Media cuadrática

Raíz cuadrada del cuadrado medio

En matemáticas y sus aplicaciones, la raíz cuadrática media de un conjunto de números (abreviada como RMS , RMS o rms y denotada en fórmulas como o o ) se define como la raíz cuadrada de la media cuadrática (la media aritmética de los cuadrados ) de el conjunto. ^[1] El RMS también se conoce como media cuadrática (denotada ) ^{[2] [3]} y es un caso particular de la media generalizada . El RMS de una función que varía continuamente (denominada ) se puede definir en términos de una integral de los cuadrados de los valores instantáneos durante un ciclo. ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle x_{\mathrm {RMS} }}$ ${\displaystyle \mathrm {RMS} _{x}}$ ${\displaystyle M_{2}}$ ${\displaystyle f_{\mathrm {RMS} }}$

Para corriente eléctrica alterna , RMS es igual al valor de la corriente continua constante que produciría la misma disipación de potencia en una carga resistiva . ^[1] En teoría de la estimación , la desviación cuadrática media de un estimador es una medida de la imperfección del ajuste del estimador a los datos.

Definición

El valor RMS de un conjunto de valores (o una forma de onda de tiempo continuo ) es la raíz cuadrada de la media aritmética de los cuadrados de los valores, o el cuadrado de la función que define la forma de onda continua. En física, el valor de corriente RMS también se puede definir como el "valor de la corriente continua que disipa la misma potencia en una resistencia".

En el caso de un conjunto de n valores , el RMS es ${\displaystyle \{x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\}}$

${\displaystyle x_{\text{RMS}}={\sqrt {{\frac {1}{n}}\left({x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2}+\cdots +{x_{n}}^{2}\right)}}.}$

La fórmula correspondiente para una función continua (o forma de onda) f ( t ) definida en el intervalo es ${\displaystyle T_{1}\leq t\leq T_{2}}$

${\displaystyle f_{\text{RMS}}={\sqrt {{1 \over {T_{2}-T_{1}}}{\int _{T_{1}}^{T_{2}}{[f(t)]}^{2}\,{\rm {d}}t}}},}$

y el RMS para una función en todo el tiempo es

${\displaystyle f_{\text{RMS}}=\lim _{T\rightarrow \infty }{\sqrt {{1 \over {2T}}{\int _{-T}^{T}{[f(t)]}^{2}\,{\rm {d}}t}}}.}$

El RMS durante todo el tiempo de una función periódica es igual al RMS de un período de la función. El valor RMS de una función o señal continua se puede aproximar tomando el RMS de una muestra que consta de observaciones equiespaciadas. Además, el valor RMS de varias formas de onda también se puede determinar sin cálculo , como muestra Cartwright. ^[4]

En el caso del estadístico RMS de un proceso aleatorio , se utiliza el valor esperado en lugar de la media.

En formas de onda comunes

Formas de onda sinusoidal , cuadrada , triangular y en diente de sierra . En cada uno, la línea central está en 0, el pico positivo está en y el pico negativo está en ${\displaystyle y=A_{1}}$ ${\displaystyle y=-A_{1}}$

Una onda de pulso rectangular de ciclo de trabajo D, la relación entre la duración del pulso ( ) y el período (T); ilustrado aquí con a = 1. ${\displaystyle \tau }$

Gráfico del voltaje de una onda sinusoidal frente al tiempo (en grados), que muestra los voltajes RMS, pico (PK) y pico a pico (PP).

Si la forma de onda es una onda sinusoidal pura , las relaciones entre amplitudes (pico a pico, pico) y RMS son fijas y conocidas, como lo son para cualquier onda periódica continua . Sin embargo, esto no es cierto para una forma de onda arbitraria, que puede no ser periódica ni continua. Para una onda sinusoidal de media cero, la relación entre RMS y la amplitud pico a pico es:

Pico a pico ${\displaystyle =2{\sqrt {2}}\times {\text{RMS}}\approx 2.8\times {\text{RMS}}.}$

Para otras formas de onda, las relaciones no son las mismas que para las ondas sinusoidales. Por ejemplo, para una onda triangular o en forma de diente de sierra:

Pico a pico ${\displaystyle =2{\sqrt {3}}\times {\text{RMS}}\approx 3.5\times {\text{RMS}}.}$

En combinaciones de formas de onda

Las formas de onda creadas sumando formas de onda simples conocidas tienen un valor RMS que es la raíz de la suma de los cuadrados de los valores RMS componentes, si las formas de onda componentes son ortogonales (es decir, si el promedio del producto de una forma de onda simple con otra es cero para todos los pares que no sean los tiempos de una forma de onda). ^[5]

${\displaystyle {\text{RMS}}_{\text{Total}}={\sqrt {{\text{RMS}}_{1}^{2}+{\text{RMS}}_{2}^{2}+\cdots +{\text{RMS}}_{n}^{2}}}}$

Alternativamente, para formas de onda que están perfectamente correlacionadas positivamente, o "en fase" entre sí, sus valores RMS se suman directamente.

Usos

en ingenieria electrica

Voltaje

Un caso especial de RMS de combinaciones de formas de onda es: ^[6]

${\displaystyle {\text{RMS}}_{\text{AC+DC}}={\sqrt {{\text{V}}_{\text{DC}}^{2}+{\text{RMS}}_{\text{AC}}^{2}}}}$

donde se refiere al componente de corriente continua (o promedio) de la señal, y es el componente de corriente alterna de la señal. ${\displaystyle {\text{V}}_{\text{DC}}}$ ${\displaystyle {\text{RMS}}_{\text{AC}}}$

Potencia eléctrica media

Los ingenieros eléctricos a menudo necesitan conocer la potencia , P , disipada por una resistencia eléctrica , R. Es fácil hacer el cálculo cuando hay una corriente constante , I , a través de la resistencia. Para una carga de R ohmios, la potencia viene dada por:

${\displaystyle P=I^{2}R.}$

Sin embargo, si la corriente es una función que varía en el tiempo, I ( t ), esta fórmula debe ampliarse para reflejar el hecho de que la corriente (y por tanto la potencia instantánea) varía con el tiempo. Si la función es periódica (como la energía de CA doméstica), aún tiene sentido discutir la potencia promedio disipada a lo largo del tiempo, que se calcula tomando la disipación de potencia promedio:

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{av}&=\left(I(t)^{2}R\right)_{av}&&{\text{where }}\left(\cdots \right)_{av}{\text{ denotes the temporal mean of a function}}\\[3pt]&=\left(I(t)^{2}\right)_{av}R&&{\text{(as }}R{\text{ does not vary over time, it can be factored out)}}\\[3pt]&=I_{\text{RMS}}^{2}R&&{\text{by definition of root-mean-square}}\end{aligned}}}$

Entonces, el valor RMS, I _RMS , de la función I ( t ) es la corriente constante que produce la misma disipación de potencia que la disipación de potencia promediada en el tiempo de la corriente I ( t ).

La potencia promedio también se puede encontrar usando el mismo método que en el caso de un voltaje variable en el tiempo , V ( t ), con valor RMS V _RMS ,

${\displaystyle P_{\text{Avg}}={V_{\text{RMS}}^{2} \over R}.}$

Esta ecuación se puede utilizar para cualquier forma de onda periódica , como una forma de onda sinusoidal o en diente de sierra , lo que nos permite calcular la potencia media entregada a una carga específica.

Al tomar la raíz cuadrada de ambas ecuaciones y multiplicarlas, se encuentra que la potencia es:

${\displaystyle P_{\text{Avg}}=V_{\text{RMS}}I_{\text{RMS}}.}$

Ambas derivaciones dependen de que el voltaje y la corriente sean proporcionales (es decir, la carga, R , es puramente resistiva). Las cargas reactivas (es decir, cargas capaces no solo de disipar energía sino también de almacenarla) se analizan en el tema de alimentación de CA.

En el caso común de corriente alterna, cuando I ( t ) es una corriente sinusoidal , como ocurre aproximadamente con la red eléctrica, el valor RMS es fácil de calcular a partir de la ecuación del caso continuo anterior. Si I _p se define como la corriente máxima, entonces:

${\displaystyle I_{\text{RMS}}={\sqrt {{1 \over {T_{2}-T_{1}}}\int _{T_{1}}^{T_{2}}\left[I_{\text{p}}\sin(\omega t)\right]^{2}dt}},}$

donde t es el tiempo y ω es la frecuencia angular ( ω  = 2 π / T , donde T es el período de la onda).

Como I _p es una constante positiva:

${\displaystyle I_{\text{RMS}}=I_{\text{p}}{\sqrt {{1 \over {T_{2}-T_{1}}}{\int _{T_{1}}^{T_{2}}{\sin ^{2}(\omega t)}\,dt}}}.}$

Usando una identidad trigonométrica para eliminar la elevación al cuadrado de la función trigonométrica:

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{\text{RMS}}&=I_{\text{p}}{\sqrt {{1 \over {T_{2}-T_{1}}}{\int _{T_{1}}^{T_{2}}{1-\cos(2\omega t) \over 2}\,dt}}}\\[3pt]&=I_{\text{p}}{\sqrt {{1 \over {T_{2}-T_{1}}}\left[{t \over 2}-{\sin(2\omega t) \over 4\omega }\right]_{T_{1}}^{T_{2}}}}\end{aligned}}}$

pero dado que el intervalo es un número entero de ciclos completos (según la definición de RMS), los términos del seno se cancelarán, dejando:

${\displaystyle I_{\text{RMS}}=I_{\text{p}}{\sqrt {{1 \over {T_{2}-T_{1}}}\left[{t \over 2}\right]_{T_{1}}^{T_{2}}}}=I_{\text{p}}{\sqrt {{1 \over {T_{2}-T_{1}}}{{T_{2}-T_{1}} \over 2}}}={I_{\text{p}} \over {\sqrt {2}}}.}$

Un análisis similar conduce a la ecuación análoga para el voltaje sinusoidal:

${\displaystyle V_{\text{RMS}}={V_{\text{p}} \over {\sqrt {2}}},}$

donde I _{P representa} la corriente máxima y VP representa el voltaje máximo.

Debido a su utilidad para realizar cálculos de potencia, los voltajes listados para tomas de corriente (por ejemplo, 120  V en EE. UU. o 230  V en Europa) casi siempre se indican en valores RMS y no en valores pico. Los valores máximos se pueden calcular a partir de los valores RMS de la fórmula anterior, lo que implica _VP =  V  RMS _×  √  2 , suponiendo que la fuente es una onda sinusoidal pura. Por tanto, el valor máximo de la tensión de red en EE. UU. es de aproximadamente 120 ×  √ 2 , o aproximadamente 170 voltios. El voltaje pico a pico, siendo el doble, es de unos 340 voltios. Un cálculo similar indica que la tensión de red máxima en Europa es de unos 325 voltios, y la tensión de red de pico a pico, de unos 650 voltios.

Las cantidades RMS, como la corriente eléctrica, normalmente se calculan en un ciclo. Sin embargo, para algunos propósitos se requiere la corriente RMS durante un período más largo al calcular las pérdidas de potencia de transmisión. Se aplica el mismo principio y (por ejemplo) una corriente de 10 amperios utilizada durante 12 horas cada día de 24 horas representa una corriente promedio de 5 amperios, pero una corriente RMS de 7,07 amperios, a largo plazo.

El término potencia RMS a veces se utiliza erróneamente (por ejemplo, en la industria del audio) como sinónimo de potencia media o potencia promedio (es proporcional al cuadrado del voltaje RMS o la corriente RMS en una carga resistiva). Para obtener información sobre las mediciones de potencia de audio y sus deficiencias, consulte Potencia de audio .

Velocidad

En la física de las moléculas de gas , la velocidad cuadrática media se define como la raíz cuadrada de la velocidad cuadrática promedio. La velocidad RMS de un gas ideal se calcula mediante la siguiente ecuación:

${\displaystyle v_{\text{RMS}}={\sqrt {3RT \over M}}}$

donde R representa la constante del gas , 8,314 J/(mol·K), T es la temperatura del gas en kelvins y M es la masa molar del gas en kilogramos por mol. En física, la velocidad se define como la magnitud escalar de la velocidad. Para un gas estacionario, la velocidad promedio de sus moléculas puede ser del orden de miles de km/h, aunque la velocidad promedio de sus moléculas sea cero.

Error

Cuando se comparan dos conjuntos de datos (un conjunto de predicción teórica y el otro de la medición real de alguna variable física, por ejemplo), el RMS de las diferencias por pares de los dos conjuntos de datos puede servir como medida de hasta qué punto, en promedio, el error es de 0. La media de los valores absolutos de las diferencias por pares podría ser una medida útil de la variabilidad de las diferencias. Sin embargo, el RMS de las diferencias suele ser la medida preferida, probablemente debido a convenciones matemáticas y compatibilidad con otras fórmulas.

En el dominio de la frecuencia

El RMS se puede calcular en el dominio de la frecuencia, utilizando el teorema de Parseval . Para una señal muestreada , ¿dónde está el período de muestreo? ${\displaystyle x[n]=x(t=nT)}$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}{x^{2}[n]}={\frac {1}{N}}\sum _{m=1}^{N}\left|X[m]\right|^{2},}$

donde y N es el tamaño de la muestra, es decir, el número de observaciones en la muestra y los coeficientes de FFT. ${\displaystyle X[m]=\operatorname {FFT} \{x[n]\}}$

En este caso, el RMS calculado en el dominio del tiempo es el mismo que en el dominio de la frecuencia:

${\displaystyle {\text{RMS}}\{x[n]\}={\sqrt {{\frac {1}{N}}\sum _{n}{x^{2}[n]}}}={\sqrt {{\frac {1}{N^{2}}}\sum _{m}{{\bigl |}X[m]{\bigr |}}^{2}}}={\sqrt {\sum _{m}{\left|{\frac {X[m]}{N}}\right|^{2}}}}.}$

Relación con otras estadísticas

Prueba geométrica sin palabras de que max  ( a , b ) > media cuadrática ( RMS ) o media cuadrática ( QM ) > media aritmética ( AM ) > media geométrica ( GM ) > media armónica ( HM ) > min  ( a , b ) de dos números positivos distintos a y b ^{[nota 1]}

Si es la media aritmética y es la desviación estándar de una población o de una forma de onda , entonces: ^[7] ${\displaystyle {\bar {x}}}$ ${\displaystyle \sigma _{x}}$

${\displaystyle x_{\text{rms}}^{2}={\overline {x}}^{2}+\sigma _{x}^{2}={\overline {x^{2}}}.}$

De esto queda claro que el valor RMS es siempre mayor o igual que el promedio, en el sentido de que el RMS incluye también el "error"/desviación cuadrada.

Los científicos físicos suelen utilizar el término media cuadrática como sinónimo de desviación estándar cuando se puede suponer que la señal de entrada tiene media cero, es decir, refiriéndose a la raíz cuadrada de la desviación cuadrática media de una señal desde una línea de base o ajuste determinado. ^{[8] [9]} Esto es útil para los ingenieros eléctricos al calcular el RMS "solo CA" de una señal. Siendo la desviación estándar el RMS de la variación de una señal con respecto a la media, en lugar de aproximadamente 0, se elimina el componente de CC (es decir, RMS(señal) = stdev(señal) si la señal media es 0).

Ver también

• Suma en cuadratura
• Valor medio rectificado (ARV)
• Momento central
• Significado geometrico
• norma L2
• mínimos cuadrados
• Lista de símbolos matemáticos
• Desplazamiento medio cuadrático
• Convertidor RMS verdadero

Notas

1. Si AC = a y BC = b . OC = AM de a y b , y radio r = QO = OG.
   Usando el teorema de Pitágoras , QC² = QO² + OC² ∴ QC = √ QO² + OC² = QM .
   Usando el teorema de Pitágoras, OC² = OG² + GC² ∴ GC = √ OC² − OG² = GM .
   Usando triángulos semejantes ,HC/GC=GC/jefe∴ HC =GC²/jefe= HM .

Referencias

1. "Valor cuadrático medio". Un diccionario de física (6 ed.). Prensa de la Universidad de Oxford. 2009.ISBN _ 9780199233991.
2. Thompson, Sylvanus P. (1965). Cálculo simplificado. Educación Superior Internacional Macmillan. pag. 185.ISBN _ 9781349004874. Consultado el 5 de julio de 2020 .^{[ enlace muerto permanente ]}
3. Jones, Alan R. (2018). Probabilidad, estadística y otras cosas aterradoras. Rutledge. pag. 48.ISBN _ 9781351661386. Consultado el 5 de julio de 2020 .
4. Cartwright, Kenneth V (otoño de 2007). "Determinación del voltaje efectivo o RMS de varias formas de onda sin cálculo" (PDF) . Interfaz tecnológica . 8 (1): 20 páginas.
5. Nastase, Adrian S. "Cómo derivar el valor RMS de formas de onda cuadradas y de pulso". MasteringElectronicsDesign.com . Consultado el 21 de enero de 2015 .
6. "Realice mejores mediciones de CA RMS con su multímetro digital" (PDF) . Vista clave . Archivado desde el original (PDF) el 15 de enero de 2019 . Consultado el 15 de enero de 2019 .
7. Chris C. Bissell; David A. Chapman (1992). Transmisión de señales digitales (2ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 64.ISBN _ 978-0-521-42557-5.
8. Weisstein, Eric W. "Raíz cuadrática media". MundoMatemático .
9. "RAÍZ, TH1: GetRMS". Archivado desde el original el 30 de junio de 2017 . Consultado el 18 de julio de 2013 .

enlaces externos

• Un caso de por qué RMS es un nombre inapropiado cuando se aplica a la potencia de audio
• Un subprograma de Java sobre cómo aprender RMS