Conjunto nulo

Conjunto medible cuya medida es cero

El triángulo de Sierpiński es un ejemplo de un conjunto nulo de puntos en . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

En análisis matemático , un conjunto nulo es un conjunto de números reales mesurable según el método de Lebesgue que tiene medida cero . Se puede caracterizar como un conjunto que puede estar cubierto por una unión contable de intervalos de longitud total arbitrariamente pequeña.

La noción de conjunto nulo no debe confundirse con el conjunto vacío tal como se define en la teoría de conjuntos . Aunque el conjunto vacío tiene medida de Lebesgue cero, también hay conjuntos no vacíos que son nulos. Por ejemplo, cualquier conjunto numerable no vacío de números reales tiene medida de Lebesgue cero y, por lo tanto, es nulo.

De manera más general, en un espacio de medida dado , un conjunto nulo es un conjunto tal que ${\displaystyle M=(X,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle S\in \Sigma }$ ${\displaystyle \mu (S)=0.}$

Ejemplos

Todo subconjunto finito o numerablemente infinito de los números reales es un conjunto nulo. Por ejemplo, el conjunto de los números naturales y el conjunto de los números racionales son ambos numerablemente infinitos y, por lo tanto, son conjuntos nulos cuando se los considera como subconjuntos de los números reales.

El conjunto de Cantor es un ejemplo de un conjunto nulo incontable. ^{[ se necesita más explicación ]}

Definición

Supongamos que es un subconjunto de la recta real tal que para cada existe una secuencia de intervalos abiertos (donde el intervalo tiene longitud tal que entonces es un conjunto nulo, ^[1] también conocido como un conjunto de contenido cero. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \varepsilon >0,}$ ${\displaystyle U_{1},U_{2},\ldots }$ ${\displaystyle U_{n}=(a_{n},b_{n})\subseteq \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \operatorname {length} (U_{n})=b_{n}-a_{n}}$ $${\displaystyle A\subseteq \bigcup _{n=1}^{\infty }U_{n}\ ~{\textrm {and}}~\ \sum _{n=1}^{\infty }\operatorname {length} (U_{n})<\varepsilon \,,}$$ ${\displaystyle A}$

En terminología del análisis matemático , esta definición requiere que exista una secuencia de cubiertas abiertas para las cuales el límite de las longitudes de las cubiertas sea cero. ${\displaystyle A}$

Propiedades

Sea un espacio de medida . Tenemos: ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$

• ${\displaystyle \mu (\varnothing )=0}$(por definición de ). ${\displaystyle \mu }$
• Cualquier unión contable de conjuntos nulos es en sí misma un conjunto nulo (por subaditividad contable de ). ${\displaystyle \mu }$
• Cualquier subconjunto (medible) de un conjunto nulo es en sí mismo un conjunto nulo (por monotonía de ). ${\displaystyle \mu }$

En conjunto, estos hechos muestran que los conjuntos nulos de forman un 𝜎-ideal del 𝜎-álgebra . En consecuencia, los conjuntos nulos pueden interpretarse como conjuntos despreciables , lo que da lugar a una noción de teoría de la medida de " casi en todas partes ". ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle \Sigma }$

Medida de Lebesgue

La medida de Lebesgue es la forma estándar de asignar una longitud , área o volumen a subconjuntos del espacio euclidiano .

Un subconjunto de tiene medida de Lebesgue nula y se considera un conjunto nulo en si y solo si: ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Dado cualquier número positivo existe una secuencia de intervalos en tal que está contenida en la unión de y la longitud total de la unión es menor que ${\displaystyle \varepsilon ,}$ ${\displaystyle I_{1},I_{2},\ldots }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle I_{1},I_{2},\ldots }$ ${\displaystyle \varepsilon .}$

Esta condición se puede generalizar utilizando cubos en lugar de intervalos. De hecho, la idea puede tener sentido en cualquier variedad , incluso si no hay ninguna medida de Lebesgue en ella. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle n}$

Por ejemplo:

• Con respecto a todos los conjuntos singleton son nulos, y por lo tanto todos los conjuntos numerables son nulos. En particular, el conjunto de números racionales es un conjunto nulo, a pesar de ser denso en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$
• La construcción estándar del conjunto de Cantor es un ejemplo de un conjunto nulo incontable ; sin embargo, son posibles otras construcciones que asignan al conjunto de Cantor cualquier medida. ${\displaystyle \mathbb {R} ;}$
• Todos los subconjuntos cuya dimensión es menor que tienen medida de Lebesgue nula en Por ejemplo las líneas rectas o los círculos son conjuntos nulos en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$
• Lema de Sard : el conjunto de valores críticos de una función suave tiene medida cero.

Si es una medida de Lebesgue para y π es una medida de Lebesgue para , entonces la medida del producto En términos de conjuntos nulos, la siguiente equivalencia se ha denominado teorema de Fubini : ^[2] ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \lambda \times \lambda =\pi .}$

• Para y ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle A_{x}=\{y:(x,y)\in A\},}$ $${\displaystyle \pi (A)=0\iff \lambda \left(\left\{x:\lambda \left(A_{x}\right)>0\right\}\right)=0.}$$

Usos

Los conjuntos nulos desempeñan un papel fundamental en la definición de la integral de Lebesgue : si las funciones y son iguales excepto en un conjunto nulo, entonces es integrable si y solo si es y sus integrales son iguales. Esto motiva la definición formal de espacios como conjuntos de clases de equivalencia de funciones que difieren solo en conjuntos nulos. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle L^{p}}$

Una medida en la que todos los subconjuntos de conjuntos nulos son medibles es completa . Cualquier medida no completa puede completarse para formar una medida completa al afirmar que los subconjuntos de conjuntos nulos tienen medida cero. La medida de Lebesgue es un ejemplo de una medida completa; en algunas construcciones, se define como la finalización de una medida de Borel no completa .

Un subconjunto del conjunto de Cantor que no es medible mediante Borel

La medida de Borel no es completa. Una construcción sencilla consiste en empezar con el conjunto estándar de Cantor , que es cerrado y, por lo tanto, medible según Borel, y que tiene medida cero, y encontrar un subconjunto del cual no sea medible según Borel. (Dado que la medida de Lebesgue es completa, por supuesto que es medible según Lebesgue). ${\displaystyle K,}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle F}$

Primero, tenemos que saber que cada conjunto de medida positiva contiene un subconjunto no medible. Sea la función de Cantor , una función continua que es localmente constante en y monótonamente creciente en con y Obviamente, es contable, ya que contiene un punto por componente de Por lo tanto tiene medida cero, por lo que tiene medida uno. Necesitamos una función estrictamente monótona , así que considere Dado que es estrictamente monótona y continua, es un homeomorfismo . Además, tiene medida uno. Sea no medible, y sea Como es inyectiva, tenemos que y por lo tanto es un conjunto nulo. Sin embargo, si fuera medible según Borel, entonces también sería medible según Borel (aquí usamos el hecho de que la preimagen de un conjunto de Borel por una función continua es medible; es la preimagen de a través de la función continua ) Por lo tanto, es un conjunto nulo, pero no medible según Borel. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle K^{c},}$ ${\displaystyle [0,1],}$ ${\displaystyle f(0)=0}$ ${\displaystyle f(1)=1.}$ ${\displaystyle f(K^{c})}$ ${\displaystyle K^{c}.}$ ${\displaystyle f(K^{c})}$ ${\displaystyle f(K)}$ ${\displaystyle g(x)=f(x)+x.}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle g(K)}$ ${\displaystyle E\subseteq g(K)}$ ${\displaystyle F=g^{-1}(E).}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle F\subseteq K,}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f(F)}$ ${\displaystyle g(F)=(g^{-1})^{-1}(F)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle h=g^{-1}.}$ ${\displaystyle F}$

Cabello nulo

En un espacio de Banach separable , la adición mueve cualquier subconjunto a los traducidos para cualquier Cuando hay una medida de probabilidad μ en el σ-álgebra de subconjuntos de Borel de tal que para todos entonces es un conjunto nulo de Haar . ^[3] ${\displaystyle (X,\|\cdot \|).}$ ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle A+x}$ ${\displaystyle x\in X.}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle \mu (A+x)=0,}$ ${\displaystyle A}$

El término se refiere a la invariancia nula de las medidas de las traducidas, asociándolo con la invariancia completa encontrada con la medida de Haar .

Algunas propiedades algebraicas de los grupos topológicos se han relacionado con el tamaño de los subconjuntos y los conjuntos nulos de Haar. ^[4] Los conjuntos nulos de Haar se han utilizado en grupos polacos para demostrar que cuando A no es un conjunto magro , entonces contiene un vecindario abierto del elemento identidad . ^[5] Esta propiedad recibe su nombre de Hugo Steinhaus, ya que es la conclusión del teorema de Steinhaus . ${\displaystyle A^{-1}A}$

Véase también

• Función de Cantor  : Función continua que no es absolutamente continua
• Conjunto vacío  : conjunto matemático que no contiene elementos
• Medida (matemáticas)  – Generalización de masa, longitud, área y volumen
• Nada  – Ausencia total de algo; lo opuesto de todo

Referencias

1. Franks, John (2009). Una (breve) introducción a la integración de Lebesgue . Biblioteca de Matemáticas para Estudiantes. Vol. 48. Sociedad Matemática Americana . p. 28. doi :10.1090/stml/048. ISBN. 978-0-8218-4862-3.
2. van Douwen, Eric K. (1989). "Teorema de Fubini para conjuntos nulos". American Mathematical Monthly . 96 (8): 718–21. doi :10.1080/00029890.1989.11972270. JSTOR  2324722. MR  1019152.
3. Matouskova, Eva (1997). "Convexidad y conjuntos nulos de Haar" (PDF) . Actas de la American Mathematical Society . 125 (6): 1793–1799. doi : 10.1090/S0002-9939-97-03776-3 . JSTOR  2162223.
4. Solecki, S. (2005). "Tamaños de subconjuntos de grupos y conjuntos nulos de Haar". Análisis geométrico y funcional . 15 : 246–73. CiteSeerX 10.1.1.133.7074 . doi :10.1007/s00039-005-0505-z. MR  2140632. S2CID  11511821. 
5. Dodos, Pandelis (2009). "La propiedad de Steinhaus y los conjuntos nulos de Haar". Boletín de la Sociedad Matemática de Londres . 41 (2): 377–44. arXiv : 1006.2675 . Código Bibliográfico :2010arXiv1006.2675D. doi :10.1112/blms/bdp014. MR  4296513. S2CID  119174196.

Lectura adicional

• Capinski, Marek; Kopp, Ekkehard (2005). Medida, integral y probabilidad . Springer. pág. 16. ISBN. 978-1-85233-781-0.
• Jones, Frank (1993). Integración de Lebesgue en espacios euclidianos . Jones & Bartlett. pág. 107. ISBN. 978-0-86720-203-8.
• Oxtoby, John C. (1971). Medida y categoría . Springer-Verlag. pág. 3. ISBN 978-0-387-05349-3.