H} u,v\rangle \ \triangleq \ \langle u,-\operatorname {H} v\rangle ,\ {\text{for all}}\ v\in {\mathcal {D}}_{L^{p}}.}$$

También es posible definir la transformada de Hilbert en el espacio de distribuciones templadas mediante un enfoque debido a Gel'fand y Shilov, ^[29] pero se necesita mucho más cuidado debido a la singularidad de la integral.

Transformada de Hilbert de funciones acotadas

La transformada de Hilbert también se puede definir para funciones en , pero requiere algunas modificaciones y advertencias. Bien entendida, la transformada de Hilbert se asigna al espacio de Banach de clases de oscilación media acotada (BMO). ${\displaystyle L^{\infty }(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle L^{\infty }(\mathbb {R} )}$

Interpretada ingenuamente, la transformada de Hilbert de una función acotada está claramente mal definida. Por ejemplo, con u = sgn( x ) , la integral que define H( u ) diverge casi en todas partes a ±∞ . Para aliviar tales dificultades, la transformada de Hilbert de una función L ^∞ se define mediante la siguiente forma regularizada de la integral

$${\displaystyle \operatorname {H} (u)(t)=\operatorname {p.v.} \int _{-\infty }^{\infty }u(\tau )\left\{h(t-\tau )-h_{0}(-\tau )\right\}\,\mathrm {d} \tau }$$

donde como arriba h ( x ) =1/πxy

$${\displaystyle h_{0}(x)={\begin{cases}0&{\text{for}}~|x|<1\\{\frac {1}{\pi \,x}}&{\text{for}}~|x|\geq 1\end{cases}}}$$

La transformada H modificada concuerda con la transformada original hasta una constante aditiva en funciones de soporte compacto a partir de un resultado general de Calderón y Zygmund. ^[30] Además, la integral resultante converge puntualmente en casi todas partes, y con respecto a la norma BMO, a una función de oscilación media acotada.

Un resultado profundo del trabajo de Fefferman ^[31] es que una función es de oscilación media acotada si y sólo si tiene la forma f + H( g ) para algunos . ${\displaystyle f,g\in L^{\infty }(\mathbb {R} )}$

Funciones conjugadas

La transformada de Hilbert puede entenderse en términos de un par de funciones f ( x ) y g ( x ) tales que la función

$${\displaystyle F(x)=f(x)+i\,g(x)}$$

función holomorfa F ( z )^[32]fg

Supongamos que Entonces, según la teoría de la integral de Poisson , f admite una extensión armónica única en el semiplano superior, y esta extensión está dada por ${\displaystyle f\in L^{p}(\mathbb {R} ).}$

$${\displaystyle u(x+iy)=u(x,y)={\frac {1}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }f(s)\;{\frac {y}{(x-s)^{2}+y^{2}}}\;\mathrm {d} s}$$

cual es la convolución de f con el núcleo de Poisson

$${\displaystyle P(x,y)={\frac {y}{\pi \,\left(x^{2}+y^{2}\right)}}}$$

Además, existe una función armónica única v definida en el semiplano superior tal que F ( z ) = u ( z ) + iv ( z ) es holomorfa y

$${\displaystyle \lim _{y\to \infty }v\,(x+i\,y)=0}$$

Esta función armónica se obtiene de f tomando una convolución con el núcleo de Poisson conjugado

$${\displaystyle Q(x,y)={\frac {x}{\pi \,\left(x^{2}+y^{2}\right)}}.}$$

De este modo

$${\displaystyle v(x,y)={\frac {1}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }f(s)\;{\frac {x-s}{\,(x-s)^{2}+y^{2}\,}}\;\mathrm {d} s.}$$

De hecho, las partes real e imaginaria del núcleo de Cauchy son

$${\displaystyle {\frac {i}{\pi \,z}}=P(x,y)+i\,Q(x,y)}$$

de modo que F = u + iv es holomorfa según la fórmula integral de Cauchy .

La función v obtenida de u de esta manera se llama conjugado armónico de u . El límite límite (no tangencial) de v ( x , y ) cuando y → 0 es la transformada de Hilbert de f . Así, sucintamente,

$${\displaystyle \operatorname {H} (f)=\lim _{y\to 0}Q(-,y)\star f}$$

Teorema de Titchmarsh

El teorema de Titchmarsh (llamado así por EC Titchmarsh , quien lo incluyó en su trabajo de 1937) precisa la relación entre los valores límite de funciones holomorfas en el semiplano superior y la transformada de Hilbert. ^[33] Da las condiciones necesarias y suficientes para que una función integrable al cuadrado de valor complejo F ( x ) en la línea real sea el valor límite de una función en el espacio de Hardy H ² ( U ) de funciones holomorfas en la mitad superior -plano U.​

El teorema establece que las siguientes condiciones para una función integrable al cuadrado de valores complejos son equivalentes: ${\displaystyle F:\mathbb {R} \to \mathbb {C} }$

• F ( x ) es el límite cuando z → x de una función holomorfa F ( z ) en el semiplano superior tal que
  $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|F(x+i\,y)|^{2}\;\mathrm {d} x<K}$$
• Las partes real e imaginaria de F ( x ) son transformadas de Hilbert entre sí.
• La transformada de Fourier desaparece para x < 0 . ${\displaystyle {\mathcal {F}}(F)(x)}$

Un resultado más débil es cierto para funciones de clase L p para p > 1 . ^[34] Específicamente, si F ( z ) es una función holomorfa tal que

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|F(x+i\,y)|^{p}\;\mathrm {d} x<K}$$

para todo y , entonces hay una función de valor complejo F ( x ) tal que F ( x + iy ) → F ( x ) en la norma L ^{p como} y → 0 (además de mantenerse puntualmente en casi todas partes ). Además, ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$

$${\displaystyle F(x)=f(x)-i\,g(x)}$$

donde f es una función de valor real en y g es la transformada de Hilbert (de clase L ^p ) de f . ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$

Esto no es cierto en el caso p = 1 . De hecho, la transformada de Hilbert de una función L ¹ f no necesita converger en la media con otra función L ¹ . Sin embargo, ^[35] la transformada de Hilbert de f converge casi en todas partes a una función finita g tal que

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {|g(x)|^{p}}{1+x^{2}}}\;\mathrm {d} x<\infty }$$

Este resultado es directamente análogo al obtenido por Andrey Kolmogorov para las funciones de Hardy en el disco. ^[36] Aunque generalmente se le llama teorema de Titchmarsh, el resultado agrega mucho trabajo de otros, incluidos Hardy, Paley y Wiener (ver Teorema de Paley-Wiener ), así como el trabajo de Riesz, Hille y Tamarkin ^[37]

Problema de Riemann-Hilbert

Una forma del problema de Riemann-Hilbert busca identificar pares de funciones F ₊ y F ₋ tales que F ₊ es holomorfa en el semiplano superior y F ₋ es holomorfa en el semiplano inferior, de modo que para x a lo largo del plano real eje,

$${\displaystyle F_{+}(x)-F_{-}(x)=f(x)}$$

donde f ( x ) es alguna función dada de valor real de . El lado izquierdo de esta ecuación puede entenderse como la diferencia de los límites de F _± de los semiplanos apropiados o como una distribución de hiperfunción . Dos funciones de esta forma son una solución del problema de Riemann-Hilbert. ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$

Formalmente, si F _± resuelve el problema de Riemann-Hilbert

$${\displaystyle f(x)=F_{+}(x)-F_{-}(x)}$$

entonces la transformada de Hilbert de f ( x ) viene dada por ^[38]

$${\displaystyle H(f)(x)=-i{\bigl (}F_{+}(x)+F_{-}(x){\bigr )}.}$$

Transformada de Hilbert en el círculo.

Para una función periódica f la transformada circular de Hilbert se define:

$${\displaystyle {\tilde {f}}(x)\triangleq {\frac {1}{2\pi }}\operatorname {p.v.} \int _{0}^{2\pi }f(t)\,\cot \left({\frac {x-t}{2}}\right)\,\mathrm {d} t}$$

La transformada circular de Hilbert se utiliza para caracterizar el espacio de Hardy y en el estudio de la función conjugada en series de Fourier. el núcleo,

$${\displaystyle \cot \left({\frac {x-t}{2}}\right)}$$

núcleo de Hilbert^[8]

El núcleo de Hilbert (para la transformada circular de Hilbert) se puede obtener haciendo que el núcleo de Cauchy sea 1 ⁄ x periódico. Más precisamente, para x ≠ 0

$${\displaystyle {\frac {1}{\,2\,}}\cot \left({\frac {x}{2}}\right)={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{x+2n\pi }}+{\frac {1}{\,x-2n\pi \,}}\right)}$$

Se pueden derivar muchos resultados sobre la transformada circular de Hilbert a partir de los resultados correspondientes a la transformada de Hilbert de esta correspondencia.

Otra conexión más directa la proporciona la transformada de Cayley C ( x ) = ( x – i ) / ( x + i ) , que lleva la línea real al círculo y el semiplano superior al disco unitario. Induce un mapa unitario.

$${\displaystyle U\,f(x)={\frac {1}{(x+i)\,{\sqrt {\pi }}}}\,f\left(C\left(x\right)\right)}$$

de L ² ( T ) sobre El operador U lleva el espacio Hardy H ² ( T ) hacia el espacio Hardy . ^[39] ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ).}$ ${\displaystyle H^{2}(\mathbb {R} )}$

Transformada de Hilbert en procesamiento de señales.

teorema de bedrosiano

El teorema de Bedrosian establece que la transformada de Hilbert del producto de una señal de paso bajo y una señal de paso alto con espectros no superpuestos viene dada por el producto de la señal de paso bajo y la transformada de Hilbert de la señal de paso alto, o

$${\displaystyle \operatorname {H} \left(f_{\text{LP}}(t)\cdot f_{\text{HP}}(t)\right)=f_{\text{LP}}(t)\cdot \operatorname {H} \left(f_{\text{HP}}(t)\right),}$$

donde f _LP y f _HP son las señales de paso bajo y alto respectivamente. ^[40] Una categoría de señales de comunicación a la que esto se aplica se denomina modelo de señal de banda estrecha. Un miembro de esa categoría es la modulación de amplitud de una "portadora" sinusoidal de alta frecuencia:

$${\displaystyle u(t)=u_{m}(t)\cdot \cos(\omega t+\varphi ),}$$

donde u _m ( t ) es la forma de onda del "mensaje" de ancho de banda estrecho, como voz o música. Luego por el teorema de Bedrosian: ^[41]

$${\displaystyle \operatorname {H} (u)(t)={\begin{cases}+u_{m}(t)\cdot \sin(\omega t+\varphi ),&\omega >0,\\-u_{m}(t)\cdot \sin(\omega t+\varphi ),&\omega <0.\end{cases}}}$$

Representación analítica

Un tipo específico de función conjugada es :

$${\displaystyle u_{a}(t)\triangleq u(t)+i\cdot H(u)(t),}$$

conocida como la representación analítica de El nombre refleja su manejabilidad matemática, debido en gran parte a la fórmula de Euler . Aplicando el teorema de Bedrosian al modelo de banda estrecha, la representación analítica es : ^[42] ${\displaystyle u(t).}$

Una propiedad de transformada de Fourier indica que esta compleja operación heterodina puede desplazar todos los componentes de frecuencia negativos de u _m ( t ) por encima de 0 Hz. En ese caso, la parte imaginaria del resultado es una transformada de Hilbert de la parte real. Esta es una forma indirecta de producir transformadas de Hilbert.

Modulación de ángulo (fase/frecuencia)

La forma: ^[43]

$${\displaystyle u(t)=A\cdot \cos(\omega t+\varphi _{m}(t))}$$

Se llama modulación de ángulo , que incluye tanto la modulación de fase como la modulación de frecuencia . La frecuencia instantánea es   para ω   suficientemente grande , en comparación con : ${\displaystyle \omega +\varphi _{m}^{\prime }(t).}$ ${\displaystyle \varphi _{m}^{\prime }}$

$${\displaystyle \operatorname {H} (u)(t)\approx A\cdot \sin(\omega t+\varphi _{m}(t))}$$

$${\displaystyle u_{a}(t)\approx A\cdot e^{i(\omega t+\varphi _{m}(t))}.}$$

Modulación de banda lateral única (SSB)

Cuando u _m ( t ) en  la ecuación 1 también es una representación analítica (de una forma de onda de mensaje), es decir:

$${\displaystyle u_{m}(t)=m(t)+i\cdot {\widehat {m}}(t)}$$

el resultado es una modulación de banda lateral única :

$${\displaystyle u_{a}(t)=(m(t)+i\cdot {\widehat {m}}(t))\cdot e^{i(\omega t+\varphi )}}$$

cuyo componente transmitido es: ^{[44] [45]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}u(t)&=\operatorname {Re} \{u_{a}(t)\}\\&=m(t)\cdot \cos(\omega t+\varphi )-{\widehat {m}}(t)\cdot \sin(\omega t+\varphi )\end{aligned}}}$$

Causalidad

La función presenta dos desafíos basados ​​en la causalidad para la implementación práctica en una convolución (además de su valor indefinido en 0): ${\displaystyle h(t)=1/(\pi t)}$

• Su duración es infinita ( soporte técnicamente infinito ). Las ventanas de longitud finita reducen el rango de frecuencia efectivo de la transformada; Las ventanas más cortas dan como resultado mayores pérdidas en frecuencias bajas y altas. Véase también filtro de cuadratura .
• Es un filtro no causal . Por lo tanto, se requiere una versión retrasada . Posteriormente, la salida correspondiente se retrasa en Al crear la parte imaginaria de una señal analítica , la fuente (parte real) también debe retrasarse en . ${\displaystyle h(t-\tau ),}$ ${\displaystyle \tau .}$ ${\displaystyle \tau }$

Transformada discreta de Hilbert

Figura 1 : Filtro cuya respuesta de frecuencia está limitada en banda a aproximadamente el 95% de la frecuencia de Nyquist

Figura 2 : Filtro de transformada de Hilbert con una respuesta de frecuencia de paso alto

Figura 3 .

Figura 4 . La transformada de Hilbert de cos( ωt ) es sin( ωt ) . Esta figura muestra sin(ωt) y dos transformadas de Hilbert aproximadas calculadas por la función de la biblioteca MATLAB, hilbert()

Figura 5 . Transformadas discretas de Hilbert de una función coseno, utilizando convolución por partes

Para una función discreta, con transformada de Fourier en tiempo discreto (DTFT), y transformada discreta de Hilbert , la DTFT de en la región − π < ω < π viene dada por: ${\displaystyle u[n]}$ ${\displaystyle U(\omega )}$ ${\displaystyle {\hat {u}}[n]}$ ${\displaystyle {\hat {u}}[n]}$

${\displaystyle \operatorname {DTFT} ({\hat {u}})=U(\omega )\cdot (-i\cdot \operatorname {sgn}(\omega )).}$

La DTFT inversa, usando el teorema de convolución , es: ^{[46] [47]}

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {u}}[n]&={\scriptstyle \mathrm {DTFT} ^{-1}}(U(\omega ))\ *\ {\scriptstyle \mathrm {DTFT} ^{-1}}(-i\cdot \operatorname {sgn}(\omega ))\\&=u[n]\ *\ {\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }(-i\cdot \operatorname {sgn}(\omega ))\cdot e^{i\omega n}\,\mathrm {d} \omega \\&=u[n]\ *\ \underbrace {{\frac {1}{2\pi }}\left[\int _{-\pi }^{0}i\cdot e^{i\omega n}\,\mathrm {d} \omega -\int _{0}^{\pi }i\cdot e^{i\omega n}\,\mathrm {d} \omega \right]} _{h[n]},\end{aligned}}}$

dónde

${\displaystyle h[n]\ \triangleq \ {\begin{cases}0,&{\text{for }}n{\text{ even}}\\{\frac {2}{\pi n}}&{\text{for }}n{\text{ odd}},\end{cases}}}$

que es una respuesta de impulso infinito (IIR). Cuando la convolución se realiza numéricamente, se sustituye h [ n ] por una aproximación FIR , como se muestra en la Figura 1 . Un filtro FIR con un número impar de coeficientes antisimétricos se llama Tipo III, que inherentemente exhibe respuestas de magnitud cero en las frecuencias 0 y Nyquist, lo que resulta en este caso en una forma de filtro de paso de banda. ^{[48] ​​En} la Figura 2 se muestra un diseño de Tipo IV (número par de coeficientes antisimétricos) . Dado que la respuesta de magnitud en la frecuencia de Nyquist no desaparece, se aproxima un poco mejor a un transformador Hilbert ideal que el filtro de derivaciones impares. ^[49] Sin embargo

• Una secuencia u [ n ] típica (es decir, filtrada y muestreada adecuadamente) no tiene componentes útiles en la frecuencia de Nyquist.
• La respuesta al impulso tipo IV requiere un cambio de muestra de 1 ⁄ 2 en la secuencia h [ n ] . Eso hace que los coeficientes de valor cero dejen de ser cero, como se ve en la Figura 2 . Por tanto, un diseño de Tipo III es potencialmente dos veces más eficiente que el de Tipo IV.
• El retardo de grupo de un diseño Tipo III es un número entero de muestras, lo que facilita la alineación para crear una señal analítica . El retardo de grupo de Tipo IV está a medio camino entre dos muestras. ${\displaystyle {\hat {u}}[n]}$ ${\displaystyle u[n],}$

La función MATLAB , hilbert(u,N) , ^[50] convoluciona la secuencia au[n] con la suma periódica : ^[A]

${\displaystyle h_{N}[n]\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }h[n-mN]}$   ^{[ANTES DE CRISTO ]}

y devuelve un ciclo ( N muestras) del resultado periódico en la parte imaginaria de una secuencia de salida de valores complejos. La convolución se implementa en el dominio de la frecuencia como el producto de la matriz     con muestras de la distribución − i sgn( ω ) (cuyas componentes real e imaginaria son todas simplemente 0 o  ±1 ). La Figura 3 compara un medio ciclo de h _N [ n ] con una porción de longitud equivalente de h [ n ] . También se muestra una aproximación FIR generada por una función de Matlab, hilb(65) . Denotamos la aproximación por   Luego, al sustituir las muestras − i sgn( ω ) , se obtiene una versión FIR de la convolución. ${\displaystyle {\scriptstyle \mathrm {DFT} }\left(u[n]\right)}$ ${\displaystyle h[n],}$ ${\displaystyle {\tilde {h}}[n].}$ ${\displaystyle {\scriptstyle \mathrm {DFT} }\left({\tilde {h}}[n]\right)}$

La parte real de la secuencia de salida es la secuencia de entrada original, de modo que la salida compleja es una representación analítica de u [ n ] . Cuando la entrada es un segmento de un coseno puro, la convolución resultante para dos valores diferentes de N se muestra en la Figura 4 (gráficos rojo y azul). Los efectos de borde impiden que el resultado sea una función sinusoidal pura (gráfico verde). Dado que h _N [ n ] no es una secuencia FIR, el alcance teórico de los efectos es la secuencia de salida completa. Pero las diferencias con una función seno disminuyen con la distancia a los bordes. El parámetro N es la longitud de la secuencia de salida. Si excede la longitud de la secuencia de entrada, la entrada se modifica agregando elementos de valor cero. En la mayoría de los casos, eso reduce la magnitud de las diferencias. Pero su duración está dominada por los tiempos inherentes de subida y bajada de la respuesta al impulso h [ n ] .

Es importante apreciar los efectos de borde cuando se utiliza un método llamado solapamiento-guardado para realizar la convolución en una secuencia larga u [ n ] . Los segmentos de longitud N están convolucionados con la función periódica:

${\displaystyle {\tilde {h}}_{N}[n]\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }{\tilde {h}}[n-mN].}$

Cuando la duración de valores distintos de cero de es, la secuencia de salida incluye N − M + 1 muestras de M − 1 salidas se descartan de cada bloque de N , y los bloques de entrada se superponen en esa cantidad para evitar espacios. ${\displaystyle {\tilde {h}}[n]}$ ${\displaystyle M<N,}$ ${\displaystyle {\hat {u}}.}$

La Figura 5 es un ejemplo del uso de la función IIR hilbert(·) y la aproximación FIR. En el ejemplo, se crea una función seno calculando la transformada discreta de Hilbert de una función coseno, que se procesó en cuatro segmentos superpuestos y se volvió a unir. Como muestra el resultado FIR (azul), las distorsiones aparentes en el resultado IIR (rojo) no son causadas por la diferencia entre h [ n ] y h _N [ n ] (verde y rojo en la Figura 3 ). El hecho de que h _N [ n ] sea cónico ( en ventana ) es realmente útil en este contexto. El verdadero problema es que no tiene suficientes ventanas. Efectivamente, M = N , mientras que el método de guardado de superposición necesita M < N .

Transformada de Hilbert en teoría de números

La transformada de Hilbert teórica de números es una extensión ^[53] de la transformada de Hilbert discreta a números enteros módulo un número primo apropiado. En esto se sigue la generalización de la transformada discreta de Fourier a transformadas teóricas de números. La transformada de Hilbert de teoría de números se puede utilizar para generar conjuntos de secuencias discretas ortogonales. ^[54]

Ver también

• Señal analítica
• conjugado armónico
• espectroscopia de Hilbert
• Transformada de Hilbert en el plano complejo.
• Transformada de Hilbert-Huang
• Relación Kramers-Kronig
• Transformada de Riesz
• Señal de banda lateral única
• Operadores integrales singulares de tipo convolucional.

Notas

1. ver § Convolución periódica , Ec.4b
2. Una versión cerrada de para valores pares de es: ^[51] ${\displaystyle h_{N}[n]}$ ${\displaystyle N}$
   $${\displaystyle h_{N}[n]={\begin{cases}{\frac {2}{N}}\cot(\pi n/N)&{\text{for }}n{\text{ odd}},\\0&{\text{for }}n{\text{ even}}.\end{cases}}}$$
3. Una versión cerrada de para valores impares de es: ^[52] ${\displaystyle h_{N}[n]}$ ${\displaystyle N}$
   $${\displaystyle h_{N}[n]={\frac {1}{N}}\left(\cot(\pi n/N)-{\frac {\cos(\pi n)}{\sin(\pi n/N)}}\right).}$$

Citas de página

1. Debido a Schwartz 1950; véase Pandey 1996, capítulo 3.
2. Zygmund 1968, §XVI.1.
3. Por ejemplo, Brandwood 2003, pág. 87.
4. Por ejemplo, Stein y Weiss 1971.
5. Por ejemplo, Bracewell 2000, pág. 359.
6. Kress 1989.
7. Bitsadze 2001.
8. Khvedelidze 2001.
9. Hilbert 1953.
10. Hardy, Littlewood y Pólya 1952, §9.1.
11. Hardy, Littlewood y Pólya 1952, §9.2.
12. Riesz 1928.
13. Calderón y Zygmund 1952.
14. Duoandikoetxea 2000, Capítulo 3.
15. Rey 2009b.
16. Titchmarsh 1948, Capítulo 5.
17. Titchmarsh 1948, §5.14.
18. Stein y Weiss 1971, Lema V.2.8.
19. Este teorema se debe a Riesz 1928, VII; ver también Titchmarsh 1948, Teorema 101.
20. Este resultado se debe a Pihorides 1972; véase también Grafakos 2004, Observación 4.1.8.
21. Véase, por ejemplo, Duoandikoetxea 2000, p. 59.
22. Titchmarsh 1948, teorema 102.
23. Titchmarsh 1948, pág. 120.
24. Pandey 1996, §3.3.
25. Duistermaat y Kolk 2010, pág. 211.
26. Titchmarsh 1948, teorema 104.
27. Stein 1970, §III.1.
28. Véase Bargmann 1947, Lang 1985 y Sugiura 1990.
29. Gel'fand y Shilov 1968.
30. Calderón y Zygmund 1952; ver Fefferman 1971.
31. Fefferman 1971; Fefferman y Stein 1972
32. Titchmarsh 1948, Capítulo V.
33. Titchmarsh 1948, teorema 95.
34. Titchmarsh 1948, teorema 103.
35. Titchmarsh 1948, teorema 105.
36. Duren 1970, Teorema 4.2.
37. ver King 2009a, § 4.22.
38. Pandey 1996, Capítulo 2.
39. Rosenblum y Rovnyak 1997, pág. 92.
40. Schreier y Scharf 2010, 14.
41. Bedrosiano 1962.
42. Osgood, pág. 320
43. Osgood, pág. 320
44. Francos 1969, pag. 88
45. Tretter 1995, pág. 80 (7,9)
46. Rabiner y Gold 1975, pág. 71 (ecuación 2.195)
47. Carrick, Jaeger y Harris 2011, pág. 2
48. Rabiner y Gold 1975, pág. 172 (figura 3.74)
49. Rabiner y Gold 1975, pág. 173 (figura 3.75)
50. Trabajos de matemáticas. "hilbert: señal analítica en tiempo discreto mediante transformada de Hilbert". Documentación de la caja de herramientas de procesamiento de señales de MATLAB . Consultado el 6 de mayo de 2021 .
51. Johansson, pág. 24
52. Johansson, pág. 25
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54. Kak 2014.

Referencias

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Otras lecturas

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enlaces externos

• Derivación de la acotación de la transformada de Hilbert
• Transformada de Mathworld Hilbert: contiene una tabla de transformaciones
• Weisstein, Eric W. "Teorema de Titchmarsh". MundoMatemático .
• "GS256 Conferencia 3: Transformación de Hilbert" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 27 de febrero de 2012.una introducción básica a la transformación de Hilbert.