media circular

Método para calcular valores medios.

En matemáticas y estadística , una media circular o media angular es una media diseñada para ángulos y cantidades cíclicas similares, como las horas del día , y partes fraccionarias de números reales .

Esto es necesario ya que la mayoría de los medios habituales pueden no ser adecuados para cantidades en forma de ángulo. Por ejemplo, la media aritmética de 0° y 360° es 180°, lo cual es engañoso porque 360° equivale a 0° módulo de un ciclo completo. ^[1] Como otro ejemplo, el "tiempo promedio" entre las 11 p. m. y la 1 a. m. es medianoche o mediodía, dependiendo de si los dos horarios son parte de una sola noche o de un solo día calendario.

La media circular es uno de los ejemplos más simples de estadística direccional y de estadística de espacios no euclidianos . Este cálculo produce un resultado diferente al de la media aritmética, siendo la diferencia mayor cuando los ángulos están ampliamente distribuidos. Por ejemplo, la media aritmética de los tres ángulos 0°, 0° y 90° es (0° + 0° + 90°) / 3 = 30°, pero la media vectorial es arctan(1/2) = 26,565° . Además, con la media aritmética la varianza circular sólo se define ±180°.

Definición

Dado que la media aritmética no siempre es apropiada para los ángulos, se puede utilizar el siguiente método para obtener tanto un valor medio como una medida de la varianza de los ángulos:

Convierta todos los ángulos a puntos correspondientes en el círculo unitario , por ejemplo, a . Es decir, convertir coordenadas polares a coordenadas cartesianas . Luego calcula la media aritmética de estos puntos. El punto resultante estará dentro del disco unitario pero generalmente no en el círculo unitario. Convierte ese punto nuevamente a coordenadas polares. El ángulo es una media razonable de los ángulos de entrada. El radio resultante será 1 si todos los ángulos son iguales. Si los ángulos están distribuidos uniformemente en el círculo, entonces el radio resultante será 0 y no existe una media circular. (De hecho, es imposible definir una operación media continua en el círculo). En otras palabras, el radio mide la concentración de los ángulos. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle (\cos \alpha ,\sin \alpha )}$

Dados los ángulos, una fórmula común de la media usando la variante atan2 de la función arcotangente es ${\displaystyle \alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}}$

${\displaystyle {\bar {\alpha }}=\operatorname {atan2} \left({\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}\sin \alpha _{j},{\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}\cos \alpha _{j}\right)=\operatorname {atan2} \left(\sum _{j=1}^{n}\sin \alpha _{j},\sum _{j=1}^{n}\cos \alpha _{j}\right)}$

Usando aritmética compleja

Se puede formular una definición equivalente utilizando números complejos :

${\displaystyle {\bar {\alpha }}=\arg \left({\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}\exp(i\cdot \alpha _{j})\right)=\arg \left(\sum _{j=1}^{n}\exp(i\cdot \alpha _{j})\right)}$.

Para hacer coincidir la derivación anterior usando medias aritméticas de puntos, las sumas tendrían que dividirse por . Sin embargo, la escala no importa para y , por lo que puede omitirse. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \operatorname {atan2} }$ ${\displaystyle \arg }$

Esto puede expresarse de manera más sucinta al darse cuenta de que los datos direccionales son, de hecho, vectores de longitud unitaria. En el caso de datos unidimensionales, estos puntos de datos se pueden representar convenientemente como números complejos de magnitud unitaria , donde es el ángulo medido. El vector resultante medio para la muestra es entonces: ${\displaystyle z=\cos(\theta )+i\,\sin(\theta )=e^{i\theta }}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle {\overline {\mathbf {\rho } }}={\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}z_{n}.}$

El ángulo medio muestral es entonces el argumento de la media resultante:

${\displaystyle {\overline {\theta }}=\operatorname {Arg} ({\overline {\mathbf {\rho } }}).}$

La longitud del vector resultante medio muestral es:

${\displaystyle {\overline {R}}=|{\overline {\mathbf {\rho } }}|}$

y tendrá un valor entre 0 y 1. Por lo tanto, el vector resultante medio de la muestra se puede representar como:

${\displaystyle {\overline {\mathbf {\rho } }}={\overline {R}}\,e^{i{\overline {\theta }}}.}$

También se utilizan cálculos similares para definir la varianza circular .

Propiedades

La media circular, ${\displaystyle {\bar {\alpha }}}$

• maximiza la probabilidad del parámetro medio de la distribución de von Mises y
• minimiza la suma de una cierta distancia en el círculo, más precisamente

${\displaystyle {\bar {\alpha }}={\underset {\beta }{\operatorname {argmin} }}\sum _{j=1}^{n}d(\alpha _{j},\beta ),{\text{ where }}d(\varphi ,\beta )=1-\cos(\varphi -\beta ).}$

La distancia es igual a la mitad de la distancia euclidiana al cuadrado entre los dos puntos del círculo unitario asociado con y . ${\displaystyle d(\varphi ,\beta )}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \beta }$

Ejemplo

Una forma sencilla de calcular la media de una serie de ángulos (en el intervalo [0°, 360°)) es calcular la media de los cosenos y senos de cada ángulo, y obtener el ángulo calculando la tangente inversa. Considere los siguientes tres ángulos como ejemplo: 10, 20 y 30 grados. Intuitivamente, calcular la media implicaría sumar estos tres ángulos y dividirlos por 3, lo que en este caso daría como resultado un ángulo medio correcto de 20 grados. Al girar este sistema en sentido antihorario 15 grados, los tres ángulos se convierten en 355 grados, 5 grados y 15 grados. La media aritmética ahora es 125 grados, que es la respuesta incorrecta, ya que debería ser 5 grados. La media vectorial se puede calcular de la siguiente manera, utilizando el seno medio y el coseno medio : ${\textstyle {\bar {\theta }}}$ ${\textstyle {\bar {s}}}$ ${\textstyle {\bar {c}}\not =0}$

${\displaystyle {\bar {s}}={\frac {1}{3}}(\sin(355^{\circ })+\sin(5^{\circ })+\sin(15^{\circ }))={\frac {1}{3}}(-0.087+0.087+0.259)\approx 0.086}$

${\displaystyle {\bar {c}}={\frac {1}{3}}(\cos(355^{\circ })+\cos(5^{\circ })+\cos(15^{\circ }))={\frac {1}{3}}(0.996+0.996+0.966)\approx 0.986}$

${\displaystyle {\bar {\theta }}=\left.{\begin{cases}\arctan \left({\frac {\bar {s}}{\bar {c}}}\right)&{\bar {s}}>0,\ {\bar {c}}>0\\\arctan \left({\frac {\bar {s}}{\bar {c}}}\right)+180^{\circ }&{\bar {c}}<0\\\arctan \left({\frac {\bar {s}}{\bar {c}}}\right)+360^{\circ }&{\bar {s}}<0,\ {\bar {c}}>0\end{cases}}\right\}=\arctan \left({\frac {0.086}{0.986}}\right)=\arctan(0.087)=5^{\circ }.}$

Implementación

En este código Python usamos las horas del día para encontrar el promedio circular de ellas:

importar  matematicasdef  media_circular ( horas ):  # Convertir horas a radianes  # Para convertir de horas a grados, necesitamos  # multiplicar la hora por 360/24 = 15.  radianes  =  [ math . radianes ( hora  *  15 )  por  hora  en  horas ] # Calcular la suma de los valores de sen y cos  sin_sum  =  sum ([ math . sin ( rad )  para  rad  en  radianes ])  cos_sum  =  sum ([ math . cos ( rad )  para  rad  en  radianes ]) # Calcular la media circular usando arctan2  mean_rad  =  math . atan2 ( suma_sin ,  suma_cos ) # Convertir la media nuevamente a horas  media_hora  =  ( math . grados ( media_rad )  /  15 )  %  24 devolver  media_hora# Uso de ejemplo: horas  =  [ 0 ,  12 ,  18 ] hora_media  =  media_circular ( horas ) print ( "Primera media circular:" ,  ronda ( hora_media ,  2 ))horas  =  [ 0 ,  12 ] hora_media  =  media_circular ( horas ) print ( "Media de la Segunda Circular: " ,  ronda ( hora_media ,  2 ))horas  =  [ 0 ,  0 ,  12 ,  12 ,  24 ] hora_media  =  media_circular ( horas ) print ( "Tercera circular media:" ,  round ( hora_media ,  2 ))

Generalizaciones

media esférica

Se extrae una serie de N vectores unitarios independientes a partir de una distribución de von Mises-Fisher. Las estimaciones de máxima verosimilitud de la dirección de la media son simplemente la media aritmética normalizada , una estadística suficiente : ^[2] ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle \mu ={\bar {x}}/{\bar {R}},{\text{where }}{\bar {x}}={\frac {1}{N}}\sum _{i}^{N}x_{i},{\text{and }}{\bar {R}}=\|{\bar {x}}\|,}$

Media esférica ponderada

Se puede definir una media esférica ponderada basándose en la interpolación lineal esférica . ^[3]

Ver también

• Centro de masa
• centroide
• Distribución circular
• Desviación estándar circular
• Estadísticas direccionales
• Fréchet significa

Referencias

1. Christopher M. Bishop: reconocimiento de patrones y aprendizaje automático (ciencias de la información y estadística) , ISBN  0-387-31073-8
2. Mardia, Kanti ; Jupp, PE (1999). Estadísticas direccionales . John Wiley & Sons Ltd. ISBN 978-0-471-95333-3.
3. Buss, Samuel R.; Fillmore, Jay P. (2001). "Promedios esféricos y aplicaciones a splines esféricos e interpolación". Transacciones ACM sobre gráficos . 20 (2). Asociación de Maquinaria de Computación (ACM): 95–126. doi :10.1145/502122.502124. ISSN  0730-0301.

Otras lecturas

• Jammalamadaka, S. Rao y SenGupta, A. (2001). Temas de estadísticas circulares , Sección 1.3, World Scientific Press, Singapur. ISBN 981-02-3778-2 
• Hotz, Thomas (2013). "Medios extrínsecos versus intrínsecos en el círculo". Apuntes de conferencias sobre informática . vol. 8085. Berlín, Heidelberg: Springer Berlín Heidelberg. págs. 433–440. doi :10.1007/978-3-642-40020-9_47. ISBN 978-3-642-40019-3. ISSN  0302-9743.

enlaces externos

• Circular Values ​​Math and Statistics con C++11, una infraestructura de C++11 para valores circulares (ángulos, hora del día, etc.) matemáticas y estadísticas