Teorema de convolución

Teorema en matemáticas

En matemáticas , el teorema de convolución establece que, en condiciones adecuadas, la transformada de Fourier de una convolución de dos funciones (o señales ) es el producto de sus transformadas de Fourier. En términos más generales, la convolución en un dominio (por ejemplo, el dominio del tiempo ) es igual a la multiplicación puntual en el otro dominio (por ejemplo, el dominio de la frecuencia ). Otras versiones del teorema de convolución son aplicables a varias transformadas relacionadas con Fourier .

Funciones de una variable continua

Consideremos dos funciones y con transformadas de Fourier y : ${\displaystyle u(x)}$ ${\displaystyle v(x)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle {\begin{aligned}U(f)&\triangleq {\mathcal {F}}\{u\}(f)=\int _{-\infty }^{\infty }u(x)e^{-i2\pi fx}\,dx,\quad f\in \mathbb {R} \\V(f)&\triangleq {\mathcal {F}}\{v\}(f)=\int _{-\infty }^{\infty }v(x)e^{-i2\pi fx}\,dx,\quad f\in \mathbb {R} \end{aligned}}}$

donde denota el operador de transformada de Fourier . La transformada puede normalizarse de otras maneras, en cuyo caso aparecerán factores de escala constantes (normalmente o ) en el teorema de convolución que aparece a continuación. La convolución de y se define por: ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle {\sqrt {2\pi }}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$

${\displaystyle r(x)=\{u*v\}(x)\triangleq \int _{-\infty }^{\infty }u(\tau )v(x-\tau )\,d\tau =\int _{-\infty }^{\infty }u(x-\tau )v(\tau )\,d\tau .}$

En este contexto, el asterisco denota convolución, en lugar de la multiplicación estándar. En ocasiones se utiliza en su lugar el símbolo del producto tensorial . ${\displaystyle \otimes }$

El teorema de convolución establece que : ^{[1] [2] : ecuación 8}

La aplicación de la transformada de Fourier inversa produce el corolario : ^{[2] : ecuaciones 7, 10} ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1},}$

Teorema de convolución

El teorema también se aplica generalmente a funciones multidimensionales.

Este teorema también es válido para la transformada de Laplace , la transformada de Laplace bilateral y, cuando se modifica adecuadamente, para la transformada de Mellin y la transformada de Hartley (véase el teorema de inversión de Mellin ). Puede extenderse a la transformada de Fourier del análisis armónico abstracto definido sobre grupos abelianos localmente compactos .

Convolución periódica (coeficientes de la serie de Fourier)

Consideremos funciones periódicas   que   pueden expresarse como sumas periódicas : ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle u_{_{P}}}$ ${\displaystyle v_{_{P}},}$

${\displaystyle u_{_{P}}(x)\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }u(x-mP)}$   y   ${\displaystyle v_{_{P}}(x)\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }v(x-mP).}$

En la práctica, la parte distinta de cero de los componentes suele estar limitada a la duración, pero nada en el teorema lo exige. ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle P,}$

Los coeficientes de la serie de Fourier son:

${\displaystyle {\begin{aligned}U[k]&\triangleq {\mathcal {F}}\{u_{_{P}}\}[k]={\frac {1}{P}}\int _{P}u_{_{P}}(x)e^{-i2\pi kx/P}\,dx,\quad k\in \mathbb {Z} ;\quad \quad \scriptstyle {\text{integration over any interval of length }}P\\V[k]&\triangleq {\mathcal {F}}\{v_{_{P}}\}[k]={\frac {1}{P}}\int _{P}v_{_{P}}(x)e^{-i2\pi kx/P}\,dx,\quad k\in \mathbb {Z} \end{aligned}}}$

donde denota la integral de la serie de Fourier . ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

• El producto: también es periódico, y sus coeficientes de serie de Fourier están dados por la convolución discreta de las secuencias y : ${\displaystyle u_{_{P}}(x)\cdot v_{_{P}}(x)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}\{u_{_{P}}\cdot v_{_{P}}\}[k]=\{U*V\}[k].}$

• La convolución:

${\displaystyle {\begin{aligned}\{u_{_{P}}*v\}(x)\ &\triangleq \int _{-\infty }^{\infty }u_{_{P}}(x-\tau )\cdot v(\tau )\ d\tau \\&\equiv \int _{P}u_{_{P}}(x-\tau )\cdot v_{_{P}}(\tau )\ d\tau ;\quad \quad \scriptstyle {\text{integration over any interval of length }}P\end{aligned}}}$

También es periódica y se denomina convolución periódica . ${\displaystyle P}$

El teorema de convolución correspondiente es :

Funciones de una variable discreta (secuencias)

Mediante una derivación similar a la ecuación 1, existe un teorema análogo para secuencias, como muestras de dos funciones continuas, donde ahora denota el operador de transformada de Fourier de tiempo discreto (DTFT). Consideremos dos secuencias y con transformadas y : ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle u[n]}$ ${\displaystyle v[n]}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle {\begin{aligned}U(f)&\triangleq {\mathcal {F}}\{u\}(f)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }u[n]\cdot e^{-i2\pi fn}\;,\quad f\in \mathbb {R} ,\\V(f)&\triangleq {\mathcal {F}}\{v\}(f)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }v[n]\cdot e^{-i2\pi fn}\;,\quad f\in \mathbb {R} .\end{aligned}}}$

La § convolución discreta de y se define por : ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$

${\displaystyle r[n]\triangleq (u*v)[n]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }u[m]\cdot v[n-m]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }u[n-m]\cdot v[m].}$

El teorema de convolución para secuencias discretas es : ^{[3] [4] : p.60 (2.169)}

Convolución periódica

${\displaystyle U(f)}$y como se definió anteriormente, son periódicas, con un período de 1. Consideremos las secuencias periódicas y : ${\displaystyle V(f),}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle u_{_{N}}}$ ${\displaystyle v_{_{N}}}$

${\displaystyle u_{_{N}}[n]\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }u[n-mN]}$   y   ${\displaystyle v_{_{N}}[n]\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }v[n-mN],\quad n\in \mathbb {Z} .}$

Estas funciones se producen como resultado del muestreo y en intervalos de tiempo y de la realización de una transformada de Fourier discreta inversa (DFT) sobre muestras (véase § Muestreo de la DTFT ). La convolución discreta : ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle 1/N}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle \{u_{_{N}}*v\}[n]\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }u_{_{N}}[m]\cdot v[n-m]\equiv \sum _{m=0}^{N-1}u_{_{N}}[m]\cdot v_{_{N}}[n-m]}$

También es periódica y se denomina convolución periódica . Si redefinimos el operador como DFT de longitud, el teorema correspondiente es: ^{[5] [4] : p. 548} ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle N}$

Y por lo tanto :

En las condiciones adecuadas, es posible que esta secuencia de longitud contenga un segmento sin distorsión de una convolución. Pero cuando la parte distinta de cero de la secuencia o es igual o más larga que, es inevitable que se produzca cierta distorsión. Tal es el caso cuando la secuencia se obtiene mediante el muestreo directo de la DTFT de la respuesta al impulso de la transformada de Hilbert discreta infinitamente larga . ^[A] ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle u*v}$ ${\displaystyle u(n)}$ ${\displaystyle v(n)}$ ${\displaystyle N,}$ ${\displaystyle V(k/N)}$

Para las secuencias y cuya duración distinta de cero es menor o igual a una simplificación final es: ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle N,}$

Convolución circular

Esta forma se utiliza a menudo para implementar de manera eficiente la convolución numérica por computadora . (ver § Algoritmos de convolución rápidos y § Ejemplo )

Como recíproco parcial, se ha demostrado ^[6] que cualquier transformación lineal que convierte la convolución en un producto es la DFT (hasta una permutación de coeficientes).

Teorema de convolución para la transformada de Fourier inversa

También existe un teorema de convolución para la transformada de Fourier inversa:

Aquí, " " representa el producto Hadamard y " " representa una convolución entre las dos matrices. ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle *}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\mathcal {F}}\{u*v\}={\mathcal {F}}\{u\}\cdot {\mathcal {F}}\{v\}\\&{\mathcal {F}}\{u\cdot v\}={\mathcal {F}}\{u\}*{\mathcal {F}}\{v\}\end{aligned}}}$

de modo que

${\displaystyle {\begin{aligned}&u*v={\mathcal {F}}^{-1}\left\{{\mathcal {F}}\{u\}\cdot {\mathcal {F}}\{v\}\right\}\\&u\cdot v={\mathcal {F}}^{-1}\left\{{\mathcal {F}}\{u\}*{\mathcal {F}}\{v\}\right\}\end{aligned}}}$

Teorema de convolución para distribuciones templadas

El teorema de convolución se extiende a las distribuciones templadas . Aquí, se muestra una distribución templada arbitraria: ${\displaystyle v}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\mathcal {F}}\{u*v\}={\mathcal {F}}\{u\}\cdot {\mathcal {F}}\{v\}\\&{\mathcal {F}}\{\alpha \cdot v\}={\mathcal {F}}\{\alpha \}*{\mathcal {F}}\{v\}.\end{aligned}}}$

Pero debe ser "rápidamente decreciente" hacia y para garantizar la existencia tanto del producto de convolución como del producto de multiplicación. De manera equivalente, si es una función ordinaria suave "de crecimiento lento", garantiza la existencia tanto del producto de multiplicación como del producto de convolución. ^{[7] [8] [9]} ${\displaystyle u=F\{\alpha \}}$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle \alpha =F^{-1}\{u\}}$

En particular, toda distribución templada con soporte compacto, como el delta de Dirac , es "rápidamente decreciente". De manera equivalente, las funciones limitadas en banda , como la función que es constantemente, son funciones ordinarias suaves de "crecimiento lento". Si, por ejemplo, es el peine de Dirac , ambas ecuaciones dan como resultado la fórmula de suma de Poisson y si, además, es el delta de Dirac, entonces es constantemente uno y estas ecuaciones dan como resultado la identidad del peine de Dirac . ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle v\equiv \operatorname {\text{Ш}} }$ ${\displaystyle u\equiv \delta }$ ${\displaystyle \alpha \equiv 1}$

Véase también

• Función generadora de momentos de una variable aleatoria

Notas

1. Un ejemplo es la función MATLAB , hilbert(u,N) .

Referencias

1. McGillem, Clare D.; Cooper, George R. (1984). Análisis de señales y sistemas continuos y discretos (2.ª ed.). Holt, Rinehart y Winston. pág. 118 (3–102). ISBN 0-03-061703-0.
2. Weisstein, Eric W. "Teorema de convolución". De MathWorld--A Wolfram Web Resource . Consultado el 8 de febrero de 2021 .
3. Proakis, John G.; Manolakis, Dimitri G. (1996), Procesamiento de señales digitales: principios, algoritmos y aplicaciones (3.ª ed.), Nueva Jersey: Prentice-Hall International, pág. 297, Bibcode :1996dspp.book.....P, ISBN 9780133942897, sAcfAQAAIAAJ
4. Oppenheim, Alan V. ; Schafer, Ronald W. ; Buck, John R. (1999). Procesamiento de señales en tiempo discreto (2.ª ed.). Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. ISBN 0-13-754920-2.
5. Rabiner, Lawrence R .; Gold, Bernard (1975). Teoría y aplicación del procesamiento de señales digitales . Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, Inc. p. 59 (2.163). ISBN 978-0139141010.
6. Amiot, Emmanuel (2016). Música a través del espacio de Fourier. Computational Music Science. Zúrich: Springer. pág. 8. doi :10.1007/978-3-319-45581-5. ISBN 978-3-319-45581-5.S2CID6224021  .​
7. Horváth, John (1966). Espacios vectoriales topológicos y distribuciones . Reading, MA: Addison-Wesley Publishing Company.
8. Barros-Neto, José (1973). Introducción a la teoría de las distribuciones . Nueva York, Nueva York: Dekker.
9. Petersen, Bent E. (1983). Introducción a la transformada de Fourier y a los operadores pseudodiferenciales . Boston, MA: Pitman Publishing.

Lectura adicional

• Katznelson, Yitzhak (1976), Introducción al análisis armónico , Dover, ISBN 0-486-63331-4
• Li, Bing; Babu, G. Jogesh (2019), "Teorema de convolución y eficiencia asintótica", Un curso de posgrado sobre inferencia estadística , Nueva York: Springer, págs. 295–327, ISBN 978-1-4939-9759-6
• Crutchfield, Steve (9 de octubre de 2010), "The Joy of Convolution", Johns Hopkins University , consultado el 19 de noviembre de 2010

Recursos adicionales

Para obtener una representación visual del uso del teorema de convolución en el procesamiento de señales , consulte:

• Simulación asistida por Java de la Universidad Johns Hopkins : http://www.jhu.edu/signals/convolve/index.html