Cubierta (topología)

Subconjuntos cuya unión es igual al conjunto completo

En matemáticas , y más particularmente en teoría de conjuntos , una cobertura (o cobertura ) de un conjunto es una familia de subconjuntos de cuya unión es todo de . Más formalmente, si es una familia indexada de subconjuntos (indexada por el conjunto ), entonces es una cobertura de if . Por tanto, la colección es una cobertura de si cada elemento de pertenece a al menos uno de los subconjuntos . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C=\lbrace U_{\alpha }:\alpha \in A\rbrace }$ ${\displaystyle U_{\alpha }\subset X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \bigcup _{\alpha \in A}U_{\alpha }=X}$ ${\displaystyle \lbrace U_{\alpha }:\alpha \in A\rbrace }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U_{\alpha }}$

Una subportada de una portada de un conjunto es un subconjunto de la portada que también cubre el conjunto. Una cubierta se llama cubierta abierta si cada uno de sus elementos es un conjunto abierto .

Cubrir en topología

Las cubiertas se utilizan comúnmente en el contexto de la topología . Si el conjunto es un espacio topológico , entonces una cubierta de es una colección de subconjuntos de cuya unión es el espacio completo . En este caso decimos que cubre , o que los conjuntos cubren . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{U_{\alpha }\}_{\alpha \in A}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U_{\alpha }}$ ${\displaystyle X}$

Además, si es un subespacio (topológico) de , entonces una cubierta de es una colección de subconjuntos de cuya unión contiene , es decir, es una cubierta de if ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle C=\{U_{\alpha }\}_{\alpha \in A}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle Y\subseteq \bigcup _{\alpha \in A}U_{\alpha }.}$

Es decir, podemos cubrir con conjuntos en sí mismo o con conjuntos en el espacio principal . ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$

Sea C una cubierta de un espacio topológico X . Una subcobertura de C es un subconjunto de C que todavía cubre X .

Decimos que C es uncubierta abierta si cada uno de sus miembros es unconjunto abierto(es decir, cadaU _α está contenido enT, dondeTes la topología deX).

Se dice que una cobertura de X es localmente finita si cada punto de X tiene una vecindad que intersecta sólo un número finito de conjuntos en la cobertura. Formalmente, C = { U _α } es localmente finito si para cualquiera existe alguna vecindad N ( x ) de x tal que el conjunto ${\displaystyle x\in X,}$

${\displaystyle \left\{\alpha \in A:U_{\alpha }\cap N(x)\neq \varnothing \right\}}$

es finito. Se dice que una cobertura de X es un punto finito si cada punto de X está contenido en un número finito de conjuntos en la cobertura. Una cobertura es puntualmente finita si es localmente finita, aunque lo contrario no es necesariamente cierto.

Refinamiento

Un refinamiento de una cobertura de un espacio topológico es una nueva cobertura tal que cada conjunto está contenido en algún conjunto . Formalmente, ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle D=\{V_{\beta }\}_{\beta \in B}}$es un refinamiento de si para todos existe tal que ${\displaystyle C=\{U_{\alpha }\}_{\alpha \in A}}$ ${\displaystyle \beta \in B}$ ${\displaystyle \alpha \in A}$ ${\displaystyle V_{\beta }\subseteq U_{\alpha }.}$

En otras palabras, hay un mapa de refinamiento que satisface para cada. Este mapa se utiliza, por ejemplo, en la cohomología de Čech . ^[1] ${\displaystyle \phi :B\to A}$ ${\displaystyle V_{\beta }\subseteq U_{\phi (\beta )}}$ ${\displaystyle \beta \in B.}$ ${\displaystyle X}$

Cada subcubierta es también un refinamiento, pero no siempre ocurre lo contrario. Se elabora una subportada a partir de los conjuntos que hay en la portada, pero omitiendo algunos de ellos; mientras que se realiza un refinamiento a partir de cualquier conjunto que sea subconjunto de los conjuntos de la portada.

La relación de refinamiento en el conjunto de portadas de es transitiva , irreflexiva y asimétrica . ${\displaystyle X}$

En términos generales, un refinamiento de una determinada estructura es otro que en algún sentido la contiene. Se pueden encontrar ejemplos al dividir un intervalo (un refinamiento del ser ), considerando topologías (la topología estándar en el espacio euclidiano es un refinamiento de la topología trivial ). Al subdividir complejos simpliciales (la primera subdivisión baricéntrica de un complejo simplicial es un refinamiento), la situación es ligeramente diferente: cada simplex en el complejo más fino es una cara de algún simplex en el más grueso, y ambos tienen poliedros subyacentes iguales. ${\displaystyle a_{0}<a_{1}<\cdots <a_{n}}$ ${\displaystyle a_{0}<b_{0}<a_{1}<a_{2}<\cdots <a_{n-1}<b_{1}<a_{n}}$

Otra noción más de refinamiento es la de refinamiento de estrellas .

Subcubierta

Una forma sencilla de obtener una subportada es omitir los conjuntos contenidos en otro conjunto de la portada. Considere cubiertas específicamente abiertas. Sea una base topológica de y una cubierta abierta de Primera toma Luego es un refinamiento de . A continuación, para cada uno seleccionamos un contenedor (lo que requiere el axioma de elección). Entonces es una subcubierta de Por lo tanto, la cardinalidad de una subcubierta de una cubierta abierta puede ser tan pequeña como la de cualquier base topológica. Por lo tanto, en particular, la segunda contabilidad implica que un espacio es Lindelöf . ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}=\{A\in {\mathcal {B}}:{\text{ there exists }}U\in {\mathcal {O}}{\text{ such that }}A\subseteq U\}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}},}$ ${\displaystyle U_{A}\in {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}=\{U_{A}\in {\mathcal {O}}:A\in {\mathcal {A}}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}.}$

Compacidad

El lenguaje de cubiertas se utiliza a menudo para definir varias propiedades topológicas relacionadas con la compacidad . Se dice que un espacio topológico X es

Compacto

si cada cubierta abierta tiene una subcubierta finita (o, de manera equivalente, que cada cubierta abierta tiene un refinamiento finito);

Lindelöf

si cada portada abierta tiene una subportada contable (o equivalentemente, que cada portada abierta tiene un refinamiento contable);

Metacompacto

si toda cubierta abierta tiene un refinamiento abierto puntual;

Paracompacto

si toda cubierta abierta admite un refinamiento abierto localmente finito.

Para conocer más variaciones, consulte los artículos anteriores.

Dimensión de cobertura

Se dice que un espacio topológico X tiene una dimensión de cobertura n si cada cobertura abierta de X tiene un refinamiento abierto puntualmente finito tal que ningún punto de X está incluido en más de n+ 1 conjuntos en el refinamiento y si n es el valor mínimo para que esto es cierto. ^[2] Si no existe tal mínimo n , se dice que el espacio tiene una dimensión de cobertura infinita.

Ver también

• Atlas (topología)  : conjunto de gráficos que describen una variedad.
• Bornología  : generalización matemática de la acotación
• Espacio de cobertura  : tipo de mapa continuo en topología
• Topología de Grothendieck  : estructura en una categoría C que hace que los objetos de C actúen como conjuntos abiertos de un espacio topológico.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Partición de un conjunto  : formas matemáticas de agrupar elementos de un conjunto
• Problema de cobertura de conjuntos  - Problema clásico en combinatoria
• Refinamiento de estrellas  – refinamiento matemáticoPages displaying wikidata descriptions as a fallback

Notas

1. Bott, Tu (1982). Formas diferenciales en topología algebraica . pag. 111.
2. Munkres, James (1999). Topología (2ª ed.). Prentice Hall . ISBN 0-13-181629-2.

Referencias

1. Introducción a la topología , segunda edición, Theodore W. Gamelin y Robert Everist Greene. Publicaciones de Dover 1999. ISBN 0-486-40680-6 
2. Topología general , John L. Kelley . D. Van Nostrand Company, Inc. Princeton, Nueva Jersey. 1955.

enlaces externos

• "Cubierta (de un conjunto)", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]