Significado armonico

Inverso del promedio de los inversos de un conjunto de números

En matemáticas , la media armónica es uno de varios tipos de media y, en particular, una de las medias pitagóricas . A veces es apropiado para situaciones en las que se desea la tarifa promedio . ^[1]

La media armónica se puede expresar como el recíproco de la media aritmética de los recíprocos del conjunto dado de observaciones. Como ejemplo simple, la media armónica de 1, 4 y 4 es

${\displaystyle \left({\frac {1^{-1}+4^{-1}+4^{-1}}{3}}\right)^{-1}={\frac {3}{{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}}}={\frac {3}{1.5}}=2\,.}$

Definición

La media armónica H de los números reales positivos se define como ^[2] ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$

${\displaystyle H(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})={\frac {n}{\displaystyle {\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}}}={\frac {n}{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}}}.}$

Es el recíproco de la media aritmética de los recíprocos, y viceversa:

${\displaystyle {\begin{aligned}H(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})&={\frac {1}{\displaystyle A\left({\frac {1}{x_{1}}},{\frac {1}{x_{2}}},\ldots {\frac {1}{x_{n}}}\right)}},\\[10mu]A(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})&={\frac {1}{\displaystyle H\left({\frac {1}{x_{1}}},{\frac {1}{x_{2}}},\ldots {\frac {1}{x_{n}}}\right)}},\end{aligned}}}$

donde la media aritmética se define como ${\textstyle A(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})={\tfrac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}.}$

La media armónica es una función cóncava de Schur y está dominada por el mínimo de sus argumentos, en el sentido de que para cualquier conjunto positivo de argumentos, . Por lo tanto, la media armónica no puede hacerse arbitrariamente grande cambiando algunos valores por otros más grandes (mientras se mantiene al menos un valor sin cambios). ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle \min(x_{1}\ldots x_{n})\leq H(x_{1}\ldots x_{n})\leq n\min(x_{1}\ldots x_{n})}$

La media armónica también es cóncava , que es una propiedad aún más fuerte que la concavidad de Schur. Sin embargo, hay que tener cuidado de utilizar sólo números positivos, ya que la media no llega a ser cóncava si se utilizan valores negativos. ^{[ cita necesaria ]}

Relación con otros medios

Prueba geométrica sin palabras de que max  ( a , b ) > media cuadrática ( RMS ) o media cuadrática ( QM ) > media aritmética ( AM ) > media geométrica ( GM ) > media armónica ( HM ) > min  ( a , b ) de dos números positivos distintos a y b ^{[nota 1]}

La media armónica es una de las tres medias pitagóricas . Para todos los conjuntos de datos positivos que contienen al menos un par de valores no iguales , la media armónica es siempre la menor de las tres medias, ^[3] mientras que la media aritmética es siempre la mayor de las tres y la media geométrica siempre está en el medio. (Si todos los valores en un conjunto de datos no vacío son iguales, las tres medias siempre son iguales entre sí; por ejemplo, las medias armónicas, geométricas y aritméticas de {2, 2, 2} son todas 2.)

Es el caso especial M ₋₁ de la potencia media :

$${\displaystyle H\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)=M_{-1}\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)={\frac {n}{x_{1}^{-1}+x_{2}^{-1}+\cdots +x_{n}^{-1}}}}$$

Dado que la media armónica de una lista de números tiende fuertemente hacia los elementos menores de la lista, tiende (en comparación con la media aritmética) a mitigar el impacto de los valores atípicos grandes y agravar el impacto de los pequeños.

La media aritmética a menudo se utiliza erróneamente en lugares que requieren la media armónica. ^[4] En el siguiente ejemplo de velocidad, por ejemplo, la media aritmética de 40 es incorrecta y demasiado grande.

La media armónica está relacionada con las otras medias pitagóricas, como se ve en la siguiente ecuación. Esto se puede ver interpretando que el denominador es la media aritmética del producto de números n veces, pero cada vez omitiendo el j -ésimo término. Es decir, para el primer término, multiplicamos todos los n números excepto el primero; para el segundo, multiplicamos todos los n números excepto el segundo; etcétera. El numerador, excluyendo el n , que va con la media aritmética, es la media geométrica elevada a la potencia  n . Por lo tanto, la n -ésima media armónica está relacionada con la n -ésima media geométrica y aritmética. La fórmula general es

$${\displaystyle H\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)={\frac {\left(G\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)\right)^{n}}{A\left(x_{2}x_{3}\cdots x_{n},x_{1}x_{3}\cdots x_{n},\ldots ,x_{1}x_{2}\cdots x_{n-1}\right)}}={\frac {\left(G\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)\right)^{n}}{A\left({\frac {1}{x_{1}}}{\prod \limits _{i=1}^{n}x_{i}},{\frac {1}{x_{2}}}{\prod \limits _{i=1}^{n}x_{i}},\ldots ,{\frac {1}{x_{n}}}{\prod \limits _{i=1}^{n}x_{i}}\right)}}.}$$

Si un conjunto de números no idénticos se somete a una dispersión que preserva la media (es decir, dos o más elementos del conjunto se "separan" entre sí dejando la media aritmética sin cambios), entonces la media armónica siempre disminuye. ^[5]

Media armónica de dos o tres números.

dos numeros

Una construcción geométrica de las tres medias pitagóricas de dos números, a y b . La media armónica se denota por H en violeta, mientras que la media aritmética es A en rojo y la media geométrica es G en azul. Q denota una cuarta media, la media cuadrática . Como una hipotenusa siempre es más larga que un cateto de un triángulo rectángulo , el diagrama muestra que Q > A > G > H.

Para el caso especial de sólo dos números, y , la media armónica se puede escribir ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$

${\displaystyle H={\frac {2x_{1}x_{2}}{x_{1}+x_{2}}}\qquad }$ o ${\displaystyle \qquad {\frac {1}{H}}={\frac {(1/x_{1})+(1/x_{2})}{2}}.}$

En este caso especial, la media armónica está relacionada con la media aritmética y la media geométrica por ${\displaystyle A={\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}}$ ${\displaystyle G={\sqrt {x_{1}x_{2}}},}$

${\displaystyle H={\frac {G^{2}}{A}}=G\left({\frac {G}{A}}\right).}$

Ya que por la desigualdad de medias aritméticas y geométricas , esto muestra para el caso n = 2 que H ≤ G (propiedad que de hecho se cumple para todos los n ). También se deduce que , es decir, la media geométrica de los dos números es igual a la media geométrica de sus medias aritméticas y armónicas. ${\displaystyle {\tfrac {G}{A}}\leq 1}$ ${\displaystyle G={\sqrt {AH}}}$

tres numeros

Para el caso especial de tres números, y , la media armónica se puede escribir ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle x_{3}}$

${\displaystyle H={\frac {3x_{1}x_{2}x_{3}}{x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}}}.}$

Tres números positivos H , G y A son respectivamente las medias armónica, geométrica y aritmética de tres números positivos si y solo si ^{[6] : p.74, #1834} se cumple la siguiente desigualdad

${\displaystyle {\frac {A^{3}}{G^{3}}}+{\frac {G^{3}}{H^{3}}}+1\leq {\frac {3}{4}}\left(1+{\frac {A}{H}}\right)^{2}.}$

Media armónica ponderada

Si un conjunto de pesos ,..., está asociado al conjunto de datos ,...,, la media armónica ponderada se define por ^[7] ${\displaystyle w_{1}}$ ${\displaystyle w_{n}}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{n}}$

${\displaystyle H={\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}w_{i}}{\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {w_{i}}{x_{i}}}}}=\left({\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{-1}}{\sum \limits _{i=1}^{n}w_{i}}}\right)^{-1}.}$

La media armónica no ponderada puede considerarse como el caso especial en el que todos los pesos son iguales.

Ejemplos

En física

Velocidad media

En muchas situaciones que involucran tasas y proporciones , la media armónica proporciona el promedio correcto . Por ejemplo, si un vehículo recorre una cierta distancia d hacia afuera a una velocidad x (por ejemplo, 60 km/h) y regresa la misma distancia a una velocidad y (por ejemplo, 20 km/h), entonces su velocidad promedio es la media armónica de x y y (30 km/h), no la media aritmética (40 km/h). El tiempo total de viaje es el mismo que si hubiera recorrido toda la distancia a esa velocidad promedio. Esto se puede probar de la siguiente manera: ^[8]

Velocidad media para todo el viaje =Distancia total recorrida/Suma de tiempo para cada segmento.=2 días/d/X+d/y=2/1/X+1/y

Sin embargo, si el vehículo viaja durante un cierto período de tiempo a una velocidad x y luego el mismo período de tiempo a una velocidad y , entonces su velocidad promedio es la media aritmética de x e y , que en el ejemplo anterior es 40 km/ h.

Velocidad media para todo el viaje =Distancia total recorrida/Suma de tiempo para cada segmento.=xt+yt/2 toneladas=x+y/2

El mismo principio se aplica a más de dos segmentos: dada una serie de subviajes a diferentes velocidades, si cada subviaje cubre la misma distancia , entonces la velocidad promedio es la media armónica de todas las velocidades de los subviajes; y si cada subviaje toma la misma cantidad de tiempo , entonces la velocidad promedio es la media aritmética de todas las velocidades de los subviajes. (Si ninguno de los dos es el caso, entonces se necesita una media armónica ponderada o una media aritmética ponderada . Para la media aritmética, la velocidad de cada parte del viaje se pondera por la duración de esa parte, mientras que para la media armónica, la ponderación correspondiente es la distancia. En ambos casos, la fórmula resultante se reduce a dividir la distancia total por el tiempo total).

Sin embargo, se puede evitar el uso de la media armónica para el caso de "ponderación por distancia". Plantee el problema como encontrar la "lentitud" del viaje, donde la "lentitud" (en horas por kilómetro) es la inversa de la velocidad. Cuando se encuentre la lentitud del viaje, inviértala para encontrar la velocidad de viaje promedio "verdadera". Para cada segmento de viaje i, la lentitud s _i = 1/velocidad _i . Luego tome la media aritmética ponderada de los s _i ponderados por sus respectivas distancias (opcionalmente con los pesos normalizados para que sumen 1 dividiéndolos por la duración del viaje). Esto da la lentitud media real (en tiempo por kilómetro). Resulta que este procedimiento, que puede realizarse sin conocimiento de la media armónica, equivale a las mismas operaciones matemáticas que se utilizarían para resolver este problema utilizando la media armónica. Esto ilustra por qué la media armónica funciona en este caso.

Densidad

De manera similar, si se desea estimar la densidad de una aleación dadas las densidades de sus elementos constituyentes y sus fracciones de masa (o, equivalentemente, porcentajes en masa), entonces la densidad predicha de la aleación (excluyendo cambios de volumen típicamente menores debidos a la acción atómica) efectos de empaquetamiento) es la media armónica ponderada de las densidades individuales, ponderada por masa, en lugar de la media aritmética ponderada como se podría esperar en un principio. Para utilizar la media aritmética ponderada, las densidades tendrían que ponderarse por volumen. Esto queda claro al aplicar el análisis dimensional al problema mientras se etiquetan las unidades de masa por elemento y se asegura de que solo se cancelen las masas de elementos similares.

Electricidad

Si se conectan dos resistencias eléctricas en paralelo, una con resistencia x (por ejemplo, 60  Ω ) y otra con resistencia y (por ejemplo, 40 Ω), entonces el efecto es el mismo que si se hubieran usado dos resistencias con la misma resistencia, ambas igual a la media armónica de xey ( 48 Ω): la resistencia equivalente, en cualquier caso, es 24 Ω (la mitad de la media armónica) . Este mismo principio se aplica a los condensadores en serie o a los inductores en paralelo.

Sin embargo, si uno conecta las resistencias en serie, entonces la resistencia promedio es la media aritmética de xey ( 50 Ω), con una resistencia total igual al doble, la suma de xey ( 100 Ω). Este principio se aplica a condensadores en paralelo o a inductores en serie.

Al igual que en el ejemplo anterior, se aplica el mismo principio cuando se conectan más de dos resistencias, condensadores o inductores, siempre que todos estén en paralelo o en serie.

La "masa efectiva de conductividad" de un semiconductor también se define como la media armónica de las masas efectivas a lo largo de las tres direcciones cristalográficas. ^[9]

Óptica

En cuanto a otras ecuaciones ópticas , la ecuación de la lente delgada 1/F=1/tu+1/vse puede reescribir de modo que la distancia focal f sea la mitad de la media armónica de las distancias del sujeto u y el objeto v desde la lente. ^[10]

Dos lentes delgadas de distancia focal f ₁ y f ₂ en serie equivalen a dos lentes delgadas de distancia focal f _hm , su media armónica, en serie. Expresado como potencia óptica , dos lentes delgadas de potencias ópticas P ₁ y P ₂ en serie equivalen a dos lentes delgadas de potencia óptica P _am , su media aritmética, en serie.

En finanzas

La media armónica ponderada es el método preferible para promediar múltiplos, como la relación precio-beneficio (P/E). Si estas proporciones se promedian utilizando una media aritmética ponderada, los puntos de datos altos reciben mayor peso que los puntos de datos bajos. La media armónica ponderada, por otro lado, pondera correctamente cada punto de datos. ^[11] La media aritmética ponderada simple, cuando se aplica a ratios no normalizados de precios, como el P/E, está sesgada hacia arriba y no puede justificarse numéricamente, ya que se basa en ganancias igualadas; al igual que las velocidades de los vehículos no se pueden promediar para un viaje de ida y vuelta (ver arriba). ^[12]

Por ejemplo, consideremos dos empresas, una con una capitalización de mercado de 150 mil millones de dólares y ganancias de 5 mil millones de dólares (P/E de 30) y otra con una capitalización de mercado de 1 mil millones de dólares y ganancias de 1 millón de dólares (P/E de 1000). Considere un índice compuesto por dos acciones, con un 30% invertido en la primera y un 70% en la segunda. Queremos calcular la relación P/E de este índice.

Usando la media aritmética ponderada (incorrecta):

${\displaystyle P/E=0.3\times 30+0.7\times 1000=709}$

Usando la media armónica ponderada (correcta):

${\displaystyle P/E={\frac {0.3+0.7}{0.3/30+0.7/1000}}\approx 93.46}$

Por lo tanto, el P/E correcto de 93,46 de este índice sólo se puede encontrar utilizando la media armónica ponderada, mientras que la media aritmética ponderada lo sobreestimará significativamente.

En geometría

En cualquier triángulo , el radio de la circunferencia es un tercio de la media armónica de las altitudes .

Para cualquier punto P en el arco menor BC de la circunferencia circunscrita de un triángulo equilátero ABC, con distancias q y t de B y C respectivamente, y con la intersección de PA y BC a una distancia y del punto P, tenemos que y es la mitad de la media armónica de q y t . ^[13]

En un triángulo rectángulo con catetos a y b y altura h desde la hipotenusa hasta el ángulo recto, h² es la mitad de la media armónica de a² y b² . ^{[14] [15]}

Sean t y s ( t > s ) los lados de los dos cuadrados inscritos en un triángulo rectángulo con hipotenusa c . Entonces s² es igual a la mitad de la media armónica de c² y t² .

Sea un trapezoide que tenga los vértices A, B, C y D en secuencia y que tenga lados paralelos AB y CD. Sea E la intersección de las diagonales , y sea F del lado DA y G del lado BC de modo que FEG sea paralela a AB y CD. Entonces FG es la media armónica de AB y DC. (Esto se puede demostrar usando triángulos similares).

Escaleras cruzadas. h es la mitad de la media armónica de A y B

Una aplicación de este resultado trapezoidal es el problema de las escaleras cruzadas , donde dos escaleras se encuentran en sentido opuesto a lo largo de un callejón, cada una con pies en la base de una pared lateral, una apoyada contra una pared en la altura A y la otra apoyada contra la pared opuesta en altura B , como se muestra. Las escaleras se cruzan a una altura h sobre el suelo del callejón. Entonces h es la mitad de la media armónica de A y B. Este resultado sigue siendo válido si las paredes están inclinadas pero siguen siendo paralelas y las "alturas" A , B y h se miden como distancias desde el suelo a lo largo de líneas paralelas a las paredes. Esto se puede demostrar fácilmente utilizando la fórmula del área de un trapezoide y la fórmula de suma de áreas.

En una elipse , el recto semi-latus (la distancia de un foco a la elipse a lo largo de una línea paralela al eje menor) es la media armónica de las distancias máxima y mínima de la elipse a un foco.

en otras ciencias

En informática , específicamente en recuperación de información y aprendizaje automático , la media armónica de la precisión (verdaderos positivos por positivo predicho) y la recuperación (verdaderos positivos por positivo real) se utiliza a menudo como una puntuación de rendimiento agregada para la evaluación de algoritmos y sistemas: la puntuación F (o medida F). Esto se utiliza en la recuperación de información porque solo la clase positiva es relevante , mientras que el número de negativos, en general, es grande y desconocido. ^[16] Por lo tanto, es una cuestión de si las predicciones positivas correctas deben medirse en relación con el número de positivos predichos o el número de positivos reales, por lo que se mide frente a un número putativo de positivos que es una media aritmética. de los dos posibles denominadores.

Una consecuencia surge del álgebra básica en problemas en los que personas o sistemas trabajan juntos. Por ejemplo, si una bomba de gas puede drenar una piscina en 4 horas y una bomba de batería puede drenar la misma piscina en 6 horas, entonces se necesitarán ambas bombas.6·4/6 + 4, lo que equivale a 2,4 horas, para vaciar la piscina juntos. Esta es la mitad de la media armónica de 6 y 4:2·6·4/6 + 4= 4,8 . Es decir, el promedio apropiado para los dos tipos de bombas es la media armónica, y con un par de bombas (dos bombas), se necesita la mitad de este tiempo medio armónico, mientras que con dos pares de bombas (cuatro bombas) se necesitaría un cuarta parte de este tiempo medio armónico.

En hidrología , la media armónica se usa de manera similar para promediar los valores de conductividad hidráulica para un flujo que es perpendicular a las capas (por ejemplo, geológico o del suelo); el flujo paralelo a las capas usa la media aritmética. Esta aparente diferencia en el promedio se explica por el hecho de que la hidrología utiliza la conductividad, que es la inversa de la resistividad.

En sabermetría , el número de potencia-velocidad de un jugador de béisbol es la media armónica de sus totales de jonrones y bases robadas .

En genética de poblaciones , la media armónica se utiliza al calcular los efectos de las fluctuaciones en el tamaño de la población censal sobre el tamaño efectivo de la población. La media armónica tiene en cuenta el hecho de que eventos como el cuello de botella de la población aumentan la tasa de deriva genética y reducen la cantidad de variación genética en la población. Esto es el resultado del hecho de que después de un cuello de botella, muy pocos individuos contribuyen al acervo genético, lo que limita la variación genética presente en la población durante muchas generaciones venideras.

Al considerar la economía de combustible en los automóviles se utilizan comúnmente dos medidas: millas por galón (mpg) y litros por 100 km. Como las dimensiones de estas cantidades son inversas entre sí (una es distancia por volumen, la otra volumen por distancia), al tomar el valor medio del consumo de combustible de una variedad de automóviles, una medida producirá la media armónica de la otra: es decir, convertir el valor medio de economía de combustible expresado en litros por 100 km a millas por galón producirá la media armónica de la economía de combustible expresada en millas por galón. Para calcular el consumo promedio de combustible de una flota de vehículos a partir de los consumos de combustible individuales, se debe usar la media armónica si la flota usa millas por galón, mientras que se debe usar la media aritmética si la flota usa litros por 100 km. En los EE.UU., las normas CAFE (las normas federales de consumo de combustible para automóviles) utilizan la media armónica.

En química y física nuclear, la masa promedio por partícula de una mezcla que consta de diferentes especies (por ejemplo, moléculas o isótopos) viene dada por la media armónica de las masas de las especies individuales ponderadas por su respectiva fracción de masa.

Distribución beta

Media armónica de la distribución Beta para 0 < α < 5 y 0 < β < 5

(Media - Media Armónica) para la distribución Beta frente a alfa y beta de 0 a 2

Medios armónicos para la distribución Beta Púrpura=H(X), Amarillo=H(1-X), valores más pequeños alfa y beta al frente

Medios armónicos para la distribución Beta Púrpura=H(X), Amarillo=H(1-X), valores más grandes alfa y beta al frente

La media armónica de una distribución beta con parámetros de forma α y β es:

${\displaystyle H={\frac {\alpha -1}{\alpha +\beta -1}}{\text{ conditional on }}\alpha >1\,\,\&\,\,\beta >0}$

La media armónica con α < 1 no está definida porque su expresión definitoria no está acotada en [0, 1].

Dejando α = β

${\displaystyle H={\frac {\alpha -1}{2\alpha -1}}}$

mostrando que para α = β la media armónica varía de 0 para α = β = 1, a 1/2 para α = β → ∞.

Los siguientes son los límites con un parámetro finito (distinto de cero) y el otro parámetro acercándose a estos límites:

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{\alpha \to 0}H&={\text{ undefined }}\\\lim _{\alpha \to 1}H&=\lim _{\beta \to \infty }H=0\\\lim _{\beta \to 0}H&=\lim _{\alpha \to \infty }H=1\end{aligned}}}$

Con la media geométrica, la media armónica puede ser útil en la estimación de máxima verosimilitud en el caso de cuatro parámetros.

También existe una segunda media armónica ( H _{1 − X ) para esta distribución.}

${\displaystyle H_{1-X}={\frac {\beta -1}{\alpha +\beta -1}}{\text{ conditional on }}\beta >1\,\,\&\,\,\alpha >0}$

Esta media armónica con β <1 no está definida porque su expresión definitoria no está acotada en [0, 1].

Dejando α = β en la expresión anterior

${\displaystyle H_{1-X}={\frac {\beta -1}{2\beta -1}}}$

mostrando que para α = β la media armónica varía de 0, para α = β = 1, a 1/2, para α = β → ∞.

Los siguientes son los límites con un parámetro finito (distinto de cero) y el otro acercándose a estos límites:

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{\beta \to 0}H_{1-X}&={\text{ undefined }}\\\lim _{\beta \to 1}H_{1-X}&=\lim _{\alpha \to \infty }H_{1-X}=0\\\lim _{\alpha \to 0}H_{1-X}&=\lim _{\beta \to \infty }H_{1-X}=1\end{aligned}}}$

Aunque ambas medias armónicas son asimétricas, cuando α = β las dos medias son iguales.

Distribución lognormal

La media armónica ( H ) de la distribución lognormal de una variable aleatoria X es ^[17]

${\displaystyle H=\exp \left(\mu -{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\right),}$

donde μ y σ ² son los parámetros de la distribución, es decir , la media y la varianza de la distribución del logaritmo natural de X.

Las medias armónicas y aritméticas de la distribución están relacionadas por

${\displaystyle {\frac {\mu ^{*}}{H}}=1+C_{v}^{2}\,,}$

donde C _v y μ ^* son el coeficiente de variación y la media de la distribución respectivamente.

Las medias geométrica ( G ), aritmética y armónica de la distribución están relacionadas por ^[18]

${\displaystyle H\mu ^{*}=G^{2}.}$

distribución de Pareto

La media armónica de la distribución de Pareto tipo 1 es ^[19]

${\displaystyle H=k\left(1+{\frac {1}{\alpha }}\right)}$

donde k es el parámetro de escala y α es el parámetro de forma.

Estadísticas

Para una muestra aleatoria, la media armónica se calcula como se indica arriba. Tanto la media como la varianza pueden ser infinitas (si incluye al menos un término de la forma 1/0).

Distribuciones muestrales de media y varianza.

La media de la muestra m se distribuye asintóticamente normalmente con varianza s ² .

${\displaystyle s^{2}={\frac {m\left[\operatorname {E} \left({\frac {1}{x}}-1\right)\right]}{m^{2}n}}}$

La varianza de la media misma es ^[20]

${\displaystyle \operatorname {Var} \left({\frac {1}{x}}\right)={\frac {m\left[\operatorname {E} \left({\frac {1}{x}}-1\right)\right]}{nm^{2}}}}$

donde m es la media aritmética de los recíprocos, x son las variables, n es el tamaño de la población y E es el operador de expectativa.

método delta

Suponiendo que la varianza no es infinita y que el teorema del límite central se aplica a la muestra y luego usando el método delta , la varianza es

${\displaystyle \operatorname {Var} (H)={\frac {1}{n}}{\frac {s^{2}}{m^{4}}}}$

donde H es la media armónica, m es la media aritmética de los recíprocos

${\displaystyle m={\frac {1}{n}}\sum {\frac {1}{x}}.}$

s ² es la varianza de los recíprocos de los datos

${\displaystyle s^{2}=\operatorname {Var} \left({\frac {1}{x}}\right)}$

y n es el número de puntos de datos en la muestra.

Método jackknife

Es posible utilizar un método jackknife para estimar la varianza si se conoce la media. ^[21] Este método es la versión habitual 'eliminar 1' en lugar de la versión 'eliminar m'.

Este método requiere primero el cálculo de la media de la muestra ( m )

${\displaystyle m={\frac {n}{\sum {\frac {1}{x}}}}}$

donde x son los valores de la muestra.

Luego se calcula una serie de valores w _{i donde}

${\displaystyle w_{i}={\frac {n-1}{\sum _{j\neq i}{\frac {1}{x}}}}.}$

Luego se toma la media ( h ) de _wi :

${\displaystyle h={\frac {1}{n}}\sum {w_{i}}}$

La varianza de la media es

${\displaystyle {\frac {n-1}{n}}\sum {(m-w_{i})}^{2}.}$

Luego se pueden estimar las pruebas de significancia y los intervalos de confianza para la media con la prueba t .

Muestreo sesgado por tamaño

Supongamos que una variable aleatoria tiene una distribución f ( x ). Supongamos también que la probabilidad de que se elija una variable es proporcional a su valor. Esto se conoce como muestreo basado en la longitud o sesgado por el tamaño.

Sea μ la media de la población. Entonces la función de densidad de probabilidad f *( x ) de la población sesgada por tamaño es

${\displaystyle f^{*}(x)={\frac {xf(x)}{\mu }}}$

La expectativa de esta distribución sesgada por longitud E ^* ( x ) es ^[20]

${\displaystyle \operatorname {E} ^{*}(x)=\mu \left[1+{\frac {\sigma ^{2}}{\mu ^{2}}}\right]}$

donde σ ² es la varianza.

La expectativa de la media armónica es la misma que la versión sin sesgo de longitud E ( x )

${\displaystyle E^{*}(x^{-1})=E(x)^{-1}}$

El problema del muestreo sesgado por longitud surge en varias áreas, incluida la fabricación textil ^[22], el análisis de pedigrí ^[23] y el análisis de supervivencia ^[24].

Akman et al. han desarrollado una prueba para la detección de sesgos basados ​​en la longitud en muestras. ^[25]

variables desplazadas

Si X es una variable aleatoria positiva y q > 0, entonces para todo ε > 0 ^[26]

${\displaystyle \operatorname {Var} \left[{\frac {1}{(X+\epsilon )^{q}}}\right]<\operatorname {Var} \left({\frac {1}{X^{q}}}\right).}$

Momentos

Suponiendo que X y E( X ) son > 0, entonces ^[26]

${\displaystyle \operatorname {E} \left[{\frac {1}{X}}\right]\geq {\frac {1}{\operatorname {E} (X)}}}$

Esto se desprende de la desigualdad de Jensen .

Gurland ha demostrado que ^[27] para una distribución que toma sólo valores positivos, para cualquier n > 0

${\displaystyle \operatorname {E} \left(X^{-1}\right)\geq {\frac {\operatorname {E} \left(X^{n-1}\right)}{\operatorname {E} \left(X^{n}\right)}}.}$

Bajo algunas condiciones ^[28]

${\displaystyle \operatorname {E} (a+X)^{-n}\sim \operatorname {E} \left(a+X^{-n}\right)}$

donde ~ significa aproximadamente igual a.

Propiedades de muestreo

Suponiendo que las variables ( x ) se extraen de una distribución lognormal, existen varios estimadores posibles para H :

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{1}&={\frac {n}{\sum \left({\frac {1}{x}}\right)}}\\H_{2}&={\frac {\left(\exp \left[{\frac {1}{n}}\sum \log _{e}(x)\right]\right)^{2}}{{\frac {1}{n}}\sum (x)}}\\H_{3}&=\exp \left(m-{\frac {1}{2}}s^{2}\right)\end{aligned}}}$

dónde

${\displaystyle m={\frac {1}{n}}\sum \log _{e}(x)}$

${\displaystyle s^{2}={\frac {1}{n}}\sum \left(\log _{e}(x)-m\right)^{2}}$

De estos, H ₃ es probablemente el mejor estimador para muestras de 25 o más. ^[29]

Estimadores de sesgo y varianza

Una aproximación de primer orden al sesgo y la varianza de H ₁ es ^[30]

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {bias} \left[H_{1}\right]&={\frac {HC_{v}}{n}}\\\operatorname {Var} \left[H_{1}\right]&={\frac {H^{2}C_{v}}{n}}\end{aligned}}}$

donde C _v es el coeficiente de variación.

De manera similar, una aproximación de primer orden al sesgo y la varianza de H ₃ es ^[30]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {H\log _{e}\left(1+C_{v}\right)}{2n}}\left[1+{\frac {1+C_{v}^{2}}{2}}\right]\\{\frac {H\log _{e}\left(1+C_{v}\right)}{n}}\left[1+{\frac {1+C_{v}^{2}}{4}}\right]\end{aligned}}}$

En experimentos numéricos, H ₃ es generalmente un estimador superior de la media armónica que H ₁ . ^[30] H ₂ produce estimaciones que son muy similares a H ₁ .

Notas

La Agencia de Protección Ambiental recomienda el uso de la media armónica para establecer niveles máximos de toxinas en el agua. ^[31]

En los estudios de ingeniería de yacimientos geofísicos , la media armónica se utiliza ampliamente. ^[32]

Ver también

• Portal de matemáticas

• media contraarmónica
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Notas

1. Si AC = a y BC = b . OC = AM de a y b , y radio r = QO = OG.
   Usando el teorema de Pitágoras , QC² = QO² + OC² ∴ QC = √ QO² + OC² = QM .
   Usando el teorema de Pitágoras, OC² = OG² + GC² ∴ GC = √ OC² − OG² = GM .
   Usando triángulos semejantes ,HC/GC=GC/jefe∴ HC =GC²/jefe= HM .

Referencias

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enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Media armónica". MundoMatemático .
• Promedios, medias aritméticas y armónicas al cortar el nudo