Onda sinusoidal

Una onda sinusoidal , onda sinusoidal o sinusoide (símbolo: ∿ ) es una onda periódica cuya forma de onda es la función seno trigonométrica . En mecánica , como movimiento lineal en el tiempo, se trata de un movimiento armónico simple ; como rotación , corresponde a un movimiento circular uniforme . Las ondas sinusoidales ocurren con frecuencia en física , incluidas las ondas de viento , las ondas de sonido y las ondas de luz , como la radiación monocromática . En ingeniería , procesamiento de señales y matemáticas , el análisis de Fourier descompone funciones generales en una suma de ondas sinusoidales de varias frecuencias, fases relativas y magnitudes.

Cuando dos ondas sinusoidales cualesquiera de la misma frecuencia (pero de fase arbitraria ) se combinan linealmente , el resultado es otra onda sinusoidal de la misma frecuencia; esta propiedad es única entre las ondas periódicas. Por el contrario, si se elige alguna fase como referencia cero, una onda sinusoidal de fase arbitraria se puede escribir como la combinación lineal de dos ondas sinusoidales con fases de cero y un cuarto de ciclo, las componentes seno y coseno , respectivamente.

Ejemplo de audio

Onda sinusoidal

Cinco segundos de una onda sinusoidal de 220 Hz. Esta es la onda sonora descrita por una función sinusoidal con f = 220 oscilaciones por segundo.

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Una onda sinusoidal representa una frecuencia única sin armónicos y se considera un tono acústicamente puro . Agregar ondas sinusoidales de diferentes frecuencias da como resultado una forma de onda diferente. La presencia de armónicos más altos además de los fundamentales causa variación en el timbre , razón por la cual el mismo tono musical tocado en diferentes instrumentos suena diferente.

forma sinusoide

Las ondas sinusoidales de fase y amplitud arbitrarias se denominan sinusoides y tienen la forma general: ^[1]

y(t)=A\sin(\omega t+\varphi )=A\sin(2\pi ft+\varphi )

$A$ , amplitud , la desviación máxima de la función desde cero.
$t$ , la variable independiente real , que normalmente representa el tiempo en segundos .
${\displaystyle\omega}$ , frecuencia angular , tasa de cambio del argumento de la función en unidades de radianes por segundo .
$f$ , frecuencia ordinaria , el número de oscilaciones ( ciclos ) que ocurren cada segundo de tiempo.
$\varphi$ , fase , especifica (en radianes ) en qué parte de su ciclo la oscilación está en t = 0.
- Cuando es distinto de cero, toda la forma de onda parece desplazarse hacia atrás en el tiempo en segundos. Un valor negativo representa un retraso y un valor positivo representa un avance. $\varphi$ ${\tfrac {\varphi }{\omega }}$
- Sumar o restar (un ciclo) a la fase da como resultado una onda equivalente. $2\pi$

En función tanto de la posición como del tiempo.

El desplazamiento de un sistema resorte-masa no amortiguado que oscila alrededor del equilibrio a lo largo del tiempo es una onda sinusoidal.

Las sinusoides que existen tanto en posición como en tiempo también tienen:

una variable espacial que representa la posición en la dimensión en la que se propaga la onda. $x$
un número de onda (o número de onda angular) , que representa la proporcionalidad entre la frecuencia angular y la velocidad lineal ( velocidad de propagación ) : $k$ ${\displaystyle\omega}$ $v$
- El número de onda está relacionado con la frecuencia angular, donde ( lambda ) es la longitud de onda . ${\textstyle k{=}{\frac {\omega }{v}}{=}{\frac {2\pi f}{v}}{=}{\frac {2\pi }{\lambda }} }$ ${\displaystyle\lambda}$

Dependiendo de su dirección de viaje, pueden tomar la forma:

$y(x,t)=A\sin(kx-\omega t+\varphi)$ , si la onda se mueve hacia la derecha, o
$y(x,t)=A\sin(kx+\omega t+\varphi)$ , si la onda se mueve hacia la izquierda.

Dado que las ondas sinusoidales se propagan sin cambiar de forma en sistemas lineales distribuidos , ^{[ se necesita definición ]} a menudo se utilizan para analizar la propagación de ondas .

Ondas estacionarias

Cuando dos ondas con la misma amplitud y frecuencia que viajan en direcciones opuestas se superponen , se crea un patrón de onda estacionaria .

En una cuerda pulsada, las ondas superpuestas son las ondas reflejadas desde los puntos finales fijos de la cuerda. Las frecuencias resonantes de la cuerda son las únicas ondas estacionarias posibles de la cuerda, que solo ocurren para longitudes de onda que son el doble de la longitud de la cuerda (correspondiente a la frecuencia fundamental ) y divisiones enteras de esa (correspondiente a armónicos más altos).

Múltiples dimensiones espaciales

La ecuación anterior da el desplazamiento de la onda en una posición en el tiempo a lo largo de una sola línea. Esto podría considerarse, por ejemplo, el valor de una onda a lo largo de un cable. $y$ $x$ $t$

En dos o tres dimensiones espaciales, la misma ecuación describe una onda plana viajera si la posición y el número de onda se interpretan como vectores y su producto como un producto escalar . Para ondas más complejas, como la altura de una ola de agua en un estanque después de dejar caer una piedra, se necesitan ecuaciones más complejas. $x$ $k$

Onda plana sinusoidal

En física , una onda plana sinusoidal es un caso especial de onda plana : un campo cuyo valor varía en función sinusoidal del tiempo y de la distancia desde algún plano fijo. También se le llama onda plana monocromática, de frecuencia constante (como en la radiación monocromática ).

análisis de Fourier

El matemático francés Joseph Fourier descubrió que las ondas sinusoidales se pueden sumar como simples bloques de construcción para aproximarse a cualquier forma de onda periódica, incluidas las ondas cuadradas . Estas series de Fourier se utilizan frecuentemente en el procesamiento de señales y el análisis estadístico de series temporales . Luego, la transformada de Fourier amplió las series de Fourier para manejar funciones generales y dio origen al campo del análisis de Fourier .

Diferenciación e integración

Diferenciación

Diferenciar cualquier sinusoide desplazará la fase de la sinusoide hacia atrás en radianes (o en un ciclo) y multiplicará su amplitud por su frecuencia: ${\tfrac {\pi }{2}}$ ${\tfrac {1}{4}}$

${\begin{alineado}{\frac {d}{dt}}[A\sin(\omega t+\varphi )]&=A\omega \cos(\omega t+\varphi )\\&=A \omega \sin(\omega t+\varphi +{\tfrac {\pi }{2}})\,.\end{aligned}}$

La diferenciación es efectivamente un filtro de paso alto ^{de primer} orden sin una frecuencia de corte .

Integración

La integración de cualquier sinusoide desplazará la fase de la sinusoide hacia adelante en radianes (o de un ciclo) y dividirá su amplitud por su frecuencia: ${\tfrac {\pi }{2}}$ ${\tfrac {1}{4}}$

${\begin{aligned}\int A\sin(\omega t+\varphi )dt&=-{\frac {A}{\omega }}\cos(\omega t+\varphi )+C\\&= -{\frac {A}{\omega }}\sin(\omega t+\varphi +{\tfrac {\pi }{2}})+C\\&={\frac {A}{\omega }} \sin(\omega t+\varphi -{\tfrac {\pi }{2}})+C\,.\end{aligned}}$

La integración es efectivamente un filtro de paso bajo ^{de primer} orden sin una frecuencia de corte . La constante de integración será cero si el intervalo de integración es un múltiplo entero del período de la sinusoide. $C$

Ver también

Referencias

^ Smith, Julio Orión. "Sinusoides". ccrma.stanford.edu . Consultado el 5 de enero de 2024 .

enlaces externos

"Onda sinusoidal". Misterios Matemáticos . 2021-11-17 . Consultado el 30 de septiembre de 2022 .