Espacio clásico de Wiener

Norbert Wiener

En matemáticas , el espacio clásico de Wiener es la colección de todas las funciones continuas en un dominio dado (normalmente un subintervalo de la recta real ), que toman valores en un espacio métrico (normalmente un espacio euclidiano n -dimensional ). El espacio clásico de Wiener es útil en el estudio de procesos estocásticos cuyas trayectorias de muestra son funciones continuas. Recibe su nombre en honor al matemático estadounidense Norbert Wiener .

Definición

Consideremos E ⊆ R ⁿ y un espacio métrico ( M , d ). El espacio clásico de Wiener C ( E ; M ) es el espacio de todas las funciones continuas f  : E → M . Es decir, para cada t fijo en E ,

${\displaystyle d(f(s),f(t))\to 0}$como ${\displaystyle |s-t|\to 0.}$

En casi todas las aplicaciones, se toma E = [0,  T  ] o [0, +∞) y M = R ⁿ para algún n en N . Para abreviar, se escribe C para C ([0,  T  ]; R ⁿ ); este es un espacio vectorial . Se escribe C ₀ para el subespacio lineal que consiste únicamente en aquellas funciones que toman el valor cero en el ínfimo del conjunto E . Muchos autores se refieren a C ₀ como "espacio clásico de Wiener".

Para un proceso estocástico y el espacio de todas las funciones desde hasta , se observa el mapa . Luego se pueden definir los mapas de coordenadas o versiones canónicas definidas por . La forma otro proceso. La medida de Wiener es entonces la única medida en tal que el proceso de coordenadas es un movimiento browniano. ^[1] ${\displaystyle \{X_{t},t\in T\}:(\Omega ,{\mathcal {F}},P)\to (E,{\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(T,E)}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \varphi :\Omega \to {\mathcal {F}}(T,E)\cong E^{T}}$ ${\displaystyle Y_{t}:E^{T}\to E}$ ${\displaystyle Y_{t}(\omega )=\omega (t)}$ ${\displaystyle \{Y_{t},t\in T\}}$ ${\displaystyle C_{0}(\mathbb {R} _{+},\mathbb {R} )}$

Propiedades del espacio clásico de Wiener

Topología uniforme

El espacio vectorial C puede ser dotado de la norma uniforme

${\displaystyle \|f\|:=\sup _{t\in [0,\,T]}|f(t)|}$

convirtiéndolo en un espacio vectorial normado (de hecho un espacio de Banach ya que es compacto). Esta norma induce una métrica en C de la manera habitual: . La topología generada por los conjuntos abiertos en esta métrica es la topología de convergencia uniforme en [0,  T  ], o la topología uniforme . ${\displaystyle [0,T]}$ ${\displaystyle d(f,g):=\|f-g\|}$

Si consideramos el dominio [0,  T  ] como "tiempo" y el rango R ⁿ como "espacio", una visión intuitiva de la topología uniforme es que dos funciones están "cerca" si podemos "mover ligeramente el espacio" y lograr que el gráfico de f se sitúe sobre el gráfico de g , mientras dejamos el tiempo fijo. Comparemos esto con la topología de Skorokhod , que nos permite "mover" tanto el espacio como el tiempo.

Si uno mira el dominio más general con ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}}$

${\displaystyle \|f\|:=\sup _{t\geq 0}|f(t)|,}$

entonces el espacio de Wiener ya no es un espacio de Banach, sin embargo puede convertirse en uno si el espacio de Wiener se define bajo la restricción adicional

${\displaystyle \lim \limits _{s\to \infty }s^{-1}|f(s)|=0.}$

Separabilidad y completitud

Respecto a la métrica uniforme, C es a la vez un espacio separable y completo :

• La separabilidad es una consecuencia del teorema de Stone-Weierstrass ;
• La completitud es una consecuencia del hecho de que el límite uniforme de una secuencia de funciones continuas es en sí mismo continuo.

Dado que es a la vez separable y completo, C es un espacio polaco .

Estrechez en el espacio clásico de Wiener

Recordemos que el módulo de continuidad para una función f  : [0,  T  ] → R ⁿ está definido por

${\displaystyle \omega _{f}(\delta ):=\sup \left\{|f(s)-f(t)|:s,t\in [0,T],\,|s-t|\leq \delta \right\}.}$

Esta definición tiene sentido incluso si f no es continua, y se puede demostrar que f es continua si y sólo si su módulo de continuidad tiende a cero cuando δ → 0:

${\displaystyle f\in C\iff \omega _{f}(\delta )\to 0{\text{ as }}\delta \to 0}$.

Mediante una aplicación del teorema de Arzelà-Ascoli , se puede demostrar que una secuencia de medidas de probabilidad en el espacio clásico de Wiener C es ajustada si y solo si se cumplen las dos condiciones siguientes: ${\displaystyle (\mu _{n})_{n=1}^{\infty }}$

${\displaystyle \lim _{a\to \infty }\limsup _{n\to \infty }\mu _{n}\{f\in C\mid |f(0)|\geq a\}=0,}$y

${\displaystyle \lim _{\delta \to 0}\limsup _{n\to \infty }\mu _{n}\{f\in C\mid \omega _{f}(\delta )\geq \varepsilon \}=0}$para todo ε > 0.

Medida clásica de Wiener

Existe una medida "estándar" de C ₀ , conocida como medida clásica de Wiener (o simplemente medida de Wiener ). La medida de Wiener tiene (al menos) dos caracterizaciones equivalentes:

Si se define el movimiento browniano como un proceso estocástico de Markov B  : [0,  T  ] × Ω → R ⁿ , que comienza en el origen, con trayectorias casi seguramente continuas e incrementos independientes

${\displaystyle B_{t}-B_{s}\sim \,\mathrm {Normal} \left(0,|t-s|\right),}$

Entonces la medida clásica de Wiener γ es la ley del proceso B.

Como alternativa, se puede utilizar la construcción abstracta del espacio de Wiener , en la que la medida clásica de Wiener γ es la radonificación de la medida del conjunto de cilindros gaussianos canónicos en el espacio de Cameron-Martin Hilbert correspondiente a C ₀ .

La medida de Wiener clásica es una medida gaussiana : en particular, es una medida de probabilidad estrictamente positiva .

Dada la medida clásica de Wiener γ en C ₀ , la medida del producto γ ⁿ × γ es una medida de probabilidad en C , donde γ ⁿ denota la medida gaussiana estándar en R ⁿ .

Véase también

• Espacio de Wiener abstracto
• Espacio de Skorokhod , una generalización del espacio de Wiener clásico, que permite que las funciones sean discontinuas.
• Proceso de Wiener

Referencias

1. Revuz, Daniel; Yor, Marc (1999). Martingalas continuas y movimiento browniano . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. vol. 293. Saltador. págs. 33–37.