stringtranslate.com

Medida gaussiana

En matemáticas , la medida gaussiana es una medida de Borel en el espacio euclidiano de dimensión finita , estrechamente relacionada con la distribución normal en estadística . También existe una generalización a espacios de dimensión infinita. Las medidas gaussianas reciben su nombre del matemático alemán Carl Friedrich Gauss . Una razón por la que las medidas gaussianas son tan omnipresentes en la teoría de la probabilidad es el teorema del límite central . En términos generales, establece que si una variable aleatoria se obtiene sumando un gran número de variables aleatorias independientes con varianza 1, entonces tiene varianza y su ley es aproximadamente gaussiana.

Definiciones

Sea y sea la terminación del álgebra de Borel en . Sea la medida de Lebesgue -dimensional habitual . Entonces la medida gaussiana estándar se define por para cualquier conjunto medible . En términos de la derivada de Radon–Nikodym ,

De manera más general, la medida gaussiana con media y varianza se da por

Las medidas gaussianas con media se conocen como medidas gaussianas centradas .

La medida de Dirac es el límite débil de como , y se considera una medida gaussiana degenerada ; por el contrario, las medidas gaussianas con varianza finita y distinta de cero se denominan medidas gaussianas no degeneradas .

Propiedades

La medida gaussiana estándar en

Espacios de dimensión infinita

Se puede demostrar que no existe un análogo de la medida de Lebesgue en un espacio vectorial de dimensión infinita . Aun así, es posible definir medidas gaussianas en espacios de dimensión infinita, siendo el principal ejemplo la construcción abstracta del espacio de Wiener . Se dice que una medida de Borel en un espacio de Banach separable es una medida gaussiana no degenerada (centrada) si, para cada funcional lineal excepto , la medida de empuje hacia adelante es una medida gaussiana no degenerada (centrada) en en el sentido definido anteriormente.

Por ejemplo, la medida clásica de Wiener en el espacio de trayectorias continuas es una medida gaussiana.

Véase también

Referencias