Desigualdad AM-GM

La media aritmética es mayor o igual que la media geométrica.

Prueba sin palabras de la desigualdad AM-GM:
PR es el diámetro de un círculo centrado en O; su radio AO es la media aritmética de a y b . Usando el teorema de la media geométrica , la altitud GQ del triángulo PGR es la media geométrica . Para cualquier relación a : b , AO ≥ GQ.

Prueba visual de que ( x + y ) ² ≥ 4 xy . Al tomar raíces cuadradas y dividir por dos se obtiene la desigualdad AM-GM. ^[1]

En matemáticas , la desigualdad de medias aritméticas y geométricas , o más brevemente la desigualdad AM-GM , establece que la media aritmética de una lista de números reales no negativos es mayor o igual a la media geométrica de la misma lista; y además, que las dos medias son iguales si y sólo si todos los números de la lista son iguales (en cuyo caso ambos son ese número).

El caso no trivial más simple, es decir, con más de una variable, para dos números no negativos x e  y , es la afirmación de que

${\displaystyle {\frac {x+y}{2}}\geq {\sqrt {xy}}}$

con igualdad si y sólo si x = y . Este caso se puede ver por el hecho de que el cuadrado de un número real es siempre no negativo (mayor o igual a cero) y por el caso elemental ( a ± b ) ² = a ² ± 2 ab + b ² del fórmula binomial :

${\displaystyle {\begin{aligned}0&\leq (x-y)^{2}\\&=x^{2}-2xy+y^{2}\\&=x^{2}+2xy+y^{2}-4xy\\&=(x+y)^{2}-4xy.\end{aligned}}}$

Por lo tanto ( x + y ) ² ≥ 4 xy , con igualdad precisamente cuando ( x − y ) ² = 0 , es decir, x = y . La desigualdad AM-GM se obtiene entonces al tomar la raíz cuadrada positiva de ambos lados y luego dividir ambos lados por 2 .

Para una interpretación geométrica, considere un rectángulo con lados de longitud  xey ,  por lo tanto , tiene perímetro 2 x + 2 y y área  xy . De manera similar, un cuadrado con todos los lados de longitud √ xy tiene el perímetro 4 √ xy y la misma área que el rectángulo. El caso no trivial más simple de la desigualdad AM-GM implica para los perímetros que 2 x + 2 y ≥ 4 √ xy y que solo el cuadrado tiene el perímetro más pequeño entre todos los rectángulos de igual área.

El caso más simple está implícito en los Elementos de Euclides , Libro 5, Proposición 25. ^[2]

Se encuentran disponibles extensiones de la desigualdad AM-GM para incluir ponderaciones o medias generalizadas .

Fondo

La media aritmética , o menos precisamente el promedio , de una lista de n números x ₁ , x ₂ ,. . . , x _n es la suma de los números dividida por  n :

${\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}.}$

La media geométrica es similar, excepto que solo se define para una lista de números reales no negativos y usa multiplicación y una raíz en lugar de suma y división:

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdots x_{n}}}.}$

Si x ₁ , x ₂ , . . . , x _n > 0 , este es igual al exponencial de la media aritmética de los logaritmos naturales de los números:

${\displaystyle \exp \left({\frac {\ln {x_{1}}+\ln {x_{2}}+\cdots +\ln {x_{n}}}{n}}\right).}$

Nota: Esto no se aplica exclusivamente a la función exp() y a los logaritmos naturales. La base b de la exponenciación podría ser cualquier número real positivo si el logaritmo es de base b.

La desigualdad

Reformulando la desigualdad usando notación matemática, tenemos que para cualquier lista de n números reales no negativos x ₁ , x ₂ , . . . , xn ,_​

${\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdots x_{n}}}\,,}$

y esa igualdad se cumple si y sólo si x ₁ = x ₂ = · · · = x _n .

Interpretación geométrica

En dos dimensiones, 2 x ₁ + 2 x ₂ es el perímetro de un rectángulo con lados de longitud  x ₁ y  x ₂ . De manera similar, 4 √ x ₁ x ₂ es el perímetro de un cuadrado con la misma área , x ₁ x ₂ , que ese rectángulo. Así, para n = 2, la desigualdad AM-GM establece que un rectángulo de un área determinada tiene el perímetro más pequeño si ese rectángulo también es un cuadrado.

La desigualdad total es una extensión de esta idea a n dimensiones. Considere una caja de n dimensiones con longitudes de borde x ₁ , x ₂ ,. . . , x _norte . Cada vértice de la caja está conectado a n aristas de diferentes direcciones, por lo que la longitud promedio de las aristas incidentes al vértice es ( x ₁ + x ₂ + · · · + x _n )/ n . Por otro lado, es la longitud de las aristas de un cubo de n dimensiones de igual volumen, que por lo tanto también es la longitud promedio de las aristas que inciden en un vértice del cubo. ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}}$

Por lo tanto, la desigualdad AM-GM establece que solo el n -cubo tiene la longitud promedio más pequeña de aristas conectadas a cada vértice entre todas las n -cajas dimensionales con el mismo volumen. ^[3]

Ejemplos

Ejemplo 1

Si , entonces el AM-GM nos dice que ${\displaystyle a,b,c>0}$

${\displaystyle (1+a)(1+b)(1+c)\geq 2{\sqrt {1\cdot {a}}}\cdot 2{\sqrt {1\cdot {b}}}\cdot 2{\sqrt {1\cdot {c}}}=8{\sqrt {abc}}}$

Ejemplo 2

Se puede encontrar un límite superior simple . AM-GM nos cuenta ${\displaystyle n!}$

${\displaystyle 1+2+\dots +n\geq n{\sqrt[{n}]{n!}}}$

${\displaystyle {\frac {n(n+1)}{2}}\geq n{\sqrt[{n}]{n!}}}$

y entonces

${\displaystyle \left({\frac {n+1}{2}}\right)^{n}\geq n!}$

con igualdad en . ${\displaystyle n=1}$

De manera equivalente,

${\displaystyle (n+1)^{n}\geq 2^{n}n!}$

Ejemplo 3

Considere la función

${\displaystyle f(x,y,z)={\frac {x}{y}}+{\sqrt {\frac {y}{z}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {z}{x}}}}$

para todos los números reales positivos x , y y  z . Supongamos que deseamos encontrar el valor mínimo de esta función. Se puede reescribir como:

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x,y,z)&=6\cdot {\frac {{\frac {x}{y}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {y}{z}}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {y}{z}}}+{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {z}{x}}}+{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {z}{x}}}+{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {z}{x}}}}{6}}\\&=6\cdot {\frac {x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}+x_{6}}{6}}\end{aligned}}}$

con

${\displaystyle x_{1}={\frac {x}{y}},\qquad x_{2}=x_{3}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {y}{z}}},\qquad x_{4}=x_{5}=x_{6}={\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {z}{x}}}.}$

Aplicando la desigualdad AM-GM para n = 6 , obtenemos

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x,y,z)&\geq 6\cdot {\sqrt[{6}]{{\frac {x}{y}}\cdot {\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {y}{z}}}\cdot {\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {y}{z}}}\cdot {\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {z}{x}}}\cdot {\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {z}{x}}}\cdot {\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {z}{x}}}}}\\&=6\cdot {\sqrt[{6}]{{\frac {1}{2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 3}}{\frac {x}{y}}{\frac {y}{z}}{\frac {z}{x}}}}\\&=2^{2/3}\cdot 3^{1/2}.\end{aligned}}}$

Además, sabemos que los dos lados son exactamente iguales cuando todos los términos de la media son iguales:

${\displaystyle f(x,y,z)=2^{2/3}\cdot 3^{1/2}\quad {\mbox{when}}\quad {\frac {x}{y}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {y}{z}}}={\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {z}{x}}}.}$

Todos los puntos ( x , y , z ) que satisfacen estas condiciones se encuentran en una media línea que comienza en el origen y están dados por

${\displaystyle (x,y,z)={\biggr (}t,{\sqrt[{3}]{2}}{\sqrt {3}}\,t,{\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}\,t{\biggr )}\quad {\mbox{with}}\quad t>0.}$

Aplicaciones

Una aplicación práctica importante en matemáticas financieras es calcular la tasa de rendimiento : el rendimiento anualizado , calculado mediante la media geométrica, es menor que el rendimiento anual promedio, calculado mediante la media aritmética (o igual si todos los rendimientos son iguales). Esto es importante al analizar las inversiones , ya que el rendimiento promedio exagera el efecto acumulativo. También se puede utilizar para demostrar la desigualdad de Cauchy-Schwarz .

Pruebas de la desigualdad AM-GM

La desigualdad AM-GM también es conocida por la variedad de métodos que pueden utilizarse para demostrarla.

Prueba utilizando la desigualdad de Jensen

La desigualdad de Jensen establece que el valor de una función cóncava de una media aritmética es mayor o igual a la media aritmética de los valores de la función. Como la función logaritmo es cóncava, tenemos

${\displaystyle \log \left({\frac {\sum _{i}x_{i}}{n}}\right)\geq \sum {\frac {1}{n}}\log x_{i}=\sum \left(\log x_{i}^{1/n}\right)=\log \left(\prod x_{i}^{1/n}\right).}$

Tomando antilogaritmos de los extremos izquierdo y derecho, tenemos la desigualdad AM-GM.

Prueba por sustitución sucesiva de elementos.

Tenemos que demostrar que

${\displaystyle \alpha ={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}=\beta }$

con igualdad sólo cuando todos los números son iguales.

Si no todos los números son iguales, entonces existen tales que . Reemplazar x _i por y x _j por dejará la media aritmética de los números sin cambios, pero aumentará la media geométrica porque ${\displaystyle x_{i},x_{j}}$ ${\displaystyle x_{i}<\alpha <x_{j}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle (x_{i}+x_{j}-\alpha )}$

${\displaystyle \alpha (x_{j}+x_{i}-\alpha )-x_{i}x_{j}=(\alpha -x_{i})(x_{j}-\alpha )>0}$

Si los números aún no son iguales, continuamos reemplazando números como se indicó anteriormente. Después de, como máximo, dichos pasos de reemplazo, todos los números habrán sido reemplazados, mientras que la media geométrica aumenta estrictamente en cada paso. Después del último paso, la media geométrica será , demostrando la desigualdad. ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{\alpha \alpha \cdots \alpha }}=\alpha }$

Cabe señalar que la estrategia de reemplazo funciona igual de bien desde el lado derecho. Si alguno de los números es 0, entonces también lo será la media geométrica, demostrando así la desigualdad de manera trivial. Por tanto podemos suponer que todos los números son positivos. Si no todos son iguales, entonces existen tales que . Reemplazar poco a poco deja la media geométrica sin cambios pero disminuye estrictamente la media aritmética ya que ${\displaystyle x_{i},x_{j}}$ ${\displaystyle 0<x_{i}<\beta <x_{j}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle x_{j}}$ ${\displaystyle {\frac {x_{i}x_{j}}{\beta }}}$

${\displaystyle x_{i}+x_{j}-\beta -{\frac {x_{i}x_{j}}{\beta }}={\frac {(\beta -x_{i})(x_{j}-\beta )}{\beta }}>0}$. La demostración sigue líneas similares a las del reemplazo anterior.

Pruebas de inducción

Prueba por inducción #1

De los números reales no negativos x ₁ , . . . , x _n , la declaración AM-GM es equivalente a

${\displaystyle \alpha ^{n}\geq x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}$

con igualdad si y sólo si α = x _i para todo i ∈ {1, . . . , norte } .

Para la siguiente prueba aplicamos la inducción matemática y sólo reglas de aritmética bien conocidas.

Base de inducción: Para n = 1 la afirmación es verdadera con igualdad.

Hipótesis de inducción: supongamos que el enunciado AM-GM es válido para todas las opciones de n números reales no negativos.

Paso de inducción: considere n + 1 números reales no negativos x ₁ ,. . . , x _{norte +1} , . Su media aritmética α satisface

${\displaystyle (n+1)\alpha =\ x_{1}+\cdots +x_{n}+x_{n+1}.}$

Si todos los x _i son iguales a α , entonces tenemos igualdad en la declaración AM-GM y hemos terminado. En el caso de que algunos no sean iguales a α , debe existir un número mayor que la media aritmética α y otro menor que α . Sin pérdida de generalidad, podemos reordenar nuestro x _i para colocar estos dos elementos particulares al final: x _n > α y x _{n +1} < α . Entonces

${\displaystyle x_{n}-\alpha >0\qquad \alpha -x_{n+1}>0}$

${\displaystyle \implies (x_{n}-\alpha )(\alpha -x_{n+1})>0\,.\qquad (*)}$

Ahora define y con

${\displaystyle y:=x_{n}+x_{n+1}-\alpha \geq x_{n}-\alpha >0\,,}$

y considere los n números x ₁ ,. . . , x _{n –1} , y que son todos no negativos. Desde

${\displaystyle (n+1)\alpha =x_{1}+\cdots +x_{n-1}+x_{n}+x_{n+1}}$

${\displaystyle n\alpha =x_{1}+\cdots +x_{n-1}+\underbrace {x_{n}+x_{n+1}-\alpha } _{=\,y},}$

Por tanto, α también es la media aritmética de n números x ₁ , . . . , x _{n –1} , y y la hipótesis de inducción implica

${\displaystyle \alpha ^{n+1}=\alpha ^{n}\cdot \alpha \geq x_{1}x_{2}\cdots x_{n-1}y\cdot \alpha .\qquad (**)}$

Debido a (*) sabemos que

${\displaystyle (\underbrace {x_{n}+x_{n+1}-\alpha } _{=\,y})\alpha -x_{n}x_{n+1}=(x_{n}-\alpha )(\alpha -x_{n+1})>0,}$

por eso

${\displaystyle y\alpha >x_{n}x_{n+1}\,,\qquad ({*}{*}{*})}$

en particular α > 0 . Por lo tanto, si al menos uno de los números x ₁ , . . . , x _{n –1} es cero, entonces ya tenemos desigualdad estricta en (**). De lo contrario, el lado derecho de (**) es positivo y se obtiene una desigualdad estricta utilizando la estimación (***) para obtener un límite inferior del lado derecho de (**). Por lo tanto, en ambos casos podemos sustituir (***) en (**) para obtener

${\displaystyle \alpha ^{n+1}>x_{1}x_{2}\cdots x_{n-1}x_{n}x_{n+1}\,,}$

lo que completa la prueba.

Prueba por inducción #2

En primer lugar demostraremos que para números reales x ₁ < 1 y x ₂ > 1 se sigue

${\displaystyle x_{1}+x_{2}>x_{1}x_{2}+1.}$

De hecho, multiplicar ambos lados de la desigualdad x ₂ > 1 por 1 – x ₁ , da

${\displaystyle x_{2}-x_{1}x_{2}>1-x_{1},}$

de donde la desigualdad requerida se obtiene inmediatamente.

Ahora vamos a demostrar que para números reales positivos x ₁ , . . . , x _n que satisface x ₁ . . . x _n = 1 , se cumple

${\displaystyle x_{1}+\cdots +x_{n}\geq n.}$

La igualdad se cumple sólo si x ₁ = ... = x _n = 1 .

Base de inducción: Para n = 2 la afirmación es verdadera debido a la propiedad anterior.

Hipótesis de inducción: Supongamos que la afirmación es verdadera para todos los números naturales hasta n – 1 .

Paso de inducción: considere el número natural n , es decir, para números reales positivos x ₁ ,. . . , x _n , se cumple x ₁ . . . x _norte = 1 . Existe al menos un x _k < 1 , por lo que debe haber al menos un x _j > 1 . Sin pérdida de generalidad, dejamos k = n – 1 y j = n .

Además, la igualdad x ₁ . . . x _n = 1 lo escribiremos en la forma de ( x ₁ . . . x _{n –2} ) ( x _{n –1} x _n ) = 1 . Entonces, la hipótesis de inducción implica

${\displaystyle (x_{1}+\cdots +x_{n-2})+(x_{n-1}x_{n})>n-1.}$

Sin embargo, teniendo en cuenta la base de inducción, tenemos

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}+\cdots +x_{n-2}+x_{n-1}+x_{n}&=(x_{1}+\cdots +x_{n-2})+(x_{n-1}+x_{n})\\&>(x_{1}+\cdots +x_{n-2})+x_{n-1}x_{n}+1\\&>n,\end{aligned}}}$

lo que completa la prueba.

Para números reales positivos a ₁ , . . . , a _n , denotemos

${\displaystyle x_{1}={\frac {a_{1}}{\sqrt[{n}]{a_{1}\cdots a_{n}}}},...,x_{n}={\frac {a_{n}}{\sqrt[{n}]{a_{1}\cdots a_{n}}}}.}$

Los números x ₁ , . . . , x _n satisface la condición x ₁ . . . x _norte = 1 . Entonces tenemos

${\displaystyle {\frac {a_{1}}{\sqrt[{n}]{a_{1}\cdots a_{n}}}}+\cdots +{\frac {a_{n}}{\sqrt[{n}]{a_{1}\cdots a_{n}}}}\geq n,}$

de donde obtenemos

${\displaystyle {\frac {a_{1}+\cdots +a_{n}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{a_{1}\cdots a_{n}}},}$

siendo la igualdad válida solo para a ₁ = ... = a _n .

Prueba de Cauchy mediante inducción hacia adelante y hacia atrás

La siguiente prueba por casos se basa directamente en reglas aritméticas bien conocidas, pero emplea la técnica raramente utilizada de inducción hacia adelante y hacia atrás. Es esencialmente de Augustin Louis Cauchy y se puede encontrar en su Cours d'analyse . ^[4]

El caso donde todos los términos son iguales.

Si todos los términos son iguales:

${\displaystyle x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n},}$

entonces su suma es nx ₁ , por lo que su media aritmética es  x ₁ ; y su producto es x ₁ ⁿ , por lo que su media geométrica es  x ₁ ; por lo tanto, la media aritmética y la media geométrica son iguales, según se desee.

El caso donde no todos los términos son iguales

Queda por demostrar que si no todos los términos son iguales, entonces la media aritmética es mayor que la media geométrica. Claramente, esto sólo es posible cuando n > 1 .

Este caso es significativamente más complejo y lo dividimos en subcasos.

El subcaso donde n = 2

Si n = 2 , entonces tenemos dos términos, x ₁ y x ₂ , y dado que (según nuestra suposición) no todos los términos son iguales, tenemos:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\Bigl (}{\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}{\Bigr )}^{2}-x_{1}x_{2}&={\frac {1}{4}}(x_{1}^{2}+2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2})-x_{1}x_{2}\\&={\frac {1}{4}}(x_{1}^{2}-2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2})\\&={\Bigl (}{\frac {x_{1}-x_{2}}{2}}{\Bigr )}^{2}>0,\end{aligned}}}$

por eso

${\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}>{\sqrt {x_{1}x_{2}}}}$

como se desee.

El subcaso donde n = 2 ^k

Considere el caso donde n = 2 ^k , donde k es un número entero positivo. Procedemos por inducción matemática.

En el caso base, k = 1 , entonces n = 2 . Ya hemos demostrado que la desigualdad se cumple cuando n = 2 , así que hemos terminado.

Ahora, supongamos que para un k > 1 dado , ya hemos demostrado que la desigualdad se cumple para n = 2 ^{k −1} y queremos demostrar que se cumple para n = 2 ^k . Para hacerlo, aplicamos la desigualdad dos veces para 2 ^{k -1} números y una vez para 2 números para obtener:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{2^{k}}}{2^{k}}}&{}={\frac {{\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{2^{k-1}}}{2^{k-1}}}+{\frac {x_{2^{k-1}+1}+x_{2^{k-1}+2}+\cdots +x_{2^{k}}}{2^{k-1}}}}{2}}\\[7pt]&\geq {\frac {{\sqrt[{2^{k-1}}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{2^{k-1}}}}+{\sqrt[{2^{k-1}}]{x_{2^{k-1}+1}x_{2^{k-1}+2}\cdots x_{2^{k}}}}}{2}}\\[7pt]&\geq {\sqrt {{\sqrt[{2^{k-1}}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{2^{k-1}}}}{\sqrt[{2^{k-1}}]{x_{2^{k-1}+1}x_{2^{k-1}+2}\cdots x_{2^{k}}}}}}\\[7pt]&={\sqrt[{2^{k}}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{2^{k}}}}\end{aligned}}}$

donde en la primera desigualdad, los dos lados son iguales sólo si

${\displaystyle x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{2^{k-1}}}$

y

${\displaystyle x_{2^{k-1}+1}=x_{2^{k-1}+2}=\cdots =x_{2^{k}}}$

(en cuyo caso la primera media aritmética y la primera media geométrica son ambas iguales a  x ₁ , y lo mismo ocurre con la segunda media aritmética y la segunda media geométrica); y en la segunda desigualdad, los dos lados sólo son iguales si las dos medias geométricas son iguales. Como no todos los 2 ^k números son iguales, no es posible que ambas desigualdades sean igualdades, por lo que sabemos que:

${\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{2^{k}}}{2^{k}}}>{\sqrt[{2^{k}}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{2^{k}}}}}$

como se desee.

El subcaso donde n < 2 ^k

Si n no es una potencia natural de  2 , entonces ciertamente es menor que alguna potencia natural de 2, ya que la secuencia 2, 4, 8,. . . , 2 ^k , . . . es ilimitado arriba. Por lo tanto, sin pérdida de generalidad, sea m alguna potencia natural de 2 que sea mayor que  n .

Entonces, si tenemos n términos, denotemos su media aritmética por  α y expandamos nuestra lista de términos así:

${\displaystyle x_{n+1}=x_{n+2}=\cdots =x_{m}=\alpha .}$

Entonces tenemos:

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}\\[6pt]&={\frac {{\frac {m}{n}}\left(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}\right)}{m}}\\[6pt]&={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}+{\frac {(m-n)}{n}}\left(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}\right)}{m}}\\[6pt]&={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}+\left(m-n\right)\alpha }{m}}\\[6pt]&={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}+x_{n+1}+\cdots +x_{m}}{m}}\\[6pt]&\geq {\sqrt[{m}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}x_{n+1}\cdots x_{m}}}\\[6pt]&={\sqrt[{m}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}\alpha ^{m-n}}}\,,\end{aligned}}}$

entonces

${\displaystyle \alpha ^{m}\geq x_{1}x_{2}\cdots x_{n}\alpha ^{m-n}}$

y

${\displaystyle \alpha \geq {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}}$

como se desee.

Prueba por inducción usando cálculo básico.

La siguiente prueba utiliza inducción matemática y algo de cálculo diferencial básico .

Base de inducción : Para n = 1 la afirmación es verdadera con igualdad.

Hipótesis de inducción : supongamos que la afirmación AM-GM es válida para todas las opciones de n números reales no negativos.

Paso de inducción : Para probar el enunciado para n + 1 números reales no negativos x ₁ ,. . . , x _n , x _{n +1} , necesitamos demostrar que

${\displaystyle {\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}+x_{n+1}}{n+1}}-({x_{1}\cdots x_{n}x_{n+1}})^{\frac {1}{n+1}}\geq 0}$

con igualdad sólo si todos los n + 1 números son iguales.

Si todos los números son cero, la desigualdad se cumple con igualdad. Si algunos números, pero no todos, son cero, tenemos una desigualdad estricta. Por lo tanto, podemos suponer a continuación que todos los n + 1 números son positivos.

Consideramos el último número x _{n +1} como una variable y definimos la función

${\displaystyle f(t)={\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}+t}{n+1}}-({x_{1}\cdots x_{n}t})^{\frac {1}{n+1}},\qquad t>0.}$

Probar el paso de inducción equivale a demostrar que f ( t ) ≥ 0 para todo t > 0 , con f ( t ) = 0 sólo si x ₁ , . . . , x _n y  t son todos iguales. Esto se puede hacer analizando los puntos críticos de  f usando algún cálculo básico.

La primera derivada de f está dada por

${\displaystyle f'(t)={\frac {1}{n+1}}-{\frac {1}{n+1}}({x_{1}\cdots x_{n}})^{\frac {1}{n+1}}t^{-{\frac {n}{n+1}}},\qquad t>0.}$

Un punto crítico t ₀ tiene que satisfacer f′ ( t ₀ ) = 0 , lo que significa

${\displaystyle ({x_{1}\cdots x_{n}})^{\frac {1}{n+1}}t_{0}^{-{\frac {n}{n+1}}}=1.}$

Después de un pequeño reordenamiento obtenemos

${\displaystyle t_{0}^{\frac {n}{n+1}}=({x_{1}\cdots x_{n}})^{\frac {1}{n+1}},}$

y finalmente

${\displaystyle t_{0}=({x_{1}\cdots x_{n}})^{\frac {1}{n}},}$

que es la media geométrica de x ₁ , . . . , x _norte . Este es el único punto crítico de  f . Dado que f′′ ( t ) > 0 para todo t > 0 , la función  f es estrictamente convexa y tiene un mínimo global estricto en  t ₀ . A continuación calculamos el valor de la función en este mínimo global:

${\displaystyle {\begin{aligned}f(t_{0})&={\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}+({x_{1}\cdots x_{n}})^{1/n}}{n+1}}-({x_{1}\cdots x_{n}})^{\frac {1}{n+1}}({x_{1}\cdots x_{n}})^{\frac {1}{n(n+1)}}\\&={\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}}{n+1}}+{\frac {1}{n+1}}({x_{1}\cdots x_{n}})^{\frac {1}{n}}-({x_{1}\cdots x_{n}})^{\frac {1}{n}}\\&={\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}}{n+1}}-{\frac {n}{n+1}}({x_{1}\cdots x_{n}})^{\frac {1}{n}}\\&={\frac {n}{n+1}}{\Bigl (}{\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}}{n}}-({x_{1}\cdots x_{n}})^{\frac {1}{n}}{\Bigr )}\\&\geq 0,\end{aligned}}}$

donde la desigualdad final se cumple debido a la hipótesis de inducción. La hipótesis también dice que podemos tener igualdad sólo cuando x ₁ , . . . , x _n son todos iguales. En este caso, su media geométrica   t ₀ tiene el mismo valor, por lo tanto, a menos que x ₁ , . . . , x _n , x _{n +1} son todos iguales, tenemos f ( x _{n +1} ) > 0 . Esto completa la prueba.

Esta técnica se puede utilizar de la misma manera para demostrar la desigualdad AM-GM generalizada y la desigualdad de Cauchy-Schwarz en el espacio euclidiano R ⁿ .

Prueba de Pólya usando la función exponencial

George Pólya proporcionó una prueba similar a la siguiente. Sea f ( x ) = e ^{x –1} – x para todo  x real , con primera derivada f′ ( x ) = e ^{x –1} – 1 y segunda derivada f′′ ( x ) = e ^{x –1} . Observe que f (1) = 0 , f′ (1) = 0 y f′′ ( x ) > 0 para todo x real  , por lo tanto f es estrictamente convexa con el mínimo absoluto en x = 1 . Por lo tanto x ≤ e ^{x –1} para todo  x real con igualdad solo para x = 1 .

Considere una lista de números reales no negativos x ₁ , x ₂ , . . . , x _norte . Si todos son cero, entonces la desigualdad AM-GM se cumple con igualdad. Por lo tanto, podemos suponer a continuación para su media aritmética α > 0 . Mediante la aplicación n veces de la desigualdad anterior, obtenemos que

${\displaystyle {\begin{aligned}{{\frac {x_{1}}{\alpha }}{\frac {x_{2}}{\alpha }}\cdots {\frac {x_{n}}{\alpha }}}&\leq {e^{{\frac {x_{1}}{\alpha }}-1}e^{{\frac {x_{2}}{\alpha }}-1}\cdots e^{{\frac {x_{n}}{\alpha }}-1}}\\&=\exp {\Bigl (}{\frac {x_{1}}{\alpha }}-1+{\frac {x_{2}}{\alpha }}-1+\cdots +{\frac {x_{n}}{\alpha }}-1{\Bigr )},\qquad (*)\end{aligned}}}$

con igualdad si y sólo si x _i = α para todo i ∈ {1, . . . , norte } . El argumento de la función exponencial se puede simplificar:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {x_{1}}{\alpha }}-1+{\frac {x_{2}}{\alpha }}-1+\cdots +{\frac {x_{n}}{\alpha }}-1&={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{\alpha }}-n\\&={\frac {n\alpha }{\alpha }}-n\\&=0.\end{aligned}}}$

Volviendo a (*) ,

${\displaystyle {\frac {x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}{\alpha ^{n}}}\leq e^{0}=1,}$

lo que produce x ₁ x ₂ · · · x _n ≤ α ⁿ , de ahí el resultado ^[5]

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}\leq \alpha .}$

Prueba por multiplicadores lagrangianos

Si alguno de ellos lo es , entonces no hay nada que probar. Por tanto, podemos suponer que todos son estrictamente positivos. ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle x_{i}}$

Debido a que las medias aritmética y geométrica son homogéneas de grado 1, sin pérdida de generalidad supongamos que . Conjunto , y . La desigualdad se demostrará (junto con el caso de igualdad) si podemos demostrar que el mínimo de sujeto a la restricción es igual a , y el mínimo solo se logra cuando . Primero demostremos que el problema de minimización restringida tiene un mínimo global. ${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}x_{i}=1}$ ${\displaystyle G(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=\prod _{i=1}^{n}x_{i}}$ ${\displaystyle F(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}}$ ${\displaystyle F(x_{1},x_{2},...,x_{n}),}$ ${\displaystyle G(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=1,}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}=1}$

Colocar . Dado que la intersección es compacta, el teorema del valor extremo garantiza que el mínimo de sujeto a las restricciones y se alcanza en algún punto dentro . Por otro lado, observe que si alguno de los , entonces , while y . Esto significa que el mínimo interior es de hecho un mínimo global, ya que el valor de en cualquier punto interior no es ciertamente menor que el mínimo, y el valor de en cualquier punto no interior es estrictamente mayor que el valor en , que no es menor que el mínimo. ${\displaystyle K=\{(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\colon 0\leq x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\leq n\}}$ ${\displaystyle K\cap \{G=1\}}$ ${\displaystyle F(x_{1},x_{2},...,x_{n})}$ ${\displaystyle G(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=1}$ ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\in K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle x_{i}>n}$ ${\displaystyle F(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})>1}$ ${\displaystyle F(1,1,\ldots ,1)=1}$ ${\displaystyle (1,1,\ldots ,1)\in K\cap \{G=1\}}$ ${\displaystyle K\cap \{G=1\}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle K\cap \{G=1\}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle (y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle (1,1,\ldots ,1)}$

El método de los multiplicadores de Lagrange dice que el mínimo global se alcanza en un punto donde el gradiente de es multiplicado por el gradiente de , para algunos . Mostraremos que el único punto en el que esto sucede es cuando y ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$ ${\displaystyle F(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle G(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}=1}$ ${\displaystyle F(x_{1},x_{2},...,x_{n})=1.}$

Calcular y ${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial x_{i}}}={\frac {1}{n}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial G}{\partial x_{i}}}=\prod _{j\neq i}x_{j}={\frac {G(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}{x_{i}}}={\frac {1}{x_{i}}}}$

a lo largo de la restricción. Por lo tanto, establecer los gradientes proporcionales entre sí da para cada uno eso y así. Como el lado izquierdo no depende de , se sigue eso , y desde , se sigue eso y , como se desee. ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle {\frac {1}{n}}={\frac {\lambda }{x_{i}}},}$ ${\displaystyle n\lambda =x_{i}.}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}}$ ${\displaystyle G(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=1}$ ${\displaystyle x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}=1}$ ${\displaystyle F(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=1}$

Generalizaciones

Desigualdad ponderada entre AM y GM

Existe una desigualdad similar para la media aritmética ponderada y la media geométrica ponderada . Específicamente, sean los números no negativos x ₁ , x ₂ , . . . , x _n y los pesos no negativos w ₁ , w ₂ , . . . , w _n ser dado. Establecer w = w ₁ + w ₂ + · · · + w _n . Si  w > 0 , entonces la desigualdad

${\displaystyle {\frac {w_{1}x_{1}+w_{2}x_{2}+\cdots +w_{n}x_{n}}{w}}\geq {\sqrt[{w}]{x_{1}^{w_{1}}x_{2}^{w_{2}}\cdots x_{n}^{w_{n}}}}}$

se cumple con igualdad si y solo si todos los x _k con w _k > 0 son iguales. Aquí se utiliza la convención 0 ⁰ = 1 .

Si todo w _k = 1 , esto se reduce a la desigualdad anterior de medias aritméticas y geométricas.

Una versión más fuerte de esto, que también ofrece una versión reforzada de la versión no ponderada, se debe a Aldaz. En particular, existe una desigualdad similar para la media aritmética ponderada y la media geométrica ponderada . Específicamente, sean los números no negativos x ₁ , x ₂ , . . . , x _n y los pesos no negativos w ₁ , w ₂ , . . . , w _n ser dado. Supongamos además que la suma de los pesos es 1. Entonces

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}\geq \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}+\sum _{i=1}^{n}w_{i}\left(x_{i}^{\frac {1}{2}}-\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{\frac {1}{2}}\right)^{2}}$. ^[6]

Prueba utilizando la desigualdad de Jensen

Usando la forma finita de la desigualdad de Jensen para el logaritmo natural , podemos probar la desigualdad entre la media aritmética ponderada y la media geométrica ponderada indicadas anteriormente.

Dado que un x _k con peso w _k = 0 no tiene influencia en la desigualdad, podemos suponer a continuación que todos los pesos son positivos. Si todos los x _k son iguales, entonces se cumple la igualdad. Por lo tanto, queda por demostrar la desigualdad estricta si no todos son iguales, lo que también asumiremos a continuación. Si al menos un x _k es cero (pero no todos), entonces la media geométrica ponderada es cero, mientras que la media aritmética ponderada es positiva, por lo que se cumple una desigualdad estricta. Por lo tanto, podemos suponer también que todos los x _k son positivos.

Dado que el logaritmo natural es estrictamente cóncavo , la forma finita de la desigualdad de Jensen y las ecuaciones funcionales del logaritmo natural implican

${\displaystyle {\begin{aligned}\ln {\Bigl (}{\frac {w_{1}x_{1}+\cdots +w_{n}x_{n}}{w}}{\Bigr )}&>{\frac {w_{1}}{w}}\ln x_{1}+\cdots +{\frac {w_{n}}{w}}\ln x_{n}\\&=\ln {\sqrt[{w}]{x_{1}^{w_{1}}x_{2}^{w_{2}}\cdots x_{n}^{w_{n}}}}.\end{aligned}}}$

Como el logaritmo natural es estrictamente creciente ,

${\displaystyle {\frac {w_{1}x_{1}+\cdots +w_{n}x_{n}}{w}}>{\sqrt[{w}]{x_{1}^{w_{1}}x_{2}^{w_{2}}\cdots x_{n}^{w_{n}}}}.}$

Desigualdad de media aritmética-geométrica matricial

La mayoría de las generalizaciones matriciales de la desigualdad de la media geométrica aritmética se aplican al nivel de normas unitariamente invariantes, debido al hecho de que incluso si las matrices y son semidefinidas positivas, la matriz puede no ser semidefinida positiva y, por lo tanto, puede no tener un cuadrado canónico. raíz. En ^[7] Bhatia y Kittaneh demostraron que para cualquier norma unitariamente invariante y matrices semidefinidas positivas se da el caso de que ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle |||\cdot |||}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle |||AB|||\leq {\frac {1}{2}}|||A^{2}+B^{2}|||}$

Posteriormente, en ^[8] los mismos autores demostraron la mayor desigualdad que

${\displaystyle |||AB|||\leq {\frac {1}{4}}|||(A+B)^{2}|||}$

Finalmente, se sabe por dimensión que se cumple la siguiente generalización matricial más fuerte posible de la desigualdad media aritmético-geométrica, y se conjetura que se cumple para todos ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle |||(AB)^{\frac {1}{2}}|||\leq {\frac {1}{2}}|||A+B|||}$

Esta supuesta desigualdad fue demostrada por Stephen Drury en 2012. De hecho, demostró ^[9]

${\displaystyle {\sqrt {\sigma _{j}(AB)}}\leq {\frac {1}{2}}\lambda _{j}(A+B),\ j=1,\ldots ,n.}$

Finanzas: vínculo con los rendimientos geométricos de los activos

En finanzas, gran parte de la investigación se ocupa de estimar con precisión la tasa de rendimiento de un activo durante múltiples períodos en el futuro. En el caso de los rendimientos de activos lognormales, existe una fórmula exacta para calcular el rendimiento aritmético de los activos a partir del rendimiento geométrico de los activos.

Para simplificar, supongamos que estamos considerando rendimientos geométricos anuales r ₁ , r ₂ , ... , r _N durante un horizonte temporal de N años, es decir

${\displaystyle r_{n}={\frac {V_{n}-V_{n-1}}{V_{n-1}}},}$

dónde:

${\displaystyle V_{n}}$= valor del activo en el momento , ${\displaystyle n}$

${\displaystyle V_{n-1}}$= valor del activo en el momento . ${\displaystyle n-1}$

Los rendimientos geométrico y aritmético se definen respectivamente como

${\displaystyle g_{N}=\left(\prod _{n=1}^{N}(1+r_{n})\right)^{1/N},}$

${\displaystyle a_{N}={\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}r_{n}.}$

Cuando los rendimientos geométricos anuales de los activos se distribuyen de manera lognormal, entonces se puede utilizar la siguiente fórmula para convertir el rendimiento promedio geométrico en el rendimiento promedio aritmético: ^[10]

${\displaystyle 1+g_{N}={\frac {1+a_{N}}{\sqrt {1+{\frac {\sigma ^{2}}{(1+a_{N})^{2}}}}}},}$

¿Dónde está la varianza de los rendimientos observados de los activos _? Esta ecuación implícita para N se puede resolver exactamente de la siguiente manera. Primero, observe que al establecer ${\displaystyle \sigma ^{2}}$

${\displaystyle z=(1+a_{N})^{2},}$

obtenemos una ecuación polinómica de grado 2:

${\displaystyle z^{2}-(1+g)^{2}-(1+g)^{2}\sigma ^{2}=0.}$

Resolviendo esta ecuación para z y usando la definición de z , obtenemos 4 posibles soluciones para a _N :

${\displaystyle a_{N}=\pm {\frac {1+g_{N}}{\sqrt {2}}}{\sqrt {1\pm {\sqrt {1+{\frac {4\sigma ^{2}}{(1+g_{N})^{2}}}}}}}-1.}$

Sin embargo, observe que

${\displaystyle {\sqrt {1+{\frac {4\sigma ^{2}}{(1+g_{N})^{2}}}}}\geq 1.}$

Esto implica que las únicas dos soluciones posibles son (ya que los rendimientos de los activos son números reales):

${\displaystyle a_{N}=\pm {\frac {1+g_{N}}{\sqrt {2}}}{\sqrt {1+{\sqrt {1+{\frac {4\sigma ^{2}}{(1+g_{N})^{2}}}}}}}-1.}$

Finalmente, esperamos que la derivada de a _N con respecto a g _N no sea negativa ya que un aumento en el rendimiento geométrico nunca debería causar una disminución en el rendimiento aritmético. De hecho, ambos miden el crecimiento promedio del valor de un activo y, por lo tanto, deberían moverse en direcciones similares. Esto nos deja con una solución a la ecuación implícita para a _N , a saber

${\displaystyle a_{N}={\frac {1+g_{N}}{\sqrt {2}}}{\sqrt {1+{\sqrt {1+{\frac {4\sigma ^{2}}{(1+g_{N})^{2}}}}}}}-1.}$

Por lo tanto, bajo el supuesto de rendimientos de activos distribuidos lognormalmente, el rendimiento aritmético de los activos está completamente determinado por el rendimiento geométrico de los activos.

Otras generalizaciones

Prueba geométrica sin palabras de que max  ( a , b ) > media cuadrática ( RMS ) o media cuadrática ( QM ) > media aritmética ( AM ) > media geométrica ( GM ) > media armónica ( HM ) > min  ( a , b ) de dos números positivos distintos a y b ^{[nota 1]}

Otras generalizaciones de la desigualdad de medias aritméticas y geométricas incluyen:

• La desigualdad de Muirhead .
• La desigualdad de Maclaurin .
• Desigualdad media generalizada ,
• Medias de números complejos. ^[11]

Ver también

• El rompecabezas de embalaje de Hoffman
• Desigualdad de Ky Fan
• La desigualdad de productos de Young

Notas

1. Si AC = a y BC = b . OC = AM de a y b , y radio r = QO = OG.
   Usando el teorema de Pitágoras , QC² = QO² + OC² ∴ QC = √ QO² + OC² = QM .
   Usando el teorema de Pitágoras, OC² = OG² + GC² ∴ GC = √ OC² − OG² = GM .
   Usando triángulos semejantes ,HC/GC=GC/jefe∴ HC =GC²/jefe= HM .

Referencias

1. Hoffman, DG (1981), "Packing problems and inequalities", en Klarner, David A. (ed.), The Mathematical Gardner , Springer, págs. 212-225, doi :10.1007/978-1-4684-6686- 7_19, ISBN 978-1-4684-6688-1
2. "Elementos de Euclides, Libro V, Proposición 25".
3. Steele, J. Michael (2004). La clase magistral de Cauchy-Schwarz: una introducción al arte de las desigualdades matemáticas . Serie de libros de problemas MAA. Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-54677-5. OCLC  54079548.
4. Cauchy, Augustin-Louis (1821). Cours d'analyse de l'École Royale Polytechnique, fiesta de estreno, Analyse algébrique, París. La prueba de la desigualdad de medias aritméticas y geométricas se puede encontrar en las páginas 457 y siguientes.
5. Arnold, Denise; Arnold, Graham (1993). Matemáticas de cuatro unidades . Hodder Arnold H&S. pag. 242.ISBN​ 978-0-340-54335-1. OCLC  38328013.
6. Aldaz, JM (2009). "Automejora de la desigualdad entre medias aritméticas y geométricas". Revista de desigualdades matemáticas . 3 (2): 213–216. doi : 10.7153/jmi-03-21 . Consultado el 11 de enero de 2023 .
7. Bhatia, Rajendra; Kittaneh, Fuad (1990). "Sobre los valores singulares de un producto de operadores". Revista SIAM sobre Análisis y Aplicaciones de Matrices . 11 (2): 272–277. doi :10.1137/0611018.
8. Bhatia, Rajendra; Kittaneh, Fuad (2000). "Notas sobre desigualdades de medias aritmético-geométricas matriciales". Álgebra lineal y sus aplicaciones . 308 (1–3): 203–211. doi : 10.1016/S0024-3795(00)00048-3 .
9. SW Drury, Sobre una cuestión de Bhatia y Kittaneh, Linear Algebra Appl. 437 (2012) 1955–1960.
10. cf. Mindlin, Dimitry, Sobre la relación entre rendimientos aritméticos y geométricos (14 de agosto de 2011). Disponible en SSRN: https://ssrn.com/abstract=2083915 o http://dx.doi.org/10.2139/ssrn.2083915
11. cf. Iordanescu, R.; Nichita, FF; Pasarescu, O. Teorías de la unificación: medios y fórmulas de Euler generalizadas. Axiomas 2020, 9, 144.

enlaces externos

• Arturo Lohwater (1982). "Introducción a las Desigualdades". Libro electrónico en línea en formato PDF.