Teorema de Clark-Ocone

En matemáticas , el teorema de Clark-Ocone (también conocido como teorema o fórmula de Clark-Ocone-Haussmann ) es un teorema de análisis estocástico . Expresa el valor de alguna función F definida en el espacio clásico de Wiener de caminos continuos que comienzan en el origen como la suma de su valor medio y una integral de Itô con respecto a ese camino. Lleva el nombre de las contribuciones de los matemáticos JMC Clark (1970), Daniel Ocone (1984) y UG Haussmann (1978).

Declaración del teorema

Sea C ₀ ([0,  T ];  R ) (o simplemente C ₀ para abreviar) el espacio de Wiener clásico con medida de Wiener γ . Sea F  :  C ₀  →  R una función BC ^{1 , es decir,} F es acotada y Fréchet diferenciable con derivada acotada D F  :  C ₀  → Lin( C ₀ ;  R ). Entonces

${\displaystyle F(\sigma )=\int _{C_{0}}F(p)\,\mathrm {d} \gamma (p)+\int _{0}^{T}\mathbf {E} \left[\left.{\frac {\partial }{\partial t}}\nabla _{H}F(-)\right|\Sigma _{t}\right](\sigma )\,\mathrm {d} \sigma _{t}.}$

en lo anterior

• F ( σ ) es el valor de la función F en algún camino específico de interés, σ ;
• la primera integral,

${\displaystyle \int _{C_{0}}F(p)\,\mathrm {d} \gamma (p)=\mathbf {E} [F]}$

es el valor esperado de F en todo el espacio de Wiener C ₀ ;

• la segunda integral,

${\displaystyle \int _{0}^{T}\cdots \,\mathrm {d} \sigma (t)}$

es una integral de Itô ;

• Σ _{∗ es la} filtración natural del movimiento browniano B  : [0,  T ] × Ω →  R : Σ _t es la σ -álgebra más pequeña que contiene todos los B _s ⁻¹ ( A ) para tiempos 0 ≤  s  ≤  t y los conjuntos de Borel A  ⊆  R ;
• E [·|Σ _t ] denota expectativa condicional con respecto al álgebra sigma Σ _t ;
• ^∂ / _{∂t denota} diferenciación con respecto al tiempo t ; ∇ _H denota el gradiente H ; por tanto, ^∂ / _{∂ t} ∇ _H es la derivada de Malliavin .

De manera más general, la conclusión es válida para cualquier F en L ² ( C ₀ ;  R ) que sea diferenciable en el sentido de Malliavin.

Integración por partes en el espacio Wiener

El teorema de Clark-Ocone da lugar a una fórmula de integración por partes en el espacio de Wiener clásico y a escribir las integrales de Itô como divergencias :

Sea B un movimiento browniano estándar y sea L ₀ ^2,1 el espacio de Cameron-Martin para C ₀ (ver espacio abstracto de Wiener . Sea V  :  C ₀  →  L ₀ ^2,1 un campo vectorial tal que

${\displaystyle {\dot {V}}={\frac {\partial V}{\partial t}}:[0,T]\times C_{0}\to \mathbb {R} }$

está en L ² ( B ) (es decir, es Itô integrable y, por tanto, es un proceso adaptado ). Sea F  :  C ₀  →  R BC ¹ como arriba. Entonces

${\displaystyle \int _{C_{0}}\mathrm {D} F(\sigma )(V(\sigma ))\,\mathrm {d} \gamma (\sigma )=\int _{C_{0}}F(\sigma )\left(\int _{0}^{T}{\dot {V}}_{t}(\sigma )\,\mathrm {d} \sigma _{t}\right)\,\mathrm {d} \gamma (\sigma ),}$

es decir

${\displaystyle \int _{C_{0}}\left\langle \nabla _{H}F(\sigma ),V(\sigma )\right\rangle _{L_{0}^{2,1}}\,\mathrm {d} \gamma (\sigma )=-\int _{C_{0}}F(\sigma )\operatorname {div} (V)(\sigma )\,\mathrm {d} \gamma (\sigma )}$

o escribiendo las integrales sobre C ₀ como expectativas:

${\displaystyle \mathbb {E} {\big [}\langle \nabla _{H}F,V\rangle {\big ]}=-\mathbb {E} {\big [}F\operatorname {div} V{\big ]},}$

donde la "divergencia" div( V ) :  C ₀  →  R está definida por

${\displaystyle \operatorname {div} (V)(\sigma ):=-\int _{0}^{T}{\dot {V}}_{t}(\sigma )\,\mathrm {d} \sigma _{t}.}$

La interpretación de las integrales estocásticas como divergencias conduce a conceptos como la integral de Skorokhod y las herramientas del cálculo de Malliavin .

Ver también

• Teorema de representación integral para el espacio de Wiener clásico , que utiliza el teorema de Clark-Ocone en su prueba
• Integración por operador de piezas
• Cálculo de Malliavin

Referencias

• Nualart, David (2006). El cálculo de Malliavin y temas relacionados . Probabilidad y sus aplicaciones (Nueva York) (Segunda ed.). Berlín: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-28328-7.

enlaces externos

• Friz, Peter K. (10 de abril de 2005). "Una introducción al cálculo de Malliavin" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 17 de abril de 2007 . Consultado el 23 de julio de 2007 .