Espacio salchicha abstracto

El concepto de espacio de Wiener abstracto es una construcción matemática desarrollada por Leonard Gross para comprender la estructura de las medidas gaussianas en espacios de dimensión infinita. La construcción enfatiza el papel fundamental que jugó el espacio Cameron-Martin . El espacio clásico de Wiener es el ejemplo prototípico.

El teorema de estructura de las medidas gaussianas establece que todas las medidas gaussianas pueden representarse mediante la construcción abstracta del espacio de Wiener.

Motivación

Sea un espacio de Hilbert real , supuesto de dimensión infinita y separable . En la literatura de física, uno encuentra frecuentemente integrales de la forma ${\displaystyle H}$

${\frac {1}{Z}}\int _{H}f(v)e^{-{\frac {1}{2}}\Vert v\Vert ^{2}}Dv,$

donde se supone que es una constante de normalización y donde se supone que está la medida de Lebesgue inexistente en . Tales integrales surgen, notablemente, en el contexto de la formulación euclidiana de integrales de trayectoria de la teoría cuántica de campos. A nivel matemático, dicha integral no puede interpretarse como una integración frente a una medida en el espacio de Hilbert original . Por otro lado, supongamos que es un espacio de Banach que contiene un subespacio denso. Si es "suficientemente mayor" que , entonces la integral anterior puede interpretarse como integración frente a una medida (gaussiana) bien definida en . En ese caso, el par se denomina espacio de Wiener abstracto. ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Dv}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle (H,B)}$

El ejemplo prototípico es el espacio de Wiener clásico, en el cual está el espacio de Hilbert de funciones con valores reales en un intervalo que tiene primera derivada y satisface , con la norma dada por ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle [0,T]}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle b(0)=0}$

${\displaystyle \left\Vert b\right\Vert ^{2}=\int _{0}^{T}b'(t)^{2}\,dt.}$

En ese caso, puede tomarse como el espacio de Banach de funciones continuas con la norma suprema . En este caso, la medida es la medida de Wiener que describe el movimiento browniano comenzando en el origen. El subespacio original se llama espacio de Cameron-Martin , que forma un conjunto de medida cero con respecto a la medida de Wiener. ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle [0,T]}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle H\subset B}$

Lo que significa el ejemplo anterior es que tenemos una expresión formal para la medida de Wiener dada por $${\displaystyle d\mu (b)={\frac {1}{Z}}\exp \left\{-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{T}b'(t)^{2}\,dt\right\}\,Db.}$$

Aunque esta expresión formal sugiere que la medida de Wiener debería vivir en el espacio de caminos para los cuales , en realidad no es así. (Se sabe que las trayectorias brownianas no son diferenciables en ninguna parte con probabilidad uno.) ${\textstyle \int _{0}^{T}b'(t)^{2}\,dt<\infty }$

La construcción abstracta del espacio de Wiener de Gross abstrae la situación del espacio de Wiener clásico y proporciona una condición necesaria y suficiente (aunque a veces difícil de verificar) para que exista la medida gaussiana . Aunque la medida gaussiana sigue vigente en lugar de , es la geometría de en lugar de la que controla las propiedades de . Como lo expresa el propio Gross ^[1] (adaptado a nuestra notación), "Sin embargo, sólo se hizo evidente con el trabajo de IE Segal relacionado con la distribución normal en un espacio de Hilbert real, que el papel del espacio de Hilbert era realmente central, y que en lo que respecta al análisis , el papel de sí mismo fue auxiliar para muchos de los teoremas de Cameron y Martin, y en algunos casos incluso innecesario". Una de las características atractivas de la construcción abstracta del espacio Wiener de Gross es que la toma como punto de partida y la trata como un objeto auxiliar. ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle B}$

Aunque las expresiones formales que aparecen anteriormente en esta sección son expresiones puramente formales de estilo físico, son muy útiles para ayudar a comprender las propiedades de . En particular, se pueden utilizar fácilmente estas expresiones para derivar la fórmula (¡correcta!) para la densidad de la medida traducida relativa a , para . (Ver el teorema de Cameron-Martin ). ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle d\mu (b+h)}$ ${\displaystyle d\mu (b)}$ ${\displaystyle h\in H}$

Descripción matemática

Medida del juego de cilindros enh

Sea un espacio de Hilbert definido sobre los números reales, que se supone de dimensión infinita y separable. Un conjunto de cilindros es un conjunto definido en términos de los valores de una colección finita de funcionales lineales en . Específicamente, supongamos que hay funcionales lineales continuos en y es un conjunto de Borel en . Entonces podemos considerar el conjunto ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \phi _{1},\ldots ,\phi _{n}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ $${\displaystyle C=\left\{v\in H\mid (\phi _{1}(v),\ldots ,\phi _{n}(v))\in E\right\}.}$$

Cualquier conjunto de este tipo se denomina conjunto de cilindros. La colección de todos los conjuntos de cilindros forma un álgebra de conjuntos pero no es un -álgebra . ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \sigma }$

Existe una forma natural de definir una "medida" en juegos de cilindros, como sigue. Según el teorema de representación de Riesz , los funcionales lineales se dan como el producto interno con vectores en . A la luz del procedimiento de Gram-Schmidt , es inofensivo suponer que son ortonormales. En ese caso, podemos asociar al cilindro definido anteriormente la medida de con respecto a la medida gaussiana estándar en . Es decir, definimos dónde está la medida estándar de Lebesgue en . Debido a la estructura del producto de la medida gaussiana estándar , no es difícil demostrar que está bien definida. Es decir, aunque un mismo conjunto puede representarse como un conjunto de cilindros de más de una forma, el valor de es siempre el mismo. ${\displaystyle \phi _{1},\ldots ,\phi _{n}}$ ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ $${\displaystyle \mu (C)=(2\pi )^{-n/2}\int _{E\subset \mathbb {R} ^{n}}e^{-\Vert x\Vert ^{2}/2}\,dx,}$$ ${\displaystyle dx}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \mu (C)}$

Inexistencia de la medida sobreh

El conjunto funcional se denomina medida de conjunto de cilindro gaussiano estándar . Suponiendo (como lo hacemos) que es de dimensión infinita, no se extiende a una medida contablemente aditiva en el álgebra generada por la colección de conjuntos de cilindros en . Se puede entender la dificultad considerando el comportamiento de la medida gaussiana estándar dado por ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ $${\displaystyle (2\pi )^{-n/2}e^{-\Vert x\Vert ^{2}/2}\,dx.}$$

El valor esperado de la norma al cuadrado con respecto a esta medida se calcula como una integral gaussiana elemental como $${\displaystyle (2\pi )^{-n/2}\int _{\mathbb {R} ^{n}}\Vert x\Vert ^{2}e^{-\Vert x\Vert ^{2}/2}\,dx=(2\pi )^{-n/2}\sum _{i=1}^{n}\int _{\mathbb {R} }x_{i}^{2}e^{-x_{i}^{2}/2}\,dx_{i}=n.}$$

Es decir, la distancia típica desde el origen de un vector elegido aleatoriamente de acuerdo con la medida gaussiana estándar en es. Como tiende al infinito, esta distancia típica tiende al infinito, lo que indica que no existe una medida "gaussiana estándar" bien definida en . (La distancia típica desde el origen sería infinita, de modo que la medida en realidad no viviría en el espacio ). ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle {\sqrt {n}}.}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$

Existencia de la medida sobreB

Ahora supongamos que es un espacio de Banach separable y que es un mapa lineal continuo inyectivo cuya imagen es densa en . Entonces es inofensivo (y conveniente) identificarse con su imagen interior y así considerarlo como un subconjunto denso de . Luego podemos construir una medida de conjunto de cilindros definiendo la medida de un conjunto de cilindros como la medida del conjunto de cilindros previamente definida de , que es un conjunto de cilindros en . ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle i:H\rightarrow B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C\subset B}$ ${\displaystyle C\cap H}$ ${\displaystyle H}$

La idea de la construcción abstracta del espacio de Wiener es que si es suficientemente mayor que , entonces la medida del conjunto de cilindros en , a diferencia de la medida del conjunto de cilindros en , se extenderá a una medida contablemente aditiva en el álgebra generada. El artículo original de Gross ^[2] da una condición necesaria y suficiente para que este sea el caso. La medida se llama medida gaussiana y el subespacio se llama espacio de Cameron-Martin . Es importante recalcar que forma un conjunto de medida cero en su interior , enfatizando que la medida gaussiana sólo vive y no sigue . ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle H\subset B}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle H}$

El resultado de toda esta discusión es que las integrales gaussianas del tipo descrito en la sección de motivación tienen una interpretación matemática rigurosa, pero no viven en el espacio cuya norma ocurre en el exponente de la expresión formal. Más bien, viven en un espacio más grande.

Universalidad de la construcción.

La construcción abstracta del espacio de Wiener no es simplemente un método para construir medidas gaussianas. Más bien, cada medida gaussiana en un espacio de Banach de dimensión infinita ocurre de esta manera. (Véase el teorema de estructura para medidas gaussianas ). Es decir, dada una medida gaussiana en un espacio de Banach separable y de dimensión infinita (sobre ), se puede identificar un subespacio de Cameron-Martin , en cuyo punto el par se convierte en un espacio de Wiener abstracto y es la medida gaussiana asociada. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle H\subset B}$ ${\displaystyle (H,B)}$ ${\displaystyle \mu }$

Propiedades

• ${\displaystyle \mu }$es una medida de Borel : se define en el σ-álgebra de Borel generada por los subconjuntos abiertos de B.
• ${\displaystyle \mu }$es una medida gaussiana en el sentido de que f _∗ ( ) es una medida gaussiana en R para cada funcional lineal f ∈ B ^∗ , f ≠ 0 . ${\displaystyle \mu }$
• Por tanto, es estrictamente positivo y localmente finito. ${\displaystyle \mu }$
• El comportamiento de la subtraducción se describe mediante el teorema de Cameron-Martin . ${\displaystyle \mu }$
• Dados dos espacios de Wiener abstractos i ₁  : H ₁ → B ₁ y i ₂  : H ₂ → B ₂ , se puede demostrar que . En su totalidad: es decir, la medida de Wiener abstracta sobre el producto cartesiano B ₁ × B ₂ es el producto de las medidas de Wiener abstractas sobre los dos factores B ₁ y B ₂ . ${\displaystyle \gamma _{12}=\gamma _{1}\otimes \gamma _{2}}$ $${\displaystyle (i_{1}\times i_{2})_{*}(\mu ^{H_{1}\times H_{2}})=(i_{1})_{*}\left(\mu ^{H_{1}}\right)\otimes (i_{2})_{*}\left(\mu ^{H_{2}}\right),}$$ ${\displaystyle \mu _{12}}$
• Si H (y B ) son de dimensión infinita, entonces la imagen de H tiene medida cero . Este hecho es consecuencia de la ley cero-uno de Kolmogorov .

Ejemplo: espacio clásico de Wiener

El ejemplo prototípico de un espacio de Wiener abstracto es el espacio de caminos continuos , y se conoce como espacio de Wiener clásico . Este es el espacio de Wiener abstracto en el que está dado por con el producto interno dado por y es el espacio de aplicaciones continuas de a partir de 0, con la norma uniforme . En este caso, la medida gaussiana es la medida de Wiener , que describe el movimiento browniano en , partiendo del origen. ${\displaystyle H}$ $${\displaystyle H:=L_{0}^{2,1}([0,T];\mathbb {R} ^{n}):=\{{\text{Absolutely continuous paths starting at 0 with square-integrable first derivative}}\}}$$ $${\displaystyle \langle \sigma _{1},\sigma _{2}\rangle _{L_{0}^{2,1}}:=\int _{0}^{T}\langle {\dot {\sigma }}_{1}(t),{\dot {\sigma }}_{2}(t)\rangle _{\mathbb {R} ^{n}}\,dt,}$$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle [0,T]}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

El resultado general que forma un conjunto de medida cero con respecto a en este caso refleja la rugosidad del camino browniano típico, que se sabe que no es diferenciable en ninguna parte . Esto contrasta con la supuesta diferenciabilidad de las rutas en . ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle H}$

Ver también

• Medida de Besov  : generalización de la medida gaussiana utilizando la norma de BesovPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Teorema de Cameron-Martin  : teorema que define la traducción de medidas gaussianas (medidas de Wiener) en espacios de Hilbert.
• Teorema de Feldman-Hájek  - Teoría en teoría de la probabilidad
• Teorema de estructura para medidas gaussianas  – Teorema matemático
• No existe una medida de Lebesgue de dimensión infinita  - Folclore matemáticoPages displaying short descriptions of redirect targets

Referencias

1. Bruto 1967 p. 31
2. Bruto 1967

• Bell, Denis R. (2006). El cálculo de Malliavin . Mineola, Nueva York: Dover Publications Inc. p. x+113. ISBN 0-486-44994-7. SEÑOR  2250060.(Ver sección 1.1)
• Bruto, Leonard (1967). "Espacios abstractos de Wiener". Proc. Quinto Simposio de Berkeley. Matemáticas. Estadístico. y probabilidad (Berkeley, California, 1965/66), vol. II: Contribuciones a la teoría de la probabilidad, Parte 1. Berkeley, California: Univ. Prensa de California. págs. 31–42. SEÑOR  0212152.
• Kuo, Hui-Hsiung (1975). Medidas gaussianas en espacios de Banach . Berlín-Nueva York: Springer. pag. 232.ISBN​ 978-1419645808.