Significar

Término general para un valor numérico que resume un grupo de datos.

Una media es una cantidad numérica que representa el centro de una colección de números y es intermedia a los valores extremos de un conjunto de números. ^[1] Existen varios tipos de medias en matemáticas , especialmente en estadística . Cada media sirve para resumir un grupo determinado de datos , a menudo para comprender mejor el valor general ( magnitud y signo ) de un conjunto de datos determinado .

Para un conjunto de datos , la media aritmética , también conocida como "media aritmética", es una medida de tendencia central de un conjunto finito de números: específicamente, la suma de los valores dividida por el número de valores. La media aritmética de un conjunto de números x ₁ , x ₂ , ..., x _n normalmente se denota mediante una barra superior , . ^{[nota 1]} Si el conjunto de datos se basó en una serie de observaciones obtenidas mediante muestreo de una población estadística , la media aritmética es la media de la muestra ( ) para distinguirla de la media, o valor esperado , de la distribución subyacente, la población. media (denotado o ^{[nota 2]} ). ^[2] ${\displaystyle {\bar {x}}}$ ${\displaystyle {\bar {x}}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu _{x}}$

Fuera de la probabilidad y la estadística, en geometría y análisis matemático se utiliza a menudo una amplia gama de otras nociones de media ; A continuación se dan ejemplos.

Tipos de medios

Medios pitagóricos

Media aritmética (AM)

La media aritmética (o simplemente media o media muestral ) de una lista de números es la suma de todos los números dividida por la cantidad de números. De manera similar, la media de una muestra , generalmente denotada por , es la suma de los valores muestreados dividida por el número de elementos de la muestra. ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$ ${\displaystyle {\bar {x}}}$

${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1}{n}}\left(\sum _{i=1}^{n}{x_{i}}\right)={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}}$

Por ejemplo, la media aritmética de cinco valores: 4, 36, 45, 50, 75 es:

${\displaystyle {\frac {4+36+45+50+75}{5}}={\frac {210}{5}}=42.}$

Media geométrica (GM)

La media geométrica es un promedio útil para conjuntos de números positivos, que se interpretan según su producto (como es el caso de las tasas de crecimiento) y no por su suma (como es el caso de la media aritmética):

${\displaystyle {\bar {x}}=\left(\prod _{i=1}^{n}{x_{i}}\right)^{\frac {1}{n}}=\left(x_{1}x_{2}\cdots x_{n}\right)^{\frac {1}{n}}}$ ^[3]

Por ejemplo, la media geométrica de cinco valores: 4, 36, 45, 50, 75 es:

${\displaystyle (4\times 36\times 45\times 50\times 75)^{\frac {1}{5}}={\sqrt[{5}]{24\;300\;000}}=30.}$

Media armónica (HM)

La media armónica es un promedio útil para conjuntos de números que se definen en relación con alguna unidad , como en el caso de la velocidad (es decir, distancia por unidad de tiempo):

${\displaystyle {\bar {x}}=n\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}\right)^{-1}}$

Por ejemplo, la media armónica de los cinco valores: 4, 36, 45, 50, 75 es

${\displaystyle {\frac {5}{{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{36}}+{\tfrac {1}{45}}+{\tfrac {1}{50}}+{\tfrac {1}{75}}}}={\frac {5}{\;{\tfrac {1}{3}}\;}}=15.}$

Si tenemos cinco bombas que pueden vaciar un tanque de cierto tamaño en 4, 36, 45, 50 y 75 minutos respectivamente, entonces la media armónica de nos dice que estas cinco bombas diferentes, trabajando juntas, bombearán al mismo ritmo tanto como sea posible. como cinco bombas que pueden vaciar el tanque en minutos. ${\displaystyle 15}$ ${\displaystyle 15}$

Relación entre AM, GM y HM

Prueba sin palabras de la desigualdad de medias aritméticas y geométricas : es el diámetro de un círculo centrado en ; su radio es la media aritmética de y . Usando el teorema de la media geométrica , la altitud del triángulo es la media geométrica . Para cualquier relación , .
${\displaystyle PR}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle AO}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle PGR}$ ${\displaystyle GQ}$ ${\displaystyle a:b}$ ${\displaystyle AO\geq GQ}$

AM, GM y HM satisfacen estas desigualdades:

${\displaystyle \mathrm {AM} \geq \mathrm {GM} \geq \mathrm {HM} \,}$

La igualdad se cumple si todos los elementos de la muestra dada son iguales.

Ubicación estadística

Comparación de la media aritmética , la mediana y la moda de dos distribuciones asimétricas ( log-normales ).

Visualización geométrica de la moda, mediana y media de una función de densidad de probabilidad arbitraria. ^[4]

En estadística descriptiva , la media puede confundirse con la mediana , la moda o el rango medio , ya que cualquiera de ellas puede denominarse incorrectamente "promedio" (más formalmente, una medida de tendencia central ). La media de un conjunto de observaciones es la media aritmética de los valores; sin embargo, para distribuciones asimétricas , la media no es necesariamente la misma que el valor medio (mediana) o el valor más probable (moda). Por ejemplo, el ingreso medio suele estar sesgado hacia arriba por un pequeño número de personas con ingresos muy grandes, de modo que la mayoría tiene un ingreso inferior a la media. Por el contrario, el ingreso mediano es el nivel en el que la mitad de la población está por debajo y la otra mitad por encima. El ingreso modal es el ingreso más probable y favorece a un mayor número de personas con ingresos más bajos. Si bien la mediana y la moda suelen ser medidas más intuitivas para estos datos asimétricos, muchas distribuciones asimétricas, de hecho, se describen mejor por su media, incluidas las distribuciones exponencial y de Poisson .

Media de una distribución de probabilidad

La media de una distribución de probabilidad es el valor promedio aritmético a largo plazo de una variable aleatoria que tiene esa distribución. Si la variable aleatoria se denota por , entonces la media también se conoce como valor esperado de (denotado ). Para una distribución de probabilidad discreta , la media viene dada por , donde la suma se toma de todos los valores posibles de la variable aleatoria y es la función de masa de probabilidad . Para una distribución continua , la media es , donde está la función de densidad de probabilidad . ^[5] En todos los casos, incluidos aquellos en los que la distribución no es discreta ni continua, la media es la integral de Lebesgue de la variable aleatoria con respecto a su medida de probabilidad . La media no tiene por qué existir ni ser finita; para algunas distribuciones de probabilidad la media es infinita ( +∞ o −∞ ), mientras que para otras la media no está definida . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E(X)}$ ${\displaystyle \textstyle \sum xP(x)}$ ${\displaystyle P(x)}$ ${\displaystyle \textstyle \int _{-\infty }^{\infty }xf(x)\,dx}$ ${\displaystyle f(x)}$

Medios generalizados

Poder medio

La media generalizada , también conocida como media potencia o media de Hölder, es una abstracción de las medias cuadrática , aritmética, geométrica y armónica. Se define para un conjunto de n números positivos x _i por

${\displaystyle {\bar {x}}(m)=\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{m}\right)^{\frac {1}{m}}}$ ^[3]

Eligiendo distintos valores para el parámetro m se obtienen los siguientes tipos de medias:

${\displaystyle \lim _{m\to \infty }}$

máximo de ${\displaystyle x_{i}}$

${\displaystyle \lim _{m\to 2}}$

media cuadrática

${\displaystyle \lim _{m\to 1}}$

significado aritmetico

${\displaystyle \lim _{m\to 0}}$

significado geometrico

${\displaystyle \lim _{m\to -1}}$

Significado armonico

${\displaystyle \lim _{m\to -\infty }}$

mínimo de ${\displaystyle x_{i}}$

f -media

Esto se puede generalizar aún más como la media f generalizada

${\displaystyle {\bar {x}}=f^{-1}\left({{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{f\left(x_{i}\right)}}\right)}$

y nuevamente una elección adecuada de una f invertible dará

Media aritmética ponderada

La media aritmética ponderada (o promedio ponderado) se utiliza si se quieren combinar valores promedio de muestras de diferentes tamaños de la misma población:

${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}{w_{i}{\bar {x_{i}}}}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}}.}$ ^[3]

Donde y son la media y el tamaño de la muestra respectivamente. En otras aplicaciones, representan una medida de la fiabilidad de la influencia de los valores respectivos sobre la media. ${\displaystyle {\bar {x_{i}}}}$ ${\displaystyle w_{i}}$ ${\displaystyle i}$

media truncada

A veces, un conjunto de números puede contener valores atípicos (es decir, valores de datos que son mucho más bajos o mucho más altos que los demás). A menudo, los valores atípicos son datos erróneos causados ​​por artefactos . En este caso, se puede utilizar una media truncada . Implica descartar determinadas partes de los datos en el extremo superior o inferior, normalmente una cantidad igual en cada extremo, y luego tomar la media aritmética de los datos restantes. El número de valores eliminados se indica como porcentaje del número total de valores.

media intercuartil

La media intercuartil es un ejemplo específico de media truncada. Es simplemente la media aritmética después de eliminar el cuarto de valores más bajo y más alto.

${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {2}{n}}\;\sum _{i={\frac {n}{4}}+1}^{{\frac {3}{4}}n}\!\!x_{i}}$

suponiendo que los valores se hayan ordenado, es simplemente un ejemplo específico de una media ponderada para un conjunto específico de ponderaciones.

Media de una función

En algunas circunstancias, los matemáticos pueden calcular la media de un conjunto de valores infinito (o incluso incontable ). Esto puede suceder al calcular el valor medio de una función . Intuitivamente, se puede pensar que la media de una función calcula el área bajo una sección de una curva y luego la divide por la longitud de esa sección. Esto se puede hacer de forma tosca contando cuadrados en papel cuadriculado o, más precisamente, mediante integración . La fórmula de integración se escribe como: ${\displaystyle y_{\text{avg}}}$ ${\displaystyle f(x)}$

${\displaystyle y_{\text{avg}}(a,b)={\frac {1}{b-a}}\int \limits _{a}^{b}\!f(x)\,dx}$

En este caso, se debe tener cuidado para asegurarse de que la integral converja. Pero la media puede ser finita incluso si la función misma tiende al infinito en algunos puntos.

Media de ángulos y cantidades cíclicas.

Los ángulos , las horas del día y otras cantidades cíclicas requieren aritmética modular para sumar y combinar números. En todas estas situaciones no habrá un único medio. Por ejemplo, las horas antes y después de la medianoche son equidistantes tanto de la medianoche como del mediodía. También es posible que no exista ningún medio. Consideremos una rueda de colores : no existe un término medio para el conjunto de todos los colores. En estas situaciones, debes decidir qué medio es más útil. Puede hacerlo ajustando los valores antes de promediar o utilizando un enfoque especializado para la media de cantidades circulares .

Fréchet significa

La media de Fréchet proporciona una manera de determinar el "centro" de una distribución de masa en una superficie o, más generalmente, en una variedad de Riemann . A diferencia de muchas otras medias, la media de Fréchet se define en un espacio cuyos elementos no necesariamente pueden sumarse ni multiplicarse por escalares. A veces también se la conoce como media de Karcher (llamada así en honor a Hermann Karcher).

Conjuntos triangulares

En geometría, existen miles de definiciones diferentes para el centro de un triángulo y todas pueden interpretarse como la media de un conjunto triangular de puntos en el plano. ^{[ cita necesaria ]}

La regla de Swanson

Esta es una aproximación a la media para una distribución moderadamente asimétrica. ^[6] Se utiliza en la exploración de hidrocarburos y se define como:

${\displaystyle m=0.3P_{10}+0.4P_{50}+0.3P_{90}}$

donde , y son los percentiles 10, 50 y 90 de la distribución, respectivamente. ${\textstyle P_{10}}$ ${\textstyle P_{50}}$ ${\textstyle P_{90}}$

Otros medios

• Media aritmético-geométrica
• Media aritmético-armónica
• Cesaro significa
• Chisini significa
• media contraarmónica
• Media simétrica elemental
• Media geométrico-armónica
• gran media
• Heinz significa
• media heroniana
• media idéntica
• Lehmer significa
• media logarítmica
• Media móvil
• Media de Neuman-Sándor
• Media cuasi aritmética
• Media cuadrática (media cuadrática)
• Entropía de Rényi (una f-media generalizada )
• media esférica
• media estolar
• Media geométrica ponderada
• Media armónica ponderada

Ver también

• Portal de matemáticas

• Tendencia central
  • Mediana
  • Modo
• Estadísticas descriptivas
• Curtosis
• ley de promedios
• Teorema del valor medio
• Momento (matemáticas)
• Resumen estadístico
• ley de taylor

Notas

1. Se pronuncia " x barra".
2. Letra griega μ , para "mala", pronunciada /'mjuː/.

Referencias

1. "Media | Definición, fórmula y hechos | Britannica". www.britannica.com . 2023-09-22 . Consultado el 27 de octubre de 2023 .
2. Bajo colina, LG; Bradfield d. (1998) Introstat , Juta and Company Ltd. ISBN 0-7021-3838-X p. 181 
3. "Medio | matemáticas". Enciclopedia Británica . Consultado el 21 de agosto de 2020 .
4. "Revisión de estadísticas AP: curvas de densidad y distribuciones normales". Archivado desde el original el 2 de abril de 2015 . Consultado el 16 de marzo de 2015 .
5. Weisstein, Eric W. "Media poblacional". mathworld.wolfram.com . Consultado el 21 de agosto de 2020 .
6. Hurst A, Brown GC, Swanson RI (2000) Regla 30-40-30 de Swanson. Boletín 84(12) de la Asociación Estadounidense de Geólogos del Petróleo, 1883-1891