Método de suma modificado aplicable a algunas series divergentes
En análisis matemático , la suma de Cesàro (también conocida como media de Cesàro [1] [2] o límite de Cesàro [3] ) asigna valores a algunas sumas infinitas que no son necesariamente convergentes en el sentido habitual. La suma de Cesàro se define como el límite, cuando n tiende a infinito, de la secuencia de medias aritméticas de las primeras n sumas parciales de la serie.
Este caso especial de método de sumabilidad de matrices lleva el nombre del analista italiano Ernesto Cesàro (1859-1906).
El término suma puede ser engañoso, ya que se puede decir que algunas declaraciones y pruebas sobre la suma de Cesàro implican la estafa de Eilenberg-Mazur . Por ejemplo, comúnmente se aplica a la serie de Grandi con la conclusión de que la suma de esa serie es 1/2.
Definición
Sea una secuencia y sea![{\displaystyle (a_{n})_{n=1}^{\infty }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle s_{k}=a_{1}+\cdots +a_{k}=\sum _{n=1}^{k}a_{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
sea su k- ésima suma parcial .
La sucesión ( an ) se llama Cesàro sumable , siendo Cesàro suma A ∈
, si, como n tiende a infinito, la media aritmética de sus primeras n sumas parciales s 1 , s 2 , ..., s n tiende a A :
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}s_{k}=A.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
El valor del límite resultante se llama suma de Cesàro de la serie. Si esta serie es convergente, entonces es sumable de Cesàro y su suma de Cesàro es la suma habitual.![{\displaystyle \textstyle \sum _ {n=1}^{\infty }a_ {n}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Ejemplos
Primer ejemplo
Sea a n = (−1) n para n ≥ 0 . Es decir, es la secuencia![{\displaystyle (a_{n})_{n=0}^{\infty }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (1,-1,1,-1,\ldots).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Sea G la serie
![{\displaystyle G=\sum _ {n=0}^{\infty }a_ {n}=1-1+1-1+1-\cdots }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
La serie G se conoce como serie de Grandi .
Denotemos la secuencia de sumas parciales de G :![{\displaystyle (s_{k})_{k=0}^{\infty }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}s_{k}&=\sum _{n=0}^{k}a_{n}\\(s_{k})&=(1,0,1,0, \ldots ).\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Esta secuencia de sumas parciales no converge, por lo que la serie G es divergente. Sin embargo, G es sumable para Cesàro. Sea la secuencia de medias aritméticas de las primeras n sumas parciales:![{\displaystyle (t_{n})_{n=1}^{\infty }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}t_{n}&={\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}s_{k}\\(t_{n} )&=\left({\frac {1}{1}},{\frac {1}{2}},{\frac {2}{3}},{\frac {2}{4}}, {\frac {3}{5}},{\frac {3}{6}},{\frac {4}{7}},{\frac {4}{8}},\ldots \right). \end{alineado}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Entonces
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }t_{n}=1/2,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
y por tanto, la suma de Cesàro de la serie G es 1/2 .
Segundo ejemplo
Como otro ejemplo, sea a n = n para n ≥ 1 . Es decir, es la secuencia![{\displaystyle (a_{n})_{n=1}^{\infty }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (1,2,3,4,\ldots).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Sea G ahora la serie
![{\displaystyle G=\sum _ {n=1}^{\infty }a_ {n}=1+2+3+4+\cdots }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Entonces la secuencia de sumas parciales es![{\displaystyle (s_{k})_{k=1}^{\infty }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (1,3,6,10,\ldots).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Dado que la secuencia de sumas parciales crece sin límite, la serie G diverge hasta el infinito. La secuencia ( t n ) de medias de sumas parciales de G es
![{\displaystyle \left({\frac {1}{1}},{\frac {4}{2}},{\frac {10}{3}},{\frac {20}{4}}, \ldots\right).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Esta secuencia también diverge hasta el infinito, por lo que G no es sumable por Cesàro. De hecho, para cualquier secuencia que diverja hasta el infinito (positivo o negativo), el método de Cesàro también conduce a una secuencia que diverge igualmente y, por lo tanto, dicha serie no es sumable por Cesàro.
(C, α ) sumatoria
En 1890, Ernesto Cesàro estableció una familia más amplia de métodos de suma que desde entonces se denominaron (C, α ) para números enteros no negativos α . El método (C, 0) es simplemente una suma ordinaria y (C, 1) es una suma de Cesàro como se describe anteriormente.
Los métodos de orden superior se pueden describir de la siguiente manera: dada una serie Σ a n , defina las cantidades
![{\displaystyle {\begin{aligned}A_{n}^{-1}&=a_{n}\\A_{n}^{\alpha }&=\sum _{k=0}^{n}A_ {k}^{\alpha -1}\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
(donde los índices superiores no denotan exponentes) y definen Eα
sustantivoser unα
sustantivopara la serie 1+0+0+0+… . Entonces la suma (C, α ) de Σ a n se denota por (C, α )-Σ a n y tiene el valor
![{\displaystyle (\mathrm {C} ,\alpha ){\text{-}}\sum _{j=0}^{\infty }a_{j}=\lim _{n\to \infty }{\ frac {A_{n}^{\alpha }}{E_{n}^{\alpha }}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
si existe (Shawyer y Watson 1994, pp.16-17). Esta descripción representa una aplicación iterada α veces del método de suma inicial y puede reformularse como
![{\displaystyle (\mathrm {C} ,\alpha ){\text{-}}\sum _{j=0}^{\infty }a_{j}=\lim _{n\to \infty }\sum _{j=0}^{n}{\frac {\binom {n}{j}}{\binom {n+\alpha }{j}}}a_{j}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Aún más generalmente, para α ∈ \ −![{\displaystyle \mathbb {R} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
, sea Aα
sustantivoestar implícitamente dado por los coeficientes de la serie
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }A_{n}^{\alpha }x^{n}={\frac {\displaystyle {\sum _{n=0}^{\infty }a_ {n}x^{n}}}{(1-x)^{1+\alpha }}},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
y Eα
sustantivocomo anteriormente. En particular, E.α
sustantivoson los coeficientes binomiales de potencia −1 − α . Entonces la suma (C, α ) de Σ a n se define como anteriormente.
Si Σ an tiene una suma (C, α ) , entonces también tiene una suma (C, β ) para cada β > α , y las sumas concuerdan; además tenemos a n = o ( n α ) si α > −1 (ver notación o pequeña ).
Cesàro sumabilidad de una integral
Sea α ≥ 0 . La integral es (C, α ) sumable si![{\displaystyle \textstyle \int _ {0}^{\infty }f(x)\,dx}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \lim _{\lambda \to \infty }\int _{0}^{\lambda }\left(1-{\frac {x}{\lambda }}\right)^{\alpha }f (x)\,dx}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
existe y es finito (Titchmarsh 1948, §1.15). El valor de este límite, si existe, es la suma (C, α ) de la integral. Análogamente al caso de la suma de una serie, si α = 0 , el resultado es la convergencia de la integral impropia . En el caso α = 1 , (C, 1) la convergencia equivale a la existencia del límite
![{\displaystyle \lim _{\lambda \to \infty }{\frac {1}{\lambda }}\int _{0}^{\lambda }\int _{0}^{x}f(y) \,dy\,dx}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
que es el límite de medias de las integrales parciales.
Como es el caso de las series, si una integral es (C, α ) sumable para algún valor de α ≥ 0 , entonces también es (C, β ) sumable para todo β > α , y el valor del límite resultante es el mismo.
Ver también
Referencias
- ^ Hardy, GH (1992). Serie Divergente . Providencia: Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 978-0-8218-2649-2.
- ^ Katznelson, Yitzhak (1976). Introducción al análisis armónico . Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-63331-2.
- ^ Henk C. Tijms (2003). Un primer curso de modelos estocásticos. John Wiley e hijos. pag. 439.ISBN 978-0-471-49880-3.
Bibliografía
- Shawyer, Bruce; Watson, Bruce (1994), Métodos de sumabilidad de Borel: teoría y aplicaciones , Oxford University Press, ISBN 0-19-853585-6
- Titchmarsh, EC (1948), Introducción a la teoría de las integrales de Fourier (2ª ed.), Nueva York, NY: Chelsea Publishing. Reimpreso en 1986 con ISBN 978-0-8284-0324-5 .
- Volkov, II (2001) [1994], "Métodos de suma de Cesàro", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- Zygmund, Antoni (1988) [1968], Serie trigonométrica (2ª ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-35885-9