Teorema de Feldman-Hájek

Teoría en teoría de la probabilidad

En teoría de la probabilidad , el teorema de Feldman–Hájek o dicotomía de Feldman–Hájek es un resultado fundamental en la teoría de las medidas gaussianas . Afirma que dos medidas gaussianas y en un espacio localmente convexo son medidas equivalentes o bien mutuamente singulares : ^[1] no hay posibilidad de una situación intermedia en la que, por ejemplo, tiene una densidad con respecto a pero no viceversa. En el caso especial de que sea un espacio de Hilbert , es posible dar una descripción explícita de las circunstancias bajo las cuales y son equivalentes: escribiendo y para los medios de y y y para sus operadores de covarianza , la equivalencia de y se cumple si y solo si ^[2] ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle m_{\mu }}$ ${\displaystyle m_{\nu }}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu ,}$ ${\displaystyle C_{\mu }}$ ${\displaystyle C_{\nu }}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu }$

• ${\displaystyle \mu }$y tienen el mismo espacio de Cameron-Martin ; ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle H=C_{\mu }^{1/2}(X)=C_{\nu }^{1/2}(X)}$
• la diferencia entre sus medias reside en este espacio común de Cameron-Martin, es decir ; y ${\displaystyle m_{\mu }-m_{\nu }\in H}$
• El operador es un operador de Hilbert-Schmidt en ${\displaystyle (C_{\mu }^{-1/2}C_{\nu }^{1/2})(C_{\mu }^{-1/2}C_{\nu }^{1/2})^{\ast }-I}$ ${\displaystyle {\bar {H}}.}$

Una consecuencia simple del teorema de Feldman-Hájek es que dilatar una medida gaussiana en un espacio de Hilbert de dimensión infinita (es decir, tomando para algún factor de escala ) siempre produce dos medidas gaussianas mutuamente singulares, excepto por la dilatación trivial con ya que es Hilbert-Schmidt solo cuando ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C_{\nu }=sC_{\mu }}$ ${\displaystyle s\geq 0}$ ${\displaystyle s=1,}$ ${\displaystyle (s^{2}-1)I}$ ${\displaystyle s=1.}$

Véase también

• Medida del conjunto de cilindros gaussianos canónicos  : forma de generar una medida sobre espacios de productosPages displaying wikidata descriptions as a fallback

Referencias

1. Bogachev, Vladimir I. (1998). Medidas gaussianas . Encuestas y monografías matemáticas. Vol. 62. Providence, RI: American Mathematical Society. doi :10.1090/surv/062. ISBN. 0-8218-1054-5.(Véase el teorema 2.7.2)
2. Da Prato, Giuseppe; Zabczyk, Jerzy (2014). Ecuaciones estocásticas en dimensiones infinitas . Enciclopedia de matemáticas y sus aplicaciones. Vol. 152 (segunda edición). Cambridge: Cambridge University Press. doi :10.1017/CBO9781107295513. ISBN. 978-1-107-05584-1.(Véase el teorema 2.25)