Función de Weierstrass

Función que es continua en todas partes pero no diferenciable en ninguna

Gráfico de la función Weierstrass en el intervalo [−2, 2]. Al igual que otros fractales , la función muestra autosimilitud : cada zoom (círculo rojo) es similar al gráfico global.

En matemáticas , la función de Weierstrass , llamada así por su descubridor, Karl Weierstrass , es un ejemplo de una función de valor real que es continua en todas partes pero no diferenciable en ninguna. También es un ejemplo de curva fractal .

La función de Weierstrass ha cumplido históricamente el papel de una función patológica , siendo el primer ejemplo publicado (1872) específicamente inventado para desafiar la noción de que toda función continua es diferenciable excepto en un conjunto de puntos aislados. ^[1] La demostración de Weierstrass de que la continuidad no implicaba una diferenciabilidad casi en todas partes trastocó las matemáticas, anulando varias pruebas que se basaban en la intuición geométrica y en definiciones vagas de suavidad . Este tipo de funciones fueron denunciadas por los contemporáneos: Henri Poincaré las describió como "monstruos" y calificó el trabajo de Weierstrass como "un ultraje al sentido común", mientras que Charles Hermite escribió que eran un "azote lamentable". Las funciones eran difíciles de visualizar hasta la llegada de las computadoras en el siglo siguiente, y los resultados no ganaron una amplia aceptación hasta que las aplicaciones prácticas, como los modelos de movimiento browniano, requirieron funciones infinitamente irregulares (hoy conocidas como curvas fractales). ^[2]

Construcción

Animación basada en el aumento del valor b de 0,1 a 5.

En el artículo original de Weierstrass, la función se definió como una serie de Fourier :

$${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a^{n}\cos(b^{n}\pi x),}$$

donde , es un entero impar positivo, y ${\textstyle 0<a<1}$ ${\textstyle b}$

$${\displaystyle ab>1+{\frac {3}{2}}\pi .}$$

El valor mínimo de para el cual existe tal que se satisfacen estas restricciones es . Esta construcción, junto con la prueba de que la función no es diferenciable en ningún intervalo, fue presentada por primera vez por Weierstrass en un artículo presentado en la Königliche Akademie der Wissenschaften el 18 de julio de 1872. ^{[3] [4] [5]} ${\textstyle b}$ ${\textstyle 0<a<1}$ ${\textstyle b=7}$

A pesar de no ser diferenciable en ningún punto, la función es continua: Como los términos de la serie infinita que la define están acotados por y esta tiene suma finita para , la convergencia de la suma de los términos es uniforme por el test M de Weierstrass con . Como cada suma parcial es continua, por el teorema del límite uniforme , se deduce que es continua. Además, como cada suma parcial es uniformemente continua , se deduce que también es uniformemente continua. ${\textstyle \pm a^{n}}$ ${\textstyle 0<a<1}$ ${\textstyle M_{n}=a^{n}}$ ${\textstyle f}$ ${\textstyle f}$

Se podría esperar que una función continua deba tener una derivada, o que el conjunto de puntos donde no es diferenciable deba ser numerablemente infinito o finito. Según Weierstrass en su artículo, los matemáticos anteriores, incluido Gauss, a menudo habían asumido que esto era cierto. Esto podría deberse a que es difícil dibujar o visualizar una función continua cuyo conjunto de puntos no diferenciables sea algo distinto de un conjunto de puntos contables. Existen resultados análogos para clases de funciones continuas con mejor comportamiento, por ejemplo, las funciones de Lipschitz , cuyo conjunto de puntos de no diferenciabilidad debe ser un conjunto nulo de Lebesgue ( teorema de Rademacher ). Cuando intentamos dibujar una función continua general, generalmente dibujamos el gráfico de una función que es Lipschitz o de otro modo de buen comportamiento. Además, el hecho de que el conjunto de puntos de no diferenciabilidad para una función monótona sea de medida cero implica que las oscilaciones rápidas de la función de Weierstrass son necesarias para garantizar que no sea diferenciable en ninguna parte.

La función de Weierstrass fue uno de los primeros fractales estudiados, aunque este término no se utilizó hasta mucho después. La función tiene detalles en todos los niveles, por lo que al hacer zoom sobre un fragmento de la curva no se ve que se acerca cada vez más a una línea recta. Más bien, entre dos puntos cualesquiera, por muy cercanos que estén, la función no será monótona.

El cálculo de la dimensión de Hausdorff del gráfico de la función clásica de Weierstrass fue un problema abierto hasta 2018, cuando se creía generalmente que . ^{[6] [7]} Que D es estrictamente menor que 2 se deduce de las condiciones de y de arriba. Solo después de más de 30 años esto se demostró rigurosamente. ^[8] ${\textstyle D}$ ${\textstyle D=2+\log _{b}(a)<2}$ ${\textstyle a}$ ${\textstyle b}$

El término función de Weierstrass se utiliza a menudo en el análisis real para referirse a cualquier función con propiedades y construcción similares al ejemplo original de Weierstrass. Por ejemplo, la función coseno puede reemplazarse en la serie infinita por una función lineal en "zigzag" por partes . GH Hardy demostró que la función de la construcción anterior no es diferenciable en ningún punto con los supuestos . ^[9] ${\textstyle 0<a<1,ab\geq 1}$

Función de Riemann

La función de Weierstrass se basa en la función de Riemann, que se afirmaba que no era diferenciable en ningún punto. En ocasiones, esta función también se ha denominado función de Weierstrass. ^[10]

$${\displaystyle f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin(n^{2}x)}{n^{2}}}}$$

Aunque Bernhard Riemann afirmó firmemente que la función no es diferenciable en ninguna parte, Riemann no publicó ninguna evidencia de ello, y Weierstrass señaló que no encontró ninguna evidencia de ello sobreviviente ni en los artículos de Riemann ni oralmente de sus estudiantes.

En 1916, GH Hardy confirmó que la función no tiene una derivada finita en ningún valor de donde x es irracional o es racional con la forma de o , donde A y B son números enteros. ^[9] En 1969, Joseph Gerver encontró que la función de Riemann tiene una diferencial definida en cada valor de x que puede expresarse en la forma de con números enteros A y B , o multiplicadores racionales de pi con un numerador y denominador impares. En estos puntos, la función tiene una derivada de . ^[11] En 1971, J. Gerver demostró que la función no tiene una diferencial finita en los valores de x que pueden expresarse en la forma de , completando el problema de la diferenciabilidad de la función de Riemann. ^[12] ${\textstyle \pi x}$ ${\textstyle {\frac {2A}{4B+1}}}$ ${\textstyle {\frac {2A+1}{2B}}}$ ${\textstyle {\frac {2A+1}{2B+1}}\pi }$ ${\textstyle -{\frac {1}{2}}}$ ${\textstyle {\frac {2A}{2B+1}}\pi }$

Como la función de Riemann sólo es diferenciable en un conjunto nulo de puntos, no es diferenciable prácticamente en ningún lugar .

Continuidad de Hölder

Es conveniente escribir la función de Weierstrass de manera equivalente como

$${\displaystyle W_{\alpha }(x)=\sum _{n=0}^{\infty }b^{-n\alpha }\cos(b^{n}\pi x)}$$

para . Entonces Hölder es continuo de exponente α, es decir que hay una constante C tal que ${\textstyle \alpha =-{\frac {\ln(a)}{\ln(b)}}}$ ${\textstyle W_{\alpha }(x)}$

$${\displaystyle |W_{\alpha }(x)-W_{\alpha }(y)|\leq C|x-y|^{\alpha }}$$

para todos y . ^[13] Además, ¿Hölder es continuo de todos los órdenes pero no Lipschitz continuo ? ${\textstyle x}$ ${\textstyle y}$ ${\textstyle W_{1}}$ ${\textstyle \alpha <1}$

Densidad de funciones no diferenciables en ninguna parte

Resulta que la función de Weierstrass está lejos de ser un ejemplo aislado: aunque es "patológica", también es "típica" de las funciones continuas:

• En un sentido topológico : el conjunto de funciones de valor real no diferenciables en ninguna parte en [0, 1] es convergente en el espacio vectorial C ([0, 1];  R ) de todas las funciones de valor real continuas en [0, 1] con la topología de convergencia uniforme . ^{[14] [15]}
• En un sentido de teoría de medidas : cuando el espacio C ([0, 1];  R ) está equipado con la medida clásica de Wiener γ , la colección de funciones que son diferenciables incluso en un único punto de [0, 1] tiene γ - medida cero . Lo mismo es cierto incluso si uno toma "porciones" de dimensión finita de C ([0, 1];  R ), en el sentido de que las funciones que no son diferenciables en ninguna parte forman un subconjunto predominante de C ([0, 1];  R ).

Véase también

• Curva de manjar blanco
• Copo de nieve de Koch
• Función continua en ninguna parte

Notas

1. Al menos dos investigadores formularon funciones continuas, no diferenciables en ningún punto, antes de Weierstrass, pero sus hallazgos no se publicaron durante su vida. Alrededor de 1831, Bernard Bolzano (1781-1848), un matemático, filósofo y sacerdote católico checo, construyó una función de este tipo; sin embargo, no se publicó hasta 1922. Véase:
   • Martin Jašek (1922) "Funkce Bolzanova" (Función de Bolzano), Časopis pro Pěstování Matematiky a Fyziky (Revista para el cultivo de las matemáticas y la física), vol. 51, núm. 2, páginas 69–76 (en checo y alemán).
   • Vojtěch Jarník (1922) "O funkci Bolzanově" (Sobre la función de Bolzano), Časopis pro Pěstování Matematiky a Fyziky (Revista para el cultivo de las matemáticas y la física), vol. 51, núm. 4, páginas 248 - 264 (en checo). Disponible en línea en checo en: http://dml.cz/bitstream/handle/10338.dmlcz/109021/CasPestMatFys_051-1922-4_5.pdf. Disponible en línea en inglés en: http://dml.cz/bitstream/handle/10338.dmlcz/400073/Bolzano_15-1981-1_6.pdf.
   • Karel Rychlík (1923) "Über eine Funktion aus Bolzanos handschriftlichem Nachlasse" (Sobre una función de los restos literarios de Bolzano en manuscrito), Sitzungsberichte der königlichen Böhmischen Gesellschaft der Wissenschaften (Prag) (Actas de la Real Sociedad Bohemia de Filosofía en Praga) (para los años 1921-1922), Clase II, núm. 4, páginas 1-20. ( Sitzungsberichte continuó como: Věstník Královské české společnosti nauk, třída matematicko-přírodovědecká (Revista de la Clase de Ciencias, Matemáticas y Ciencias Naturales de la Real Sociedad Checa).)
   Alrededor de 1860, Charles Cellérier (1818-1889), profesor de matemáticas, mecánica, astronomía y geografía física en la Universidad de Ginebra, Suiza, formuló de forma independiente una función continua, no diferenciable en ningún punto, que se parece mucho a la función de Weierstrass. Sin embargo, el descubrimiento de Cellérier se publicó póstumamente:
   • Cellérier, C. (1890) "Note sur les principes fondamentaux de l'analyse" (Nota sobre los principios fundamentales del análisis), Bulletin des sciences mathématiques , segunda serie, vol. 14, páginas 142 - 160.
2. Kucharski, Adam (26 de octubre de 2017). «Los hermosos monstruos de las matemáticas: cómo una idea destructiva allanó el camino para las matemáticas modernas» . Consultado el 11 de octubre de 2023 .
3. En la página 560 del Monatsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin (Informes mensuales de la Real Academia de Ciencias de Prusia en Berlín) de 1872, hay una breve mención de que el 18 de julio, "Hr. Weierstrass las über stetige Funktionen ohne bestimmte Diferencialquotienten" (el Sr. Weierstrass leyó [un artículo] sobre funciones continuas sin derivadas definidas [es decir, bien definidas] [a los miembros de la Academia]). Sin embargo, el artículo de Weierstrass no se publicó en el Monatsberichte .
4. Karl Weierstrass, "Über continuirliche Functionen eines reellen Arguments, die für keinen Werth des letzeren einen bestimmten Differentialquotienten besitzen" [Sobre funciones continuas de un argumento real que posee una derivada definida sin valor del argumento], en: Königlich Preussichen Akademie der Wissenschaften , Mathematische Werke von Karl Weierstrass (Berlín, Alemania: Mayer & Mueller, 1895), vol. 2, páginas 71–74.
5. Véase también: Karl Weierstrass, Abhandlungen aus der Functionenlehre [ Tratados de teoría de funciones ] (Berlín, Alemania: Julius Springer, 1886), página 97.
6. Kenneth Falconer, La geometría de los conjuntos fractales (Cambridge, Inglaterra: Cambridge University Press, 1985), páginas 114, 149.
7. Véase también: Brian R. Hunt (1998), "La dimensión de Hausdorff de gráficos de funciones de Weierstrass", Actas de la American Mathematical Society , vol. 126, núm. 3, páginas 791–800.
8. Shen Weixiao (2018). "Dimensión de Hausdorff de las gráficas de las funciones clásicas de Weierstrass". Mathematische Zeitschrift . 289 (1–2): 223–266. arXiv : 1505.03986 . doi :10.1007/s00209-017-1949-1. ISSN  0025-5874. S2CID  118844077.
9. Hardy GH (1916) "Función no diferenciable de Weierstrass", Transactions of the American Mathematical Society , vol. 17, páginas 301–325.
10. Weisstein, Eric W. "Función de Weierstrass". MundoMatemático .
11. Gerver, Joseph (1969). "La diferenciabilidad de la función de Riemann en ciertos múltiplos racionales de π". Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América . 62 (3): 668–670. doi : 10.1073/pnas.62.3.668 . PMC 223649 . PMID  16591735. 
12. Gerver, Joseph (1971). "Más sobre la diferenciabilidad de la función de Riemann". American Journal of Mathematics . 93 (1): 33–41. doi :10.2307/2373445. JSTOR  2373445. S2CID  124562827.
13. Zygmund, A. (2002) [1935]. Series trigonométricas . Cambridge Mathematical Library. Vol. I, II (3.ª ed.). Cambridge University Press . pág. 47. ISBN. 978-0-521-89053-3.Sr .  1963498.
14. Mazurkiewicz, S. (1931). "Sobre las funciones no derivables". Estudia Matemáticas . 3 (3): 92–94. doi : 10.4064/sm-3-1-92-94 .
15. Banach, S. (1931). "Über die Baire'sche Kategorie gewisser Funktionenmengen". Estudia Matemáticas . 3 (3): 174-179. doi : 10.4064/sm-3-1-174-179 .

Referencias

• David, Claire (2018), "Evitando sistemas dinámicos: una forma sencilla de obtener la dimensión de conteo de cajas del gráfico de la función de Weierstrass", Actas del Centro Internacional de Geometría , 11 (2), Academia de Ciencias de Ucrania: 53–68, arXiv : 1711.10349 , doi : 10.15673/tmgc.v11i2.1028
• Falconer, K. (1984), La geometría de los conjuntos fractales, Cambridge Tracts in Mathematics, vol. Libro 85, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-33705-2
• Gelbaum, B Bernard R.; Olmstead, John MH (2003) [1964], Contraejemplos en el análisis, Dover Books on Mathematics, Dover Publications, ISBN 978-0-486-42875-8
• Hardy, GH (1916), "Función no diferenciable de Weierstrass" (PDF) , Transactions of the American Mathematical Society , 17 (3), American Mathematical Society: 301–325, doi :10.2307/1989005, JSTOR  1989005
• Weierstrass, Karl (18 de julio de 1872), Über continuirliche Functionen eines reellen Arguments, die für keinen Werth des letzeren einen bestimmten Differentialquotienten besitzen , Königlich Preussische Akademie der Wissenschaften
  • Weierstrass, Karl (1895), "Über continuirliche Functionen eines reellen Arguments, die für keinen Werth des letzeren einen bestimmten Differentialquotienten besitzen", Mathematische Werke von Karl Weierstrass , vol. 2, Berlín, Alemania: Mayer & Müller, págs. 71–74
  • Traducción al español: Edgar, Gerald A. (1993), "Sobre funciones continuas de un argumento real que no poseen una derivada bien definida para ningún valor de su argumento", Classics on Fractals , Studies in Nonlinearity, Addison-Wesley Publishing Company, pp. 3–9, ISBN 978-0-201-58701-2

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Función de Weierstrass". MundoMatemático .(una función de Weierstrass diferente que también es continua y en ninguna parte diferenciable)
• Prueba de existencia de una función continua no diferenciable en ninguna parte utilizando el principio de contracción de Banach .
• En ninguna parte se demuestra la existencia de una función continua monótona utilizando el teorema de la categoría de Baire .
• Johan Thim. "Funciones continuas diferenciables en ninguna parte". Tesis de maestría, Universidad Tecnológica de Lulea, 2003. Archivado desde el original el 22 de febrero de 2017. Consultado el 28 de julio de 2006 .
• Función de Weierstrass en el plano complejo Archivado el 24 de septiembre de 2009 en Wayback Machine . Hermoso fractal.
• SpringerLink - Revista de análisis y aplicaciones de Fourier, volumen 16, número 1 Pruebas simples de diferenciabilidad en ninguna parte para la función de Weierstrass y casos de crecimiento lento
• Funciones de Weierstrass: continuas pero no diferenciables en ningún punto
• La función de Weierstrass de Brent Nelson en Berkeley, que muestra que no es diferenciable