Teorema de Silverman-Toeplitz

Teorema de los métodos de sumabilidad.

En matemáticas , el teorema de Silverman-Toeplitz , demostrado por primera vez por Otto Toeplitz , es un resultado de la teoría de sumabilidad que caracteriza los métodos de sumabilidad matricial que son regulares. Un método de sumabilidad matricial regular es una transformación matricial de una secuencia convergente que preserva el límite . ^[1]

Una matriz infinita con entradas de valores complejos define un método de sumabilidad regular si y sólo si satisface todas las siguientes propiedades: ${\displaystyle (a_{i,j})_{i,j\in \mathbb {N} }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\lim _{i\to \infty }a_{i,j}=0\quad j\in \mathbb {N} &&{\text{(Every column sequence converges to 0.)}}\\[3pt]&\lim _{i\to \infty }\sum _{j=0}^{\infty }a_{i,j}=1&&{\text{(The row sums converge to 1.)}}\\[3pt]&\sup _{i}\sum _{j=0}^{\infty }\vert a_{i,j}\vert <\infty &&{\text{(The absolute row sums are bounded.)}}\end{aligned}}}$

Un ejemplo es la suma de Cesaro , un método de sumabilidad de matrices con

${\displaystyle a_{mn}={\begin{cases}{\frac {1}{m}}&n\leq m\\0&n>m\end{cases}}={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0&\cdots \\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}&0&0&0&\cdots \\{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{3}}&0&0&\cdots \\{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{4}}&0&\cdots \\{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{5}}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \\\end{pmatrix}},}$

Referencias

Citas

1. Teorema de Silverman-Toeplitz, por Ruder, Brian, publicado en 1966, número de clasificación LD2668 .R4 1966 R915, editor Kansas State University, Internet Archive

Otras lecturas

• Toeplitz, Otto (1911) "Über allgemeine lineare Mittelbildungen". Alfombrilla de prace.-fiz. , 22 , 113-118 (el artículo original en alemán )
• Silverman, Louis Lazarus (1913) "Sobre la definición de la suma de una serie divergente". Estudios de la Universidad de Missouri, Matemáticas. Serie I, 1–96
• Hardy, GH (1949), Serie Divergente, Oxford: Clarendon Press, 43-48.
• Abucheos, Johann (2000). Métodos clásicos y modernos en sumabilidad. Nueva York: Oxford University Press. ISBN 019850165X.