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Teorema de Cameron-Martin

En matemáticas , el teorema de Cameron-Martin o fórmula de Cameron-Martin (llamado así por Robert Horton Cameron y WT Martin ) es un teorema de la teoría de la medida que describe cómo la medida abstracta de Wiener cambia bajo la traslación de ciertos elementos del espacio de Hilbert de Cameron-Martin .

Motivación

La medida gaussiana estándar en el espacio euclidiano de dos dimensiones no es invariante a la traslación . (De hecho, existe una única medida de Radon invariante a la traslación hasta la escala del teorema de Haar : la medida de Lebesgue de dos dimensiones , denotada aquí ). En cambio, un subconjunto medible tiene medida gaussiana

Aquí se hace referencia al producto escalar euclidiano estándar en . La medida gaussiana de la traslación de por un vector es

Entonces, bajo la traducción a través de , la medida gaussiana se escala según la función de distribución que aparece en la última visualización:

La medida que asocia al conjunto el número es la medida de empuje hacia adelante , denotada . Aquí se refiere al mapa de traducción: . El cálculo anterior muestra que la derivada de Radon-Nikodym de la medida de empuje hacia adelante con respecto a la medida gaussiana original está dada por

La medida abstracta de Wiener en un espacio de Banach separable , donde es un espacio abstracto de Wiener , es también una "medida gaussiana" en un sentido adecuado. ¿Cómo cambia con la traslación? Resulta que se cumple una fórmula similar a la anterior si consideramos solo las traslaciones por elementos del subespacio denso .

Enunciado del teorema

Sea un espacio abstracto de Wiener con medida abstracta de Wiener . Para , defina por . Entonces es equivalente a con la derivada de Radon–Nikodym

dónde

denota la integral de Paley-Wiener .

La fórmula de Cameron-Martin es válida únicamente para traslaciones por elementos del subespacio denso , llamado espacio de Cameron-Martin , y no por elementos arbitrarios de . Si la fórmula de Cameron-Martin fuera válida para traslaciones arbitrarias, contradeciría el siguiente resultado:

Si es un espacio de Banach separable y es una medida de Borel localmente finita en que es equivalente a su propio avance bajo cualquier traslación, entonces tiene dimensión finita o es la medida trivial (cero) . (Véase medida cuasi-invariante ).

De hecho, es cuasi-invariante bajo la traslación de un elemento si y solo si . Los vectores en a veces se conocen como direcciones de Cameron-Martin .

Integración por partes

La fórmula de Cameron-Martin da lugar a una fórmula de integración por partes en : si tiene derivada de Fréchet acotada , la integración de la fórmula de Cameron-Martin con respecto a la medida de Wiener en ambos lados da

Para cualquier . Derivando formalmente con respecto a y evaluando en se obtiene la fórmula de integración por partes

La comparación con el teorema de divergencia del cálculo vectorial sugiere

donde es la constante " campo vectorial " para todo . El deseo de considerar campos vectoriales más generales y pensar en las integrales estocásticas como "divergencias" conduce al estudio de los procesos estocásticos y el cálculo de Malliavin y, en particular, el teorema de Clark-Ocone y su fórmula asociada de integración por partes.

Una aplicación

Utilizando el teorema de Cameron-Martin se puede establecer (véase Liptser y Shiryayev 1977, pág. 280) que para una matriz definida no negativa simétrica cuyos elementos son continuos y satisfacen la condición

Se cumple para un proceso de Wiener -dimensional que

donde es una matriz definida no positiva que es una solución única de la ecuación diferencial de Riccati con valores matricial

con la condición de contorno .

En el caso especial de un movimiento browniano unidimensional donde , la única solución es , y tenemos la fórmula original establecida por Cameron y Martin:

Véase también

Referencias