Medida de Besov

Generalización de la medida gaussiana utilizando la norma de Besov

En matemáticas —específicamente, en los campos de la teoría de la probabilidad y los problemas inversos— las medidas de Besov y las variables aleatorias distribuidas por Besov asociadas son generalizaciones de los conceptos de medidas gaussianas y variables aleatorias , distribuciones de Laplace y otras distribuciones clásicas. Son particularmente útiles en el estudio de problemas inversos en espacios de funciones para los cuales una distribución previa bayesiana gaussiana es un modelo inadecuado. La construcción de una medida de Besov es similar a la construcción de un espacio de Besov , de ahí la nomenclatura.

Definiciones

Sea un espacio de Hilbert separable de funciones definidas en un dominio , y sea una base ortonormal completa para . Sean y . Para , definamos ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle \{e_{n}\mid n\in \mathbb {N} \}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle s\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle 1\leq p<\infty }$ ${\displaystyle u=\sum _{n\in \mathbb {N} }u_{n}e_{n}\in H}$

${\displaystyle \|u\|_{X^{s,p}}=\left\|\sum _{n\in \mathbb {N} }u_{n}e_{n}\right\|_{X^{s,p}}:=\left(\sum _{n=1}^{\infty }n^{({\frac {ps}{d}}+{\frac {p}{2}}-1)}|u_{n}|^{p}\right)^{1/p}.}$

Esto define una norma en el subespacio de para el cual es finito, y denotamos la completitud de este subespacio con respecto a esta nueva norma. La motivación para estas definiciones surge del hecho de que es equivalente a la norma de en el espacio de Besov . ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle X^{s,p}}$ ${\displaystyle \|u\|_{X^{s,p}}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle B_{pp}^{s}(D)}$

Sea un parámetro de escala, similar a la precisión (el recíproco de la varianza ) de una medida gaussiana. Ahora definimos una variable aleatoria con valor α como ${\displaystyle \kappa >0}$ ${\displaystyle X^{s,p}}$ ${\displaystyle u}$

${\displaystyle u:=\sum _{n\in \mathbb {N} }n^{-({\frac {s}{d}}+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{p}})}\kappa ^{-{\frac {1}{p}}}\xi _{n}e_{n},}$

donde se toman muestras de forma independiente e idéntica a partir de la medida gaussiana generalizada en con función de densidad de probabilidad de Lebesgue proporcional a . De manera informal, se puede decir que tiene una función de densidad de probabilidad proporcional a con respecto a la medida de Lebesgue de dimensión infinita ( lo que no tiene sentido riguroso ) y, por lo tanto, es un candidato natural para un elemento "típico" de (aunque esto no es del todo cierto; consulte a continuación). ${\displaystyle \xi _{1},\xi _{2},\dots }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \exp(-{\tfrac {1}{2}}|\xi _{n}|^{p})}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \exp(-{\tfrac {\kappa }{2}}\|u\|_{X^{s,p}}^{p})}$ ${\displaystyle X^{s,p}}$

Propiedades

Es fácil demostrar que, cuando t  ≤  s , la norma X ^{t , p} es finita siempre que la norma X ^{s , p} lo sea. Por lo tanto, los espacios X ^{s , p} y X ^{t , p} están anidados:

${\displaystyle X^{s,p}\subseteq X^{t,p}{\mbox{ when }}t\leq s.}$

Esto es consistente con la anidación habitual de clases de suavidad de funciones f :  D  →  R : por ejemplo, el espacio de Sobolev H ² ( D ) es un subespacio de H ¹ ( D ) y a su vez del espacio de Lebesgue L ² ( D ) = H ⁰ ( D ); el espacio de Hölder C ¹ ( D ) de funciones continuamente diferenciables es un subespacio del espacio C ⁰ ( D ) de funciones continuas.

Se puede demostrar que la serie que define u converge en X ^{t , p} casi con seguridad para cualquier t  <  s  −  d  /  p , y por lo tanto da una variable aleatoria bien definida con valor X ^{t , p} . Nótese que X ^{t , p} es un espacio mayor que X ^{s , p} , y de hecho la variable aleatoria u casi con seguridad no está en el espacio menor X ^{s , p} . El espacio X ^{s , p} es más bien el espacio de Cameron-Martin de esta medida de probabilidad en el caso gaussiano p  = 2. Se dice que la variable aleatoria u tiene una distribución de Besov con parámetros ( κ , s , p ), y la medida de probabilidad inducida se llama medida de Besov .

Véase también

• Espacio de Wiener abstracto  – Construcción matemática relativa a espacios de dimensión infinita.
• Teorema de Cameron-Martin  : Teorema que define la traducción de medidas gaussianas (medidas de Wiener) en espacios de Hilbert.
• Teorema de Feldman-Hájek  - Teoría en teoría de la probabilidad
• Teorema de estructura para medidas gaussianas  – Teorema matemático
• No existe una medida de Lebesgue de dimensión infinita  – Folclore matemáticoPáginas que muestran descripciones breves de los objetivos de redireccionamiento

Referencias

• Dashti, Masoumeh; Harris, Stephen; Stuart, Andrew M. (2012). "Prioridades de Besov para problemas inversos bayesianos". Inverse Problems & Imaging . 6 (2): 183–200. arXiv : 1105.0889 . doi :10.3934/ipi.2012.6.183. ISSN  1930-8337. MR  2942737. S2CID  88518742.
• Lassas, Matti; Saksman, Eero; Siltanen, Samuli (2009). "Inversión bayesiana invariante a la discretización y priores del espacio de Besov". Inverse Problems & Imaging . 3 (1): 87–122. arXiv : 0901.4220 . doi :10.3934/ipi.2009.3.87. ISSN  1930-8337. MR  2558305. S2CID  14122432.