Medios pitagóricos

Medias clásicas estudiadas en la antigua Grecia

Una construcción geométrica de la media cuadrática y la media pitagórica (de dos números a y b ). Media armónica denotada por  H , geométrica por  G , aritmética por  A y media cuadrática (también conocida como media cuadrática ) denotada por  P.​

Comparación de las medias aritméticas, geométricas y armónicas de un par de números. Las líneas discontinuas verticales son asíntotas de las medias armónicas.

En matemáticas, las tres medias pitagóricas clásicas son la media aritmética (AM), la media geométrica (GM) y la media armónica (HM). Estos medios fueron estudiados con proporciones por los pitagóricos y generaciones posteriores de matemáticos griegos ^[1] debido a su importancia en la geometría y la música.

Definición

Están definidos por:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {AM} \left(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n}\right)&={\frac {x_{1}+\;\cdots \;+x_{n}}{n}}\\[9pt]\operatorname {GM} \left(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n}\right)&={\sqrt[{n}]{\left\vert x_{1}\times \,\cdots \,\times x_{n}\right\vert }}\\[9pt]\operatorname {HM} \left(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n}\right)&={\frac {n}{\displaystyle {\frac {1}{x_{1}}}+\;\cdots \;+{\frac {1}{x_{n}}}}}\end{aligned}}}$$

Propiedades

Cada media, , tiene las siguientes propiedades: ${\textstyle \operatorname {M} }$

Homogeneidad de primer orden

${\displaystyle \operatorname {M} (bx_{1},\,\ldots ,\,bx_{n})=b\operatorname {M} (x_{1},\,\ldots ,\,x_{n})}$

Invariancia bajo intercambio

${\displaystyle \operatorname {M} (\ldots ,\,x_{i},\,\ldots ,\,x_{j},\,\ldots )=\operatorname {M} (\ldots ,\,x_{j},\,\ldots ,\,x_{i},\,\ldots )}$

para cualquiera y . ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$

monotonicidad

${\displaystyle a\leq b\rightarrow \operatorname {M} (a,x_{1},x_{2},\ldots x_{n})\leq \operatorname {M} (b,x_{1},x_{2},\ldots x_{n})}$

Idempotencia

${\displaystyle \forall x,\;M(x,x,\ldots x)=x}$

La monotonía y la idempotencia juntas implican que la media de un conjunto siempre se encuentra entre los extremos del conjunto:

$${\displaystyle \min(x_{1},\,\ldots ,\,x_{n})\leq \operatorname {M} (x_{1},\,\ldots ,\,x_{n})\leq \max(x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}).}$$

Las medias armónicas y aritméticas son duales recíprocas entre sí para argumentos positivos,

$${\displaystyle \operatorname {HM} \left({\frac {1}{x_{1}}},\,\ldots ,\,{\frac {1}{x_{n}}}\right)={\frac {1}{\operatorname {AM} \left(x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right)}},}$$

mientras que la media geométrica es su propio dual recíproco:

$${\displaystyle \operatorname {GM} \left({\frac {1}{x_{1}}},\,\ldots ,\,{\frac {1}{x_{n}}}\right)={\frac {1}{\operatorname {GM} \left(x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right)}}.}$$

Desigualdades entre medias

Prueba geométrica sin palabras de que max  ( a , b ) > media cuadrática ( RMS ) o media cuadrática ( QM ) > media aritmética ( AM ) > media geométrica ( GM ) > media armónica ( HM ) > min  ( a , b ) de dos números positivos distintos a y b ^{[nota 1]}

Hay un ordenamiento de estos medios (si todos son positivos) ${\displaystyle x_{i}}$

$${\displaystyle \min \leq \operatorname {HM} \leq \operatorname {GM} \leq \operatorname {AM} \leq \max }$$

${\displaystyle x_{i}}$

Ésta es una generalización de la desigualdad de medias aritméticas y geométricas y un caso especial de desigualdad de medias generalizadas . La prueba se deriva de la desigualdad media aritmético-geométrica , y la dualidad recíproca ( y también son duales recíprocas entre sí). ${\displaystyle \operatorname {AM} \leq \max }$ ${\displaystyle \min }$ ${\displaystyle \max }$

El estudio de las medias pitagóricas está estrechamente relacionado con el estudio de la mayorización y las funciones Schur-convexas . Las medias armónicas y geométricas son funciones simétricas cóncavas de sus argumentos y, por tanto, cóncavas de Schur, mientras que la media aritmética es una función lineal de sus argumentos y, por tanto, es a la vez cóncava y convexa.

Historia

Casi todo lo que sabemos sobre las medias pitagóricas proviene de manuales de aritmética escritos en los siglos I y II. Nicómaco de Gerasa dice que fueron "reconocidos por todos los antiguos, Pitágoras, Platón y Aristóteles". ^[2] Su uso más antiguo conocido es un fragmento del filósofo pitagórico Arquitas de Tarento :

Hay tres medios en la música: uno es la aritmética, el segundo es el geométrico, el tercero es el subcontrario, al que llaman armónico. La media es aritmética cuando tres términos están en proporción tal que el exceso en que el primero excede al segundo es aquel en que el segundo excede al tercero. En esta proporción resulta que el intervalo de los términos mayores es menor, pero el de los términos menores mayor. La media es geométrica cuando son tales que así como el primero es al segundo, así el segundo es al tercero. De estos términos, el mayor y el menor tienen igual el intervalo entre ellos. Subcontrario, que llamamos armónico, es el medio cuando son tales que, por cualquier parte de sí mismo que el primer término exceda al segundo, en esa parte del tercero el término medio exceda al tercero. Resulta que en esta proporción el intervalo entre los términos mayores es mayor y el de los términos menores es menor. ^[3]

El nombre "medio armónico", según Jámblico , fue acuñado por Arquitas e Hippaso . Los medios pitagóricos también aparecen en el Timeo de Platón . Otra evidencia de su uso temprano es un comentario de Pappus .

Fue [...] Teeteto quien distinguió las potencias conmensurables en longitud de las inconmensurables, y quien dividió las líneas irracionales más generalmente conocidas según los diferentes medios, asignando las líneas medias a la geometría, el binomio a la aritmética, y el apótomo de la armonía, como afirma Eudemo el peripatético. ^[4]

El término "media" (μεσότης, mesótēs en griego antiguo) aparece en los manuales de aritmética neopitagórica en relación con el término "proporción" (ἀναλογία, analogía en griego antiguo). ^{[ cita necesaria ]}

Medios enteros positivos distintos más pequeños

De todos los pares de números naturales diferentes de la forma ( a , b ) tales que a < b , el más pequeño (como se define por el valor mínimo de a + b ) para el cual las medias aritméticas, geométricas y armónicas son también números naturales son ( 5, 45) y (10, 40). ^[5]

Ver también

• Media aritmética-geométrica
• Promedio
• proporción áurea
• triángulo de kepler

Notas

1. Si AC = a y BC = b . OC = AM de a y b , y radio r = QO = OG.
   Usando el teorema de Pitágoras , QC² = QO² + OC² ∴ QC = √ QO² + OC² = QM .
   Usando el teorema de Pitágoras, OC² = OG² + GC² ∴ GC = √ OC² − OG² = GM .
   Usando triángulos semejantes ,HC/GC=GC/jefe∴ HC =GC²/jefe= HM .

Referencias

1. Brezo, Thomas. Historia de las matemáticas griegas antiguas .
2. Gerasa.), Nicomachus (de (1926). Introducción a la aritmética. Macmillan.
3. Huffman, Carl (2005). Arquitas de Tarento: rey pitagórico, filósofo y matemático . Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 163.ISBN​ 1139444077.
4. Huffman, Carl (2014). Una historia del pitagorismo . Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 168.ISBN​ 978-1139915984.
5. Departamento de Matemáticas de Virginia Tech, 39.º VTRMC, 2017, Soluciones, parte 5

enlaces externos

• Cantrell, David W. "Medios pitagóricos". MundoMatemático .