Media contraarmónica

En matemáticas, una media contraarmónica es una función complementaria a la media armónica . La media contraarmónica es un caso especial de la media de Lehmer , donde p = 2. $Estilo de visualización L_{p}$

Definición

La media contraarmónica de un conjunto de números reales positivos ^[1] se define como la media aritmética de los cuadrados de los números dividida por la media aritmética de los números: ${\begin{aligned}\operatorname {C} \left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)&={{1 \sobre n}\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}\right) \sobre {1 \sobre n}\left(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}\right)},\\[3pt]&={{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}} \sobre {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}}.\end{aligned}}$

Fórmulas de dos variables

De las fórmulas para la media aritmética y la media armónica de dos variables tenemos: ${\begin{aligned}\operatorname {A} (a,b)&={{a+b} \over 2}\\\operatorname {H} (a,b)&={1 \over {{1 \over 2}\cdot {\left({1 \over a}+{1 \over b}\right)}}}={{2ab} \over {a+b}}\\\operatorname {C} (a,b)&=2\cdot A(a,b)-H(a,b)\\&=a+b-{{2ab} \over {a+b}}={{(a+b)^{2}-2ab} \over {a+b}}\\&={{a^{2}+b^{2}} \over {a+b}}\end{aligned}}$

Nótese que para dos variables el promedio de las medias armónica y contraarmónica es exactamente igual a la media aritmética:

A (H (a, b), C (a, b)) = A (a, b)

A medida que a se acerca a 0, entonces H ( a , b ) también se acerca a 0. La media armónica es muy sensible a valores bajos. Por otro lado, la media contraarmónica es sensible a valores mayores, por lo que cuando a se acerca a 0, entonces C ( a , b ) se acerca a b (por lo que su promedio sigue siendo A ( a , b )).

Existen otras dos relaciones notables entre las medias de dos variables. En primer lugar, la media geométrica de las medias aritmética y armónica es igual a la media geométrica de los dos valores: $\operatorname {G} (\operatorname {A} (a,b),\operatorname {H} (a,b))=\operatorname {G} \left({{a+b} \over 2},{{2ab} \over {a+b}}\right)={\sqrt {{{a+b} \over 2}\cdot {{2ab} \over {a+b}}}}={\sqrt {ab}}=\operatorname {G} (a,b)$

La segunda relación es que la media geométrica de las medias aritmética y contraarmónica es la raíz cuadrada media: ${\begin{aligned}&\operatorname {G} \left(\operatorname {A} (a,b),\operatorname {C} (a,b)\right)={}\operatorname {G} \left({{a+b} \over 2},{{a^{2}+b^{2}} \over {a+b}}\right)\\={}&{\sqrt {{{a+b} \over 2}\cdot {{a^{2}+b^{2}} \over {a+b}}}}={}{\sqrt {{a^{2}+b^{2}} \over 2}}\\[2pt]={}&\operatorname {R} (a,b)\end{aligned}}$

La media contraarmónica de dos variables se puede construir geométricamente utilizando un trapezoide. ^[2]

Construcciones adicionales

La media contraarmónica se puede construir sobre un círculo de manera similar a como se construyen las medias pitagóricas de dos variables. ^[3] La media contraarmónica es el resto del diámetro sobre el que se encuentra la media armónica. ^[4]

Historia

La media contraarmónica fue descubierta por el matemático griego Eudoxo en el siglo IV a. C. ^[5]

Propiedades

Es fácil demostrar que esto satisface las propiedades características de una media de alguna lista de valores : ${\textstyle \mathbf {x} }$

$\min \left(\mathbf {x} \right)\leq \operatorname {C} \left(\mathbf {x} \right)\leq \max \left(\mathbf {x} \right)$
$\operatorname {C} \left(t\cdot \mathbf {x} _{1},t\cdot \mathbf {x} _{2},\,\dots ,\,t\cdot \mathbf {x} _{n}\right)=t\cdot C\left(\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\,\dots ,\,\mathbf {x} _{n}\right){\text{ for }}t>0$

La primera propiedad implica la propiedad del punto fijo , es decir, para todo k > 0,

C (k, k, ..., k) = k

La media contraarmónica tiene un valor mayor que la media aritmética y también que la raíz cuadrada media : donde x es una lista de valores, H es la media armónica, G es la media geométrica , L es la media logarítmica , A es la media aritmética , R es la raíz cuadrada media y C es la media contraarmónica. A menos que todos los valores de x sean iguales, los signos ≤ anteriores se pueden reemplazar por <. $\min(\mathbf {x} )\leq \operatorname {H} (\mathbf {x} )\leq \operatorname {G} (\mathbf {x} )\leq \operatorname {L} (\mathbf {x} )\leq \operatorname {A} (\mathbf {x} )\leq \operatorname {R} (\mathbf {x} )\leq \operatorname {C} (\mathbf {x} )\leq \max(\mathbf {x} )$

El nombre contraarmónico puede deberse al hecho de que al tomar la media de sólo dos variables, la media contraarmónica es tan alta por encima de la media aritmética como la media aritmética es por encima de la media armónica (es decir, la media aritmética de las dos variables es igual a la media aritmética de sus medias armónica y contraarmónica).

Relación con la media aritmética y la varianza

La media contraarmónica de una variable aleatoria es igual a la suma de la media aritmética y la varianza dividida por la media aritmética. ^[6] Dado que la varianza siempre es ≥0, la media contraarmónica siempre es mayor o igual a la media aritmética.

La relación entre la varianza y la media fue propuesta como estadística de prueba por Clapham. ^[7] Esta estadística es la media contraarmónica menos uno.

Otras relaciones

Cualquier media contraarmónica de dos números enteros positivos diferentes es la hipotenusa de una terna pitagórica , mientras que cualquier hipotenusa de una terna pitagórica es una media contraarmónica de dos números enteros positivos diferentes. ^[8]

También está relacionado con la estadística de Katz ^[^9] donde m es la media, s2 la varianza y n es el tamaño de la muestra. $J_{n}={\sqrt {\frac {n}{2}}}{\frac {s^{2}-m}{m}}$

J _n se distribuye normalmente asintóticamente con una media de cero y una varianza de 1.

Usos en estadística

El problema de una muestra con sesgo de tamaño fue analizado por Cox en 1969 en un problema de muestreo de fibras. La expectativa de una muestra con sesgo de tamaño es igual a su media contraarmónica ^[10] y la media contraarmónica también se utiliza para estimar campos de sesgo en modelos multiplicativos , en lugar de la media aritmética como se utiliza en modelos aditivos ^[11] .

La media contraarmónica se puede utilizar para promediar el valor de intensidad de los píxeles vecinos en los gráficos, a fin de reducir el ruido en las imágenes y hacerlas más claras para el ojo. ^[12]

La probabilidad de que una fibra sea muestreada es proporcional a su longitud. Debido a esto, la media muestral habitual (media aritmética) es un estimador sesgado de la media verdadera. Para ver esto, considere donde f ( x ) es la distribución poblacional verdadera, g ( x ) es la distribución ponderada por longitud y m es la media muestral. Tomando la expectativa habitual de la media aquí, se obtiene la media contraarmónica en lugar de la media (aritmética) habitual de la muestra. ^[13] Este problema se puede superar tomando en su lugar la expectativa de la media armónica (1/ x ). La expectativa y la varianza de 1/ x son y tiene varianza donde $E$ es el operador de expectativa. Asintóticamente, $E[1/$ $x$ $]$ se distribuye normalmente. $g(x)={\frac {xf(x)}{m}}$ $\operatorname {E} \left[{\frac {1}{x}}\right]={\frac {1}{m}}$ $\operatorname {Var} \left({\frac {1}{x}}\right)={\frac {mE\left[{\frac {1}{x}}-1\right]}{nm^{2}}}$

La eficiencia asintótica del muestreo con sesgo de longitud depende, en comparación con el muestreo aleatorio, de la distribución subyacente. Si f ( x ) es log normal, la eficiencia es 1, mientras que si la población tiene una distribución gamma con índice b , la eficiencia es $b /(b - 1)$ . Esta distribución se ha utilizado para modelar el comportamiento del consumidor ^[14], así como para el muestreo de calidad.

Se ha utilizado junto con la distribución exponencial en la planificación del transporte en forma de su inversa. ^[15]

Véase también

Referencias

^ Véase "Medias de números complejos" (PDF) . Texas College Mathematics Journal . 1 (1). 1 de enero de 2005. Archivado desde el original (PDF) el 9 de septiembre de 2006.
^ Umberger, Shannon. "Construcción de la media contraarmónica en un trapezoide". Universidad de Georgia .
^ Nelsen, Roger B. Pruebas sin palabras/Ejercicios de pensamiento visual . p. 56. ISBN 0-88385-700-6.
^ Slaev, Valery A.; Chunovkina, Anna G.; Mironovsky, Leonid A. (2019). Metrología y teoría de la medición . De Gruyter . p. 217. ISBN 9783110652505.
^ Antonio, C. (1998). Les Moyennes . París: Presses Unversitaires de France.
^ Kingley, Michael CS (1989). "La distribución de las focas anilladas que se encuentran en libertad: una interpretación de la ley de Taylor". Oecologia . 79 (79): 106–110. doi :10.1007/BF00378246. PMID 28312819.
^ Clapham, Arthur Roy (1936). "Sobredispersión en comunidades de pastizales y el uso de métodos estadísticos en ecología vegetal". The Journal of Ecology (14): 232. doi :10.2307/2256277. JSTOR 2256277.
^ Pahikkala, Jussi (2010). "Sobre la media contraarmónica y las ternas pitagóricas". Elemente der Mathematik . 65 (2): 62–67. doi :10.4171/em/141.
^ Katz, L. (1965). Tratamiento unificado de una amplia clase de distribuciones de probabilidad discretas . Actas del Simposio Internacional sobre Distribuciones Discretas. Montreal .
^ Zelen, Marvin (1972). Muestreo con sesgo de longitud y problemas biomédicos . Reunión de la Sociedad Biométrica. Dallas , Texas .
^ Banerjee, Abhirup; Maji, Pradipta (2013). Conjuntos aproximados para la corrección del campo de sesgo en imágenes de RM utilizando la media contraarmónica y el índice cuantitativo . Transacciones IEEE sobre imágenes médicas.
^ Mitra, Sabry (octubre de 2021). "Filtro medio contraarmónico". Kajian Ilmiah Informatika Dan Komputer . 2 (2): 75–79.
^ Sudman, Seymour (1980). Técnicas de muestreo por cuotas y procedimientos de ponderación para corregir el sesgo de frecuencia .
^ Keillor, Bruce D.; D'Amico, Michael; Horton, Verónica (2001). "Tendencias globales del consumidor". Psicología y marketing . 18 (1): 1–19. doi :10.1002/1520-6793(200101)18:1<1::AID-MAR1>3.0.CO;2-U.
^ Amreen, Mohammed; Venkateswarlu, Bandi (2024). "Una nueva forma de resolver problemas de transporte basada en la distribución exponencial y la media contraarmónica". Revista de Matemáticas Aplicadas e Informática . 42 (3): 647–661.

Enlaces externos

Proporción contraarmónica en PlanetMath .