Glosario de jerga matemática

El lenguaje de las matemáticas tiene un amplio vocabulario de términos técnicos y especializados. También tiene una cierta cantidad de jerga : frases de uso común que forman parte de la cultura de las matemáticas, más que de la materia. La jerga aparece a menudo en las clases, y a veces en la prensa escrita, como una forma informal de expresar argumentos rigurosos o ideas precisas. Gran parte de esta jerga utiliza palabras comunes del inglés, pero con un significado específico no obvio cuando se utiliza en un sentido matemático.

Algunas frases, como "en general", aparecen a continuación en más de una sección.

Filosofía de las matemáticas

tonterías abstractas: Una referencia irónica a la teoría de categorías , mediante la cual se pueden emplear argumentos que establezcan un resultado (posiblemente concreto) sin referencia a ningún aspecto específico del problema en cuestión. Por esa razón, también se la conoce como sinsentido abstracto general o sinsentido abstracto generalizado .

[El artículo de Eilenberg y Mac Lane (1942)] introdujo la idea muy abstracta de una " categoría ", un tema llamado entonces "absurdo general abstracto".
—Saunders Mac Lane (1997)

[ Grothendieck ] elevó la geometría algebraica a un nuevo nivel de abstracción... si ciertos matemáticos podían consolarse por un tiempo con la esperanza de que todas estas estructuras complicadas eran 'absurdos abstractos'... los artículos posteriores de Grothendieck y otros demostraron que los problemas clásicos... que habían resistido los esfuerzos de varias generaciones de matemáticos talentosos, podían resolverse en términos de... conceptos complicados.
—Michael Monastyrsky (2001)

canónico: Referencia a una presentación estándar o libre de elección de algún objeto matemático (por ejemplo, mapa canónico, forma canónica u ordenamiento canónico). El mismo término también se puede utilizar de manera más informal para referirse a algo "estándar" o "clásico". Por ejemplo, se podría decir que la prueba de Euclides es la "prueba canónica" de la infinitud de los números primos .

Hay dos pruebas canónicas que siempre se utilizan para mostrar a los no matemáticos cómo es una prueba matemática:
—La prueba de que hay infinitos números primos .
—La prueba de la irracionalidad de la raíz cuadrada de dos .
— Freek Wiedijk (2006, pág. 2)

profundo: Un resultado se denomina "profundo" si su prueba requiere conceptos y métodos que van más allá de los conceptos necesarios para formular el resultado. Por ejemplo, el teorema de los números primos , que originalmente se demostró utilizando técnicas de análisis complejo , se consideró en algún momento un resultado profundo hasta que se encontraron pruebas elementales . ^[1] Por otro lado, el hecho de que π sea irracional suele considerarse un resultado profundo, porque requiere un desarrollo considerable del análisis real antes de que se pueda establecer la prueba, aunque la afirmación en sí misma pueda formularse en términos de teoría de números y geometría simples .
elegante: Término estético que se refiere a la capacidad de una idea para aportar ideas a las matemáticas, ya sea unificando campos dispares, introduciendo una nueva perspectiva sobre un único campo o proporcionando una técnica de demostración que sea especialmente sencilla o que capte la intuición o la imaginación de por qué el resultado que demuestra es verdadero. En algunas ocasiones, el término "bello" también puede utilizarse con el mismo efecto, aunque Gian-Carlo Rota distinguió entre elegancia de presentación y belleza de concepto , diciendo que, por ejemplo, algunos temas pueden ser tratados con elegancia aunque el contenido matemático no sea bello, y algunos teoremas o demostraciones son bellos pero pueden ser tratados con poca elegancia.

La belleza de una teoría matemática es independiente de las cualidades estéticas... de las exposiciones rigurosas de la teoría. Algunas teorías hermosas pueden no recibir nunca una presentación que esté a la altura de su belleza... También se pueden encontrar ejemplos de teorías mediocres de belleza cuestionable que reciben exposiciones brillantes y emocionantes... [La teoría de categorías] es rica en definiciones hermosas y perspicaces y pobre en pruebas elegantes... [Los teoremas] siguen siendo torpes y aburridos... [Las exposiciones de geometría proyectiva ] compitieron entre sí en elegancia de presentación y en inteligencia de prueba... En retrospectiva, uno se pregunta por qué tanto alboroto.

Los matemáticos pueden decir que un teorema es hermoso cuando en realidad quieren decir que es esclarecedor. Reconocemos la belleza de un teorema cuando vemos cómo el teorema "encaja" en su lugar... Decimos que una prueba es hermosa cuando dicha prueba finalmente revela el secreto del teorema...
— Gian-Carlo Rota (1977, págs. 173–174, págs. 181–182)

elemental: Una prueba o un resultado se denomina "elemental" si sólo implica conceptos y métodos básicos en el campo, y se contrasta con resultados más profundos que requieren un mayor desarrollo dentro o fuera del campo. El concepto de "prueba elemental" se utiliza específicamente en teoría de números , donde suele referirse a una prueba que no recurre a métodos del análisis complejo .
folklore: Un resultado se denomina "folclore" si no es obvio ni publicado, pero es de conocimiento general para los especialistas en un campo. En muchos casos, no está claro quién obtuvo primero el resultado, aunque si el resultado es significativo, puede acabar apareciendo en los libros de texto, con lo que deja de ser folclore.

Muchos de los resultados mencionados en este artículo deben considerarse "folclore" en el sentido de que simplemente expresan formalmente ideas que son bien conocidas por los investigadores en el área, pero que pueden no ser obvias para los principiantes y, hasta donde yo sé, no aparecen impresos en otro lugar.
—Russell Impagliazzo (1995)

sofística: Término que se refiere a enunciados. Si un enunciado es falso, se dice que presenta una trampa . "¿Qué quieres decir con que un subconjunto de es compacto si y solo si está acotado? ¡Eso es una trampa!" $\mathbb {R}$

natural: Similar a "canónico", pero más específico, y que hace referencia a una descripción (casi exclusivamente en el contexto de transformaciones ) que se cumple independientemente de cualquier elección. Aunque se ha utilizado durante mucho tiempo de manera informal, este término ha encontrado una definición formal en la teoría de categorías.
patológico: Un objeto se comporta patológicamente (o, en un sentido más amplio, de manera degenerada ) si no se ajusta al comportamiento genérico de tales objetos, no satisface ciertas propiedades de regularidad dependientes del contexto o simplemente desobedece la intuición matemática . En muchas ocasiones, estos pueden ser y a menudo son requisitos contradictorios, mientras que en otras ocasiones, el término se usa más deliberadamente para referirse a un objeto construido artificialmente como un contraejemplo de estas propiedades. Un ejemplo simple es que, de la definición de un triángulo que tiene ángulos que suman π radianes, una sola línea recta se ajusta a esta definición patológicamente.

Desde hace medio siglo hemos visto surgir una multitud de funciones extrañas que parecen intentar parecerse lo menos posible a las funciones honestas que sirven a algún propósito... Más aún, desde el punto de vista lógico, son estas funciones extrañas las más generales... hoy se inventan expresamente para poner en tela de juicio los razonamientos de nuestros padres...
— Henri Poincaré (1913)

[La función de Dirichlet ] adquirió una enorme importancia... al incentivar la creación de nuevos tipos de funciones cuyas propiedades se apartaban completamente de lo que intuitivamente parecía admisible. Un ejemplo célebre de una función llamada "patológica"... es el que proporcionó Weierstrass ... Esta función es continua pero no diferenciable .
— J. Sousa Pinto (2004)

Cabe señalar que, como las funciones diferenciables son escasas en el espacio de las funciones continuas, como descubrió Banach en 1931, las funciones diferenciables son, coloquialmente hablando, una rara excepción entre las funciones continuas. Por lo tanto, ya no se puede defender la idea de que las funciones continuas no diferenciables son patológicas.
rigor (rigor): El acto de establecer un resultado matemático utilizando una lógica indiscutible, en lugar de un argumento descriptivo informal. El rigor es una cualidad fundamental de las matemáticas y puede desempeñar un papel importante para evitar que las matemáticas degeneren en falacias.
de buen comportamiento: Un objeto se comporta bien (en contraste con ser patológico ) si satisface ciertas propiedades de regularidad prevalecientes, o si se ajusta a la intuición matemática (aunque la intuición a menudo también puede sugerir comportamientos opuestos). En algunas ocasiones (por ejemplo, análisis ), el término " suave " también puede usarse con el mismo efecto.

Informalidades descriptivas

Aunque, en última instancia, todo argumento matemático debe cumplir con un alto nivel de precisión, los matemáticos utilizan afirmaciones descriptivas pero informales para analizar temas o conceptos recurrentes con enunciados formales difíciles de manejar. Nótese que muchos de los términos son completamente rigurosos en el contexto.

casi todo: Término abreviado para "todos excepto un conjunto de medida cero ", cuando hay una medida de la que hablar. Por ejemplo, "casi todos los números reales son trascendentales " porque los números reales algebraicos forman un subconjunto contable de los números reales con medida cero. También se puede hablar de que "casi todos" los números enteros tienen la propiedad de significar "todos excepto un número finito", a pesar de que los números enteros no admiten una medida para la que esto concuerda con el uso anterior. Por ejemplo, "casi todos los números primos son impares ". También hay un significado más complicado para los números enteros, que se analiza en el artículo principal. Finalmente, este término a veces se usa como sinónimo de genérico , a continuación.
arbitrariamente grande: Nociones que surgen principalmente en el contexto de los límites , y que se refieren a la recurrencia de un fenómeno a medida que se aproxima al límite. Una afirmación como la de que el predicado P se satisface con valores arbitrariamente grandes, se puede expresar en una notación más formal mediante ∀ x : ∃ y ≥ x : P ( y ) . Véase también con frecuencia . La afirmación de que la cantidad f ( x ) que depende de x "puede hacerse" arbitrariamente grande, corresponde a ∀ y : ∃ x : f ( x ) ≥ y .
arbitrario: Una abreviatura del cuantificador universal . Una elección arbitraria es aquella que se hace sin restricciones o, alternativamente, una afirmación es válida para un elemento arbitrario de un conjunto si es válida para cualquier elemento de ese conjunto. También se usa mucho en el lenguaje general entre los matemáticos: "Por supuesto, este problema puede ser arbitrariamente complicado".
eventualmente: En el contexto de los límites, esto es una abreviatura que significa "argumentos suficientemente grandes "; los argumentos relevantes están implícitos en el contexto. Por ejemplo, la función log(log( x )) eventualmente se vuelve mayor que 100"; en este contexto, "eventualmente" significa "para un valor x suficientemente grande ".
factor a través: Término de la teoría de categorías que se refiere a la composición de morfismos . Si para tres objetos A , B y C se puede escribir una función como una composición con y , entonces se dice que f factoriza a través de cualquiera (y todos) de , y . $f\colon A\to C$ $f=h\circ g$ $g\colon A\to B$ $h\colon B\a C$ ${\estilo de visualización B}$ ${\estilo de visualización g}$ ${\estilo de visualización h}$
finito: Cuando se dice del valor de una variable que asume valores de los reales extendidos no negativos, el significado suele ser "no infinito". Por ejemplo, si se dice que la varianza de una variable aleatoria es finita, esto implica que es un número real no negativo, posiblemente cero. Sin embargo, en algunos contextos, por ejemplo en "una amplitud pequeña pero finita", se pretende excluir el cero y los infinitesimales. Cuando se dice del valor de una variable que asume valores de los números naturales extendidos, el significado es simplemente "no infinito". Cuando se dice de un conjunto o un objeto matemático cuyo componente principal es un conjunto, significa que la cardinalidad del conjunto es menor que . $\mathbb {R} _{\geq 0}\cup \{\infty \},$ $\mathbb {N} \cup \{\infty \},$ $estilo de visualización {\aleph _{0}}$
frecuentemente: En el contexto de los límites, esta es una forma abreviada de referirse a argumentos arbitrariamente grandes y sus parientes; al igual que con eventualmente , la variante deseada está implícita. Como ejemplo, la secuencia se encuentra frecuentemente en el intervalo (1/2, 3/2), porque hay n arbitrariamente grandes para los cuales el valor de la secuencia se encuentra en el intervalo. $(-1)^{n}$
formal, formalmente: Califica todo aquello que es lo suficientemente preciso como para ser traducido directamente en un sistema formal . Por ejemplo, una prueba formal , una definición formal .
genérico: Este término tiene connotaciones similares a casi todos , pero se usa particularmente para conceptos fuera del ámbito de la teoría de la medida . Una propiedad se cumple "genéricamente" en un conjunto si el conjunto satisface alguna noción (dependiente del contexto) de densidad, o quizás si su complemento satisface alguna noción (dependiente del contexto) de pequeñez. Por ejemplo, se dice que una propiedad que se cumple en un G _δdenso ( intersección de un número contable de conjuntos abiertos ) se cumple genéricamente. En geometría algebraica , se dice que una propiedad de puntos en una variedad algebraica que se cumple en un conjunto abierto de Zariski denso es verdadera genéricamente; sin embargo, por lo general no se dice que una propiedad que se cumple simplemente en un conjunto denso (que no es abierto de Zariski) sea genérica en esta situación.
en general: En un contexto descriptivo, esta frase introduce una caracterización simple de una amplia clase de objetos, con miras a identificar un principio unificador. Este término introduce una descripción "elegante" que se aplica a objetos "arbitrarios". Se pueden mencionar excepciones a esta descripción explícitamente, como casos "patológicos".

Norbert A'Campo, de la Universidad de Basilea, le preguntó en cierta ocasión a Grothendieck sobre algo relacionado con los sólidos platónicos . Grothendieck le aconsejó cautela. Los sólidos platónicos son tan bellos y tan excepcionales, dijo, que no se puede suponer que una belleza tan excepcional se mantenga en situaciones más generales.
— Allyn Jackson (2004, pág. 1197)

lado izquierdo, lado derecho (LHS, RHS): La mayoría de las veces, se refieren simplemente al lado izquierdo o derecho de una ecuación ; por ejemplo, tiene en el lado izquierdo y en el lado derecho. En ocasiones, se utilizan en el sentido de valor izquierdo y valor derecho: un lado derecho es primitivo y un lado izquierdo es derivado. $x=y+1$ ${\estilo de visualización x}$ ${\estilo de visualización y+1}$
lindo: Un objeto matemático se denomina coloquialmente agradable o suficientemente agradable si satisface hipótesis o propiedades, a veces no especificadas o incluso desconocidas, que son especialmente deseables en un contexto dado. Es un antónimo informal de patológico . Por ejemplo, se podría conjeturar que un operador diferencial debería satisfacer una cierta condición de acotación "para funciones de prueba agradables", o se podría afirmar que algún invariante topológico interesante debería ser computable "para espacios agradables X ".
sobre: Una función (que en matemáticas se define generalmente como la aplicación de los elementos de un conjunto A a los elementos de otro B ) se denomina " A sobre B " (en lugar de " A sobre B " o " A sobre B ") sólo si es sobreyectiva ; incluso se puede decir que " f es sobreyectiva" (es decir, sobreyectiva). No se puede traducir (sin circunloquios) a otros idiomas distintos del inglés.
adecuado: Si, para alguna noción de subestructura, los objetos son subestructuras de sí mismos (es decir, la relación es reflexiva ), entonces la calificación propiamente dicha requiere que los objetos sean diferentes. Por ejemplo, un subconjunto propio de un conjunto S es un subconjunto de S que es diferente de S , y un divisor propio de un número n es un divisor de n que es diferente de n . Esta palabra sobrecargada tampoco es una jerga para un morfismo propio .
regular: Una función se denomina regular si satisface propiedades satisfactorias de continuidad y diferenciabilidad, que a menudo dependen del contexto. Estas propiedades pueden incluir la posesión de un número específico de derivadas , con la función y sus derivadas exhibiendo alguna propiedad agradable (ver agradable arriba), como la continuidad de Hölder . De manera informal, este término a veces se usa como sinónimo de suave , a continuación. Estos usos imprecisos de la palabra regular no deben confundirse con la noción de un espacio topológico regular , que está rigurosamente definido.
resp.: (Respectivamente) Convención para acortar exposiciones paralelas. " A (resp. B ) [tiene alguna relación con] X (resp. Y )" significa que A [tiene alguna relación con] X y también que B [tiene (la misma) relación con] Y. Por ejemplo, los cuadrados (resp. triángulos) tienen 4 lados (resp. 3 lados); o los espacios compactos (resp. Lindelöf ) son aquellos en los que cada cubierta abierta tiene una subcubierta abierta finita (resp. contable).
afilado: A menudo, un teorema matemático establecerá restricciones sobre el comportamiento de algún objeto; por ejemplo, se mostrará que una función tiene un límite superior o inferior . La restricción es estricta (a veces óptima ) si no se puede hacer más restrictiva sin fallar en algunos casos. Por ejemplo, para números reales no negativos arbitrarios x , la función exponencial e ^x , donde e = 2.7182818..., da un límite superior sobre los valores de la función cuadrática x ² . Esto no es estricto; la brecha entre las funciones es en todas partes al menos 1. Entre las funciones exponenciales de la forma α ^x , establecer α = e ^{2/ e} = 2.0870652... da como resultado un límite superior estricto; la opción ligeramente más pequeña α = 2 no produce un límite superior, ya que entonces α ³ = 8 < 3 ² . En los campos aplicados, la palabra "estricto" se usa a menudo con el mismo significado. ^[2]
liso: La suavidad es un concepto al que las matemáticas han otorgado muchos significados, desde la simple diferenciabilidad hasta la diferenciabilidad infinita, pasando por la analiticidad y otros más complejos. Cada uno de estos usos intenta invocar la noción físicamente intuitiva de suavidad.
fuerte, más fuerte: Se dice que un teorema es fuerte si deduce resultados restrictivos a partir de hipótesis generales. Un ejemplo célebre es el teorema de Donaldson , que impone restricciones estrictas a lo que de otro modo parecería ser una gran clase de variedades. Este uso (informal) refleja la opinión de la comunidad matemática: no solo un teorema de este tipo debería ser fuerte en el sentido descriptivo (más adelante), sino que también debería ser definitivo en su área. Un teorema, resultado o condición se dice además más fuerte que otro si una prueba del segundo se puede obtener fácilmente a partir del primero, pero no a la inversa. Un ejemplo es la secuencia de teoremas: el pequeño teorema de Fermat , el teorema de Euler , el teorema de Lagrange , cada uno de los cuales es más fuerte que el anterior; otro es que un límite superior agudo (ver agudo más arriba) es un resultado más fuerte que uno no agudo. Finalmente, el adjetivo fuerte o el adverbio fuertemente se pueden agregar a una noción matemática para indicar una noción más fuerte relacionada; Por ejemplo, una anticadena fuerte es una anticadena que satisface ciertas condiciones adicionales, y, de la misma manera, un grafo fuertemente regular es un grafo regular que cumple condiciones más fuertes. Cuando se utiliza de esta manera, la noción más fuerte (como "anticadena fuerte") es un término técnico con un significado definido con precisión; la naturaleza de las condiciones adicionales no se puede derivar de la definición de la noción más débil (como "anticadena").
suficientemente grande , adecuadamente pequeño, suficientemente cerca: En el contexto de los límites, estos términos se refieren a un punto (no especificado, incluso desconocido) en el que prevalece un fenómeno a medida que se aproxima el límite. Una afirmación como que el predicado P se cumple para valores suficientemente grandes, se puede expresar en una notación más formal mediante ∃ x : ∀ y ≥ x : P ( y ). Véase también eventualmente .
arriba, abajo: Término descriptivo que se refiere a la notación en la que dos objetos se escriben uno encima del otro; el superior se llama arriba y el inferior, abajo . Por ejemplo, en un haz de fibras , se suele decir que el espacio total se llama arriba y el espacio base , abajo . En una fracción , a veces se dice que el numerador se llama arriba y el denominador , abajo , como en "llevar un término al piso superior".
hasta , módulo, mod fuera por: Una extensión al discurso matemático de las nociones de aritmética modular . Un enunciado es verdadero hasta una condición si el establecimiento de esa condición es el único impedimento para la verdad del enunciado. También se utiliza cuando se trabaja con miembros de clases de equivalencia , especialmente en teoría de categorías , donde la relación de equivalencia es un isomorfismo (categórico); por ejemplo, "El producto tensorial en una categoría monoidal débil es asociativo y unital hasta un isomorfismo natural ".
desaparecer: Suponer el valor 0. Por ejemplo, "La función sin( x ) se anula para aquellos valores de x que sean múltiplos enteros de π". Esto también puede aplicarse a límites: véase Anulación en el infinito .
débil, más débil: El inverso de fuerte .
bien definido: Descrito o especificado de forma precisa y exacta. Por ejemplo, a veces una definición depende de la elección de algún objeto; el resultado de la definición debe ser entonces independiente de esta elección.

Terminología de prueba

El lenguaje formal de la prueba se nutre repetidamente de un pequeño conjunto de ideas, muchas de las cuales se invocan a través de diversas abreviaturas léxicas en la práctica.

aliter: Término obsoleto que se utiliza para anunciar al lector un método alternativo o una prueba de un resultado. En una prueba, por tanto, señala un razonamiento que es superfluo desde un punto de vista lógico, pero que tiene algún otro interés.
por vía de contradicción (BWOC), o "porque, si no, ...": El preludio retórico a una prueba por contradicción , que precede a la negación del enunciado que se quiere probar.
si y solo si (si y solo si): Abreviatura de equivalencia lógica de enunciados.
en general: En el contexto de las pruebas, esta frase se ve a menudo en argumentos de inducción cuando se pasa del caso base al paso de inducción y, de manera similar, en la definición de secuencias cuyos primeros términos se exhiben como ejemplos de la fórmula que da cada término de la secuencia.
necesario y suficiente: Una variante menor de "si y solo si"; " A es necesario ( suficiente ) para B " significa " A si (solo si) B ". Por ejemplo, "Para que un campo K sea algebraicamente cerrado es necesario y suficiente que no tenga extensiones finitas " significa " K es algebraicamente cerrado si y solo si no tiene extensiones finitas". Se usa a menudo en listas, como en "Las siguientes condiciones son necesarias y suficientes para que un campo sea algebraicamente cerrado...".
necesidad de demostrar (NTS), requerido para demostrar (RTP), deseo de demostrar, deseo de demostrar (WTS): Las demostraciones a veces se realizan enumerando varias condiciones cuya satisfacción implicará en conjunto el teorema deseado; por lo tanto, es necesario demostrar sólo estas afirmaciones.
Uno y solo uno: Una declaración de la existencia y unicidad de un objeto; el objeto existe y, además, no existe ningún otro objeto similar.
QED: ( Quod erat demonstrandum ): Abreviatura latina que significa "que debía demostrarse", históricamente colocada al final de las pruebas, pero menos común actualmente, habiendo sido suplantada por la marca de fin de prueba de Halmos , un signo cuadrado ∎.
suficientemente agradable: Una condición que se aplica a los objetos que se analizan y que se especificará más adelante y que garantizará que se cumpla alguna propiedad establecida. Al elaborar un teorema, el uso de esta expresión en el enunciado del teorema indica que el hablante puede no conocer aún las condiciones involucradas y que la intención es recopilar las condiciones que se considerarán necesarias para que se pueda llevar a cabo la prueba del teorema.
Los siguientes son equivalentes (TFAE): A menudo, varias condiciones equivalentes (especialmente para una definición, como el subgrupo normal ) son igualmente útiles en la práctica; se introduce un teorema que establece una equivalencia de más de dos enunciados con TFAE.
transporte de estructura: A menudo se da el caso de que se demuestra que dos objetos son equivalentes de alguna manera, y que uno de ellos está dotado de una estructura adicional. Utilizando la equivalencia, podemos definir también dicha estructura en el segundo objeto, mediante el transporte de la estructura . Por ejemplo, dos espacios vectoriales cualesquiera de la misma dimensión son isomorfos ; si a uno de ellos se le da un producto interno y si fijamos un isomorfismo particular, entonces podemos definir un producto interno en el otro espacio factorizando a través del isomorfismo.

Sea V un espacio vectorial de dimensión finita sobre k ....Sea ( e _i ) _{1≤ i ≤ n} una base para V ....Existe un isomorfismo del álgebra polinómica k [ T _ij ] _{1≤ i , j ≤ n} sobre el álgebra Sym _k ( V ⊗ V ^* )....Se extiende a un isomorfismo de k [ GL _n ] al álgebra localizada Sym _k ( V ⊗ V ^* ) _D , donde D = det( e _i ⊗ e _j^* )....Escribimos k [ GL ( V )] para esta última álgebra. Por transporte de estructura, obtenemos un grupo algebraico lineal GL ( V ) isomorfo a GL _n .
— Igor Shafarevich (1991, p.12)

Sin (ninguna) pérdida de generalidad (WLOG, WOLOG, WALOG), podemos asumir (WMA): A veces, una proposición se puede demostrar más fácilmente con suposiciones adicionales sobre los objetos a los que se refiere. Si la proposición tal como se enuncia se deduce de esta proposición modificada con una explicación simple y mínima (por ejemplo, si los casos especiales restantes son idénticos excepto por la notación), entonces las suposiciones modificadas se introducen con esta frase y la proposición modificada queda demostrada.

Técnicas de prueba

Los matemáticos tienen varias frases para describir las demostraciones o las técnicas de demostración. Estas se utilizan a menudo como pistas para completar los detalles tediosos.

Persecución de ángulos: Se utiliza para describir una prueba geométrica que implica encontrar relaciones entre los distintos ángulos de un diagrama. ^[3]
cálculo aproximado: Un cálculo informal que omite gran parte del rigor sin sacrificar la exactitud. A menudo, este cálculo es una "prueba de concepto" y trata solo un caso especial accesible.
fuerza bruta: En lugar de buscar principios o patrones subyacentes, este es un método en el que se evaluarían tantos casos como fuera necesario para demostrar o proporcionar evidencia convincente de que lo que se está cuestionando es cierto. A veces, esto implica evaluar todos los casos posibles (lo que también se conoce como prueba por agotamiento ).
con el ejemplo: Una prueba con un ejemplo es un argumento en el que no se prueba una afirmación, sino que se la ilustra con un ejemplo. Si se hace bien, el ejemplo específico se puede generalizar fácilmente para obtener una prueba general.
por inspección: Un atajo retórico creado por autores que invitan al lector a verificar, de un vistazo, la corrección de una expresión o deducción propuesta. Si una expresión puede evaluarse mediante la aplicación directa de técnicas simples y sin recurrir a cálculos extensos o teoría general, entonces puede evaluarse por inspección . También se aplica a la resolución de ecuaciones; por ejemplo, encontrar raíces de una ecuación cuadrática por inspección es "observarlas" o comprobarlas mentalmente. "Por inspección" puede desempeñar una especie de papel gestáltico : la respuesta o solución simplemente encaja en su lugar.
por intimidación: Estilo de prueba en el que las afirmaciones que el autor considera fácilmente verificables se etiquetan como "obvias" o "triviales", lo que a menudo resulta en confusión en el lector.
claramente, se puede demostrar fácilmente: Un término que acorta los cálculos que el matemático percibe como tediosos o rutinarios, accesible a cualquier miembro de la audiencia con la experiencia necesaria en el campo; Laplace utilizó obvio ( en francés : évident ).
intuición completa: Comúnmente reservado para bromas (juegos de palabras sobre inducción completa ).
diagrama de persecución: ^[4] Dado un diagrama conmutativo de objetos y morfismos entre ellos, si uno desea probar alguna propiedad de los morfismos (como la inyectividad ) que puede enunciarse en términos de elementos , entonces la prueba puede proceder trazando el camino de los elementos de varios objetos alrededor del diagrama a medida que se le aplican morfismos sucesivos. Es decir, uno persigue elementos alrededor del diagrama, o hace una persecución de diagrama .
agitando la mano: Técnica de prueba que se emplea principalmente en clases magistrales, donde no es estrictamente necesario un argumento formal. Se basa en la omisión de detalles o incluso de ingredientes significativos y es simplemente un argumento de verosimilitud.
en general: En un contexto que no exige rigor, esta frase suele aparecer como un recurso para ahorrar trabajo cuando los detalles técnicos de un argumento completo superan los beneficios conceptuales. El autor ofrece una prueba en un caso bastante simple de que los cálculos son razonables y luego indica que "en general" la prueba es similar.
batalla de índice: Para pruebas que involucran objetos con múltiples índices que se pueden resolver yendo al final (si alguien desea hacer el esfuerzo). Similar a la búsqueda de diagramas.
obviamente: Ver claramente .
La prueba se deja como ejercicio para el lector.: Generalmente se aplica a una afirmación dentro de una prueba más amplia cuando la prueba de esa afirmación puede ser producida rutinariamente por cualquier miembro de la audiencia con la experiencia necesaria, pero no es tan simple como para ser obvia .
trivial: Similar a claramente . Un concepto es trivial si se cumple por definición, es un corolario inmediato de un enunciado conocido o es un caso especial simple de un concepto más general.

Misceláneas

En esta sección se presentan términos que se utilizan en distintas áreas de las matemáticas o que no suelen aparecer en glosarios más especializados. Para conocer los términos que se utilizan solo en algunas áreas específicas de las matemáticas, consulte los glosarios en la Categoría:Glosarios de matemáticas .

B

binario: Una relación binaria es un conjunto de pares ordenados; se dice que un elemento x está relacionado con otro elemento y si y solo si (x, y) están en el conjunto.

do

canónico: 1. Un mapa canónico es un mapa o morfismo entre objetos que surge naturalmente de la definición o la construcción de los objetos que se mapean entre sí.; 2. Una forma canónica de un objeto es una forma estándar o universal de expresar el objeto.
correspondencia: Una correspondencia de un conjunto a un conjunto es un subconjunto de un producto cartesiano , es decir, es una relación binaria pero con la especificación de los conjuntos ambientales utilizados en la definición. ${\estilo de visualización A}$ ${\estilo de visualización B}$ $A\times B$ ${\estilo de visualización A,B}$

D

diagrama: Ver diagrama matemático .

F

función: Una función es una terna ordenada formada por conjuntos y un subconjunto del producto cartesiano sujeto a la condición implica . En otras palabras, es un tipo especial de correspondencia donde dado un elemento de , existe un único elemento de que le corresponde. $f:A\to B$ ${\estilo de visualización (A,B,f)}$ ${\estilo de visualización A,B}$ ${\estilo de visualización f}$ $A\times B$ $(a,b),(a,b')\in f$ ${\estilo de visualización b=b'}$ ${\estilo de visualización a}$ ${\estilo de visualización A}$ ${\estilo de visualización b}$ ${\estilo de visualización B}$
fundamental: La palabra fundamental se utiliza para describir un teorema de un área dada de las matemáticas considerado como el teorema más central de esa área en particular (por ejemplo, Teorema fundamental de la aritmética para Aritmética ).

I

invariante: Un invariante de un objeto o de un espacio es una propiedad o número del objeto o de un espacio que permanece inalterado bajo algunas transformaciones.

METRO

mapa: Sinónimo de función entre conjuntos o morfismo en una categoría. Según los autores, el término "mapas" o el término "funciones" pueden reservarse para tipos específicos de funciones o morfismos (por ejemplo, función como término analítico y mapa como término general).
matemáticas: Ver matemáticas .
multivalor: Una " función multivaluada " de un conjunto $A$ a un conjunto $B$ es una función de $A$ a los subconjuntos de $B.$ Tiene típicamente la propiedad de que, para casi todos los puntos $x$ de $B$ , existe un entorno de $x$ tal que la restricción de la función al entorno puede considerarse como un conjunto de funciones del entorno a $B.$

PAG

proyección: Una proyección es, en términos generales, un mapa de un espacio u objeto a otro que omite cierta información sobre el objeto o el espacio. Por ejemplo, es una proyección y su restricción a un gráfico de una función, por ejemplo, también es una proyección. Los términos “ operador idempotente ” y “ mapa olvidadizo ” también son sinónimos de una proyección. $\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ,(x,y)\mapsto x$

S

estructura: Una estructura matemática de un objeto es un conjunto adicional de objetos o datos adjuntos al objeto (por ejemplo, relación, operación, métrica, topología).

Véase también

Notas

^ Goldfeld, Dorian. "La prueba elemental del teorema de los números primos: una perspectiva histórica" (PDF) . Universidad de Columbia .
^ Boyd, Stephen (2004). Optimización convexa . Cambridge University Press. ISBN 978-0521833783.
^ Roe, John (1993), Geometría elemental , Publicaciones científicas de Oxford, pág. 119, ISBN 978-0-19-853456-3
^ Se pueden encontrar numerosos ejemplos en (Mac Lane 1998), por ejemplo en la pág. 100.

Referencias

Eilenberg, Samuel ; Mac Lane, Saunders (1942), "Isomorfismos naturales en la teoría de grupos", Proc. Natl. Acad. Sci. USA , 28 (12): 537–543, Bibcode :1942PNAS...28..537E, doi : 10.1073/pnas.28.12.537 , PMC 1078535 , PMID 16588584.
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Bibliografía

Enciclopedia de Matemáticas