Distribución de von Mises

Distribución de probabilidad en el círculo

En teoría de probabilidad y estadística direccional , la distribución de von Mises (también conocida como distribución normal circular o distribución de Tikhonov ) es una distribución de probabilidad continua en el círculo . Es una aproximación cercana a la distribución normal envuelta , que es el análogo circular de la distribución normal . Un ángulo de difusión libre en un círculo es una variable aleatoria distribuida normalmente envuelta con una varianza desenvuelta que crece linealmente en el tiempo. Por otro lado, la distribución de von Mises es la distribución estacionaria de un proceso de deriva y difusión en el círculo en un potencial armónico, es decir, con una orientación preferida. ^[1] La distribución de von Mises es la distribución de máxima entropía para datos circulares cuando se especifican las partes reales e imaginarias del primer momento circular . La distribución de von Mises es un caso especial de la distribución de von Mises-Fisher en la esfera N -dimensional. ${\displaystyle \theta }$

Definición

La función de densidad de probabilidad de von Mises para el ángulo x viene dada por: ^[2]

${\displaystyle f(x\mid \mu ,\kappa )={\frac {\exp(\kappa \cos(x-\mu ))}{2\pi I_{0}(\kappa )}}}$

donde I ₀ ( ) es la función de Bessel modificada de primer tipo de orden 0, con esta constante de escala elegida de modo que la distribución sume la unidad: ${\displaystyle \kappa }$ ${\textstyle \int _{-\pi }^{\pi }\exp(\kappa \cos x)dx={2\pi I_{0}(\kappa )}.}$

Los parámetros μ y 1/ son análogos a μ y σ ² (la media y la varianza) en la distribución normal: ${\displaystyle \kappa }$

• μ es una medida de ubicación (la distribución se agrupa alrededor de μ ), y
• ${\displaystyle \kappa }$es una medida de concentración (una medida recíproca de dispersión , por lo que 1/ es análogo a σ ² ). ${\displaystyle \kappa }$
  • Si es cero, la distribución es uniforme y, para β pequeño , es cercana a uniforme. ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$
  • Si es grande, la distribución se vuelve muy concentrada alrededor del ángulo μ, siendo esta una medida de la concentración. De hecho, a medida que aumenta, la distribución se aproxima a una distribución normal en x   con media μ y varianza 1/ . ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$

La densidad de probabilidad se puede expresar como una serie de funciones de Bessel ^[3]

${\displaystyle f(x\mid \mu ,\kappa )={\frac {1}{2\pi }}\left(1+{\frac {2}{I_{0}(\kappa )}}\sum _{j=1}^{\infty }I_{j}(\kappa )\cos[j(x-\mu )]\right)}$

donde I _j ( x ) es la función de Bessel modificada de orden j .

La función de distribución acumulativa no es analítica y se obtiene mejor integrando las series anteriores. La integral indefinida de la densidad de probabilidad es:

${\displaystyle \Phi (x\mid \mu ,\kappa )=\int f(t\mid \mu ,\kappa )\,dt={\frac {1}{2\pi }}\left(x+{\frac {2}{I_{0}(\kappa )}}\sum _{j=1}^{\infty }I_{j}(\kappa ){\frac {\sin[j(x-\mu )]}{j}}\right).}$

La función de distribución acumulada será una función del límite inferior de integración x ₀ :

${\displaystyle F(x\mid \mu ,\kappa )=\Phi (x\mid \mu ,\kappa )-\Phi (x_{0}\mid \mu ,\kappa ).\,}$

Momentos

Los momentos de la distribución de von Mises se calculan habitualmente como los momentos de la exponencial compleja z = e ^ix en lugar del propio ángulo x . Estos momentos se denominan momentos circulares . La varianza calculada a partir de estos momentos se denomina varianza circular . La única excepción a esto es que la "media" suele referirse al argumento de la media compleja.

El n -ésimo momento bruto de z es:

${\displaystyle m_{n}=\langle z^{n}\rangle =\int _{\Gamma }z^{n}\,f(x|\mu ,\kappa )\,dx}$

${\displaystyle ={\frac {I_{|n|}(\kappa )}{I_{0}(\kappa )}}e^{in\mu }}$

donde la integral se encuentra sobre cualquier intervalo de longitud 2π. Para calcular la integral anterior, utilizamos el hecho de que z ⁿ = cos( n x ) + i sin( nx ) y la identidad de la función de Bessel: ^[4] ${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle I_{n}(\kappa )={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }e^{\kappa \cos(x)}\cos(nx)\,dx.}$

La media de la exponencial compleja z   es entonces simplemente

${\displaystyle m_{1}={\frac {I_{1}(\kappa )}{I_{0}(\kappa )}}e^{i\mu }}$

y el valor medio circular del ángulo x se toma entonces como el argumento μ . Esta es la dirección esperada o preferida de las variables aleatorias angulares. La varianza de z , o la varianza circular de x es:

${\displaystyle {\textrm {var}}(x)=1-E[\cos(x-\mu )]=1-{\frac {I_{1}(\kappa )}{I_{0}(\kappa )}}.}$

Comportamiento limitante

Cuando es grande, la distribución se asemeja a una distribución normal . ^[5] Más específicamente, para números reales positivos grandes , ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$

${\displaystyle f(x\mid \mu ,\kappa )\approx {\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left[{\dfrac {-(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]}$

donde σ ² = 1/ y la diferencia entre el lado izquierdo y el lado derecho de la aproximación converge uniformemente a cero a medida que tiende al infinito. Además, cuando es pequeño, la función de densidad de probabilidad se asemeja a una distribución uniforme : ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$

${\displaystyle \lim _{\kappa \rightarrow 0}f(x\mid \mu ,\kappa )=\mathrm {U} (x)}$

donde el intervalo para la distribución uniforme es el intervalo de longitud elegido (es decir, cuando está en el intervalo y cuando no está en el intervalo). ${\displaystyle \mathrm {U} (x)}$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle \mathrm {U} (x)=1/(2\pi )}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathrm {U} (x)=0}$ ${\displaystyle x}$

Estimación de parámetros

Se puede utilizar una serie de N mediciones extraídas de una distribución de von Mises para estimar ciertos parámetros de la distribución. ^[6] El promedio de la serie se define como ${\displaystyle z_{n}=e^{i\theta _{n}}}$ ${\displaystyle {\overline {z}}}$

${\displaystyle {\overline {z}}={\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}z_{n}}$

y su valor esperado será solo el primer momento:

${\displaystyle \langle {\overline {z}}\rangle ={\frac {I_{1}(\kappa )}{I_{0}(\kappa )}}e^{i\mu }.}$

En otras palabras, es un estimador insesgado del primer momento. Si suponemos que la media se encuentra en el intervalo , entonces Arg será un estimador (sesgado) de la media . ${\displaystyle {\overline {z}}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$ ${\displaystyle ({\overline {z}})}$ ${\displaystyle \mu }$

Considerando el como un conjunto de vectores en el plano complejo, la estadística es el cuadrado de la longitud del vector promedio: ${\displaystyle z_{n}}$ ${\displaystyle {\bar {R}}^{2}}$

${\displaystyle {\bar {R}}^{2}={\overline {z}}\,{\overline {z^{*}}}=\left({\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}\cos \theta _{n}\right)^{2}+\left({\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}\sin \theta _{n}\right)^{2}}$

y su valor esperado es ^[7]

${\displaystyle \langle {\bar {R}}^{2}\rangle ={\frac {1}{N}}+{\frac {N-1}{N}}\,{\frac {I_{1}(\kappa )^{2}}{I_{0}(\kappa )^{2}}}.}$

En otras palabras, la estadística

${\displaystyle R_{e}^{2}={\frac {N}{N-1}}\left({\bar {R}}^{2}-{\frac {1}{N}}\right)}$

será un estimador insesgado de y resolver la ecuación para dará como resultado un estimador (sesgado) de . En analogía con el caso lineal, la solución de la ecuación dará como resultado la estimación de máxima verosimilitud de y ambas serán iguales en el límite de N grande . Para una solución aproximada, consulte la distribución de von Mises-Fisher . ${\displaystyle {\frac {I_{1}(\kappa )^{2}}{I_{0}(\kappa )^{2}}}\,}$ ${\displaystyle R_{e}={\frac {I_{1}(\kappa )}{I_{0}(\kappa )}}\,}$ ${\displaystyle \kappa \,}$ ${\displaystyle \kappa \,}$ ${\displaystyle {\bar {R}}={\frac {I_{1}(\kappa )}{I_{0}(\kappa )}}\,}$ ${\displaystyle \kappa \,}$ ${\displaystyle \kappa \,}$

Distribución de la media

La distribución de la media muestral para la distribución de von Mises viene dada por: ^[8] ${\displaystyle {\overline {z}}={\bar {R}}e^{i{\overline {\theta }}}}$

${\displaystyle P({\bar {R}},{\bar {\theta }})\,d{\bar {R}}\,d{\bar {\theta }}={\frac {1}{(2\pi I_{0}(\kappa ))^{N}}}\int _{\Gamma }\prod _{n=1}^{N}\left(e^{\kappa \cos(\theta _{n}-\mu )}d\theta _{n}\right)={\frac {e^{\kappa N{\bar {R}}\cos({\bar {\theta }}-\mu )}}{I_{0}(\kappa )^{N}}}\left({\frac {1}{(2\pi )^{N}}}\int _{\Gamma }\prod _{n=1}^{N}d\theta _{n}\right)}$

donde N es el número de mediciones y consiste en intervalos de en las variables, sujeto a la restricción de que y son constantes, donde es la media resultante: ${\displaystyle \Gamma \,}$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle {\bar {R}}}$ ${\displaystyle {\bar {\theta }}}$ ${\displaystyle {\bar {R}}}$

${\displaystyle {\bar {R}}^{2}=|{\bar {z}}|^{2}=\left({\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}\cos(\theta _{n})\right)^{2}+\left({\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}\sin(\theta _{n})\right)^{2}}$

y es el ángulo medio: ${\displaystyle {\overline {\theta }}}$

${\displaystyle {\overline {\theta }}=\mathrm {Arg} ({\overline {z}}).\,}$

Tenga en cuenta que el término del producto entre paréntesis es simplemente la distribución de la media para una distribución uniforme circular . ^[8]

Esto significa que la distribución de la dirección media de una distribución de von Mises es una distribución de von Mises o, equivalentemente, . ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle VM(\mu ,\kappa )}$ ${\displaystyle VM(\mu ,{\bar {R}}N\kappa )}$ ${\displaystyle VM(\mu ,R\kappa )}$

Entropía

Por definición, la entropía de información de la distribución de von Mises es ^[2]

${\displaystyle H=-\int _{\Gamma }f(\theta ;\mu ,\kappa )\,\ln(f(\theta ;\mu ,\kappa ))\,d\theta \,}$

donde es cualquier intervalo de longitud . El logaritmo de la densidad de la distribución de von Mises es sencillo: ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle 2\pi }$

${\displaystyle \ln(f(\theta ;\mu ,\kappa ))=-\ln(2\pi I_{0}(\kappa ))+\kappa \cos(\theta )\,}$

La representación funcional característica de la distribución de Von Mises es:

${\displaystyle f(\theta ;\mu ,\kappa )={\frac {1}{2\pi }}\left(1+2\sum _{n=1}^{\infty }\phi _{n}\cos(n\theta )\right)}$

donde . Sustituyendo estas expresiones en la integral de entropía, intercambiando el orden de integración y suma, y ​​utilizando la ortogonalidad de los cosenos, la entropía puede escribirse: ${\displaystyle \phi _{n}=I_{|n|}(\kappa )/I_{0}(\kappa )}$

${\displaystyle H=\ln(2\pi I_{0}(\kappa ))-\kappa \phi _{1}=\ln(2\pi I_{0}(\kappa ))-\kappa {\frac {I_{1}(\kappa )}{I_{0}(\kappa )}}}$

Para , la distribución de von Mises se convierte en una distribución circular uniforme y la entropía alcanza su valor máximo de . ${\displaystyle \kappa =0}$ ${\displaystyle \ln(2\pi )}$

Obsérvese que la distribución de von Mises maximiza la entropía cuando se especifican las partes reales e imaginarias del primer momento circular ^[9] o, equivalentemente, se especifican la media circular y la varianza circular .

Véase también

• Distribución de von Mises bivariada
• Estadísticas direccionales
• Distribución de von Mises-Fisher
• Distribución de Kent

Referencias

1. Risken, H. (1989). La ecuación de Fokker-Planck . Springer. ISBN 978-3-540-61530-9.
2. Mardia, Kantilal ; Jupp, Peter E. (1999). Estadísticas direccionales . Wiley. ISBN 978-0-471-95333-3.
3. Véase Abramowitz y Stegun §9.6.34
4. Véase Abramowitz y Stegun §9.6.19
5. Mardia, KV; Jupp, PE (2000). "Estadística direccional". Serie Wiley en probabilidad y estadística. Chichester: John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-95333-3. pág. 36.
6. Borradaile, GJ (2003). Estadísticas de datos de ciencias de la tierra: su distribución en el tiempo, el espacio y la orientación . Springer. ISBN 978-3-662-05223-5.
7. Kutil, Rade (agosto de 2012). "Estimación sesgada e imparcial de la longitud resultante media circular y su varianza". Estadísticas: una revista de estadística teórica y aplicada . 46 (4): 549–561. CiteSeerX 10.1.1.302.8395 . doi :10.1080/02331888.2010.543463. S2CID  7045090. 
8. Jammalamadaka, S. Rao; Sengupta, A. (2001). Temas de estadística circular . World Scientific Publishing Company. ISBN 978-981-02-3778-3.
9. Jammalamadaka, S. Rao; SenGupta, A. (2001). Temas de estadística circular. Nueva Jersey: World Scientific. ISBN 981-02-3778-2. Recuperado el 15 de mayo de 2011 .

Obras citadas

• Abramowitz, M. y Stegun, IA (ed.), Handbook of Mathematical Functions , Oficina Nacional de Normas, 1964; reimpreso en Dover Publications , 1965. ISBN 0-486-61272-4