Distribución uniforme continua

Distribución uniforme en un intervalo.

En teoría de probabilidad y estadística , las distribuciones uniformes continuas o distribuciones rectangulares son una familia de distribuciones de probabilidad simétricas . Esta distribución describe un experimento en el que hay un resultado arbitrario que se encuentra entre ciertos límites. ^[1] Los límites están definidos por los parámetros, y cuáles son los valores mínimo y máximo. El intervalo puede ser cerrado (es decir, ) o abierto (es decir, ). ^[2] Por lo tanto, la distribución a menudo se abrevia cuando significa distribución uniforme. ^[1] La diferencia entre los límites define la duración del intervalo; todos los intervalos de la misma longitud en el soporte de la distribución son igualmente probables. Es la distribución de probabilidad de entropía máxima para una variable aleatoria sin otra restricción que la de estar contenida en el soporte de la distribución. ^[3] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b,}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle U(a,b),}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$

Definiciones

Función de densidad de probabilidad

La función de densidad de probabilidad de la distribución uniforme continua es

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{b-a}}&{\text{for }}a\leq x\leq b,\\[8pt]0&{\text{for }}x<a\ {\text{ or }}\ x>b.\end{cases}}}$

Los valores de en los dos límites y generalmente no son importantes, porque no alteran el valor de en ningún intervalo ni de ningún momento superior. A veces se eligen para que sean cero y, a veces, para que sean. Este último es apropiado en el contexto de la estimación mediante el método de máxima verosimilitud . En el contexto del análisis de Fourier , se puede tomar el valor de o ser porque entonces la transformada inversa de muchas transformadas integrales de esta función uniforme devolverá la función en sí, en lugar de una función que sea igual " casi en todas partes ", es decir, excepto sobre un conjunto de puntos con medida cero . Además, es consistente con la función de signo , que no tiene tal ambigüedad. ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\textstyle \int _{c}^{d}f(x)dx}$ ${\displaystyle [c,d],}$ ${\textstyle \int _{a}^{b}xf(x)dx,}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{b-a}}.}$ ${\displaystyle f(a)}$ ${\displaystyle f(b)}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2(b-a)}},}$

Cualquier función de densidad de probabilidad se integra, por lo que la función de densidad de probabilidad de la distribución uniforme continua se representa gráficamente como un rectángulo donde es la longitud de la base y la altura. A medida que aumenta la longitud de la base, disminuye la altura (la densidad en cualquier valor particular dentro de los límites de distribución). ^[4] ${\displaystyle 1,}$ ${\displaystyle b-a}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{b-a}}}$

En términos de media y varianza, la función de densidad de probabilidad de la distribución uniforme continua es ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma ^{2},}$

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{2\sigma {\sqrt {3}}}}&{\text{for }}-\sigma {\sqrt {3}}\leq x-\mu \leq \sigma {\sqrt {3}},\\0&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$

Función de distribución acumulativa

La función de distribución acumulativa de la distribución uniforme continua es:

${\displaystyle F(x)={\begin{cases}0&{\text{for }}x<a,\\[8pt]{\frac {x-a}{b-a}}&{\text{for }}a\leq x\leq b,\\[8pt]1&{\text{for }}x>b.\end{cases}}}$

Su inversa es:

${\displaystyle F^{-1}(p)=a+p(b-a)\quad {\text{ for }}0<p<1.}$

En términos de media y varianza, la función de distribución acumulativa de la distribución uniforme continua es: ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma ^{2},}$

${\displaystyle F(x)={\begin{cases}0&{\text{for }}x-\mu <-\sigma {\sqrt {3}},\\{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma {\sqrt {3}}}}+1\right)&{\text{for }}-\sigma {\sqrt {3}}\leq x-\mu <\sigma {\sqrt {3}},\\1&{\text{for }}x-\mu \geq \sigma {\sqrt {3}};\end{cases}}}$

su inverso es:

${\displaystyle F^{-1}(p)=\sigma {\sqrt {3}}(2p-1)+\mu \quad {\text{ for }}0\leq p\leq 1.}$

Ejemplo 1. Uso de la función de distribución uniforme continua

Para una variable aleatoria encuentre ${\displaystyle X\sim U(0,23),}$ ${\displaystyle P(2<X<18):}$

${\displaystyle P(2<X<18)=(18-2)\cdot {\frac {1}{23-0}}={\frac {16}{23}}.}$

En una representación gráfica de la función de distribución uniforme continua, el área bajo la curva dentro de los límites especificados, que muestra la probabilidad, es un rectángulo. Para el ejemplo específico anterior, la base sería y la altura sería ^[5] ${\displaystyle [f(x){\text{ vs }}x],}$ ${\displaystyle 16,}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{23}}.}$

Ejemplo 2. Uso de la función de distribución uniforme continua (condicional)

Para una variable aleatoria encuentre ${\displaystyle X\sim U(0,23),}$ ${\displaystyle P(X>12\ |\ X>8):}$

${\displaystyle P(X>12\ |\ X>8)=(23-12)\cdot {\frac {1}{23-8}}={\frac {11}{15}}.}$

El ejemplo anterior es un caso de probabilidad condicional para la distribución uniforme continua: dado que esto es cierto, ¿cuál es la probabilidad de que la probabilidad condicional cambie el espacio muestral, por lo que se debe calcular una nueva longitud de intervalo, donde y ^[5] La representación gráfica sería aún siga el Ejemplo 1, donde el área bajo la curva dentro de los límites especificados muestra la probabilidad; la base del rectángulo sería y la altura sería ^[5] ${\displaystyle X>8}$ ${\displaystyle X>12?}$ ${\displaystyle b-a'}$ ${\displaystyle b=23}$ ${\displaystyle a'=8.}$ ${\displaystyle 11,}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{15}}.}$

Funciones generadoras

Función generadora de momentos

La función generadora de momentos de la distribución uniforme continua es: ^[6]

${\displaystyle M_{X}=\mathrm {E} (\mathrm {e} ^{tX})=\int _{a}^{b}\mathrm {e} ^{tx}{\frac {dx}{b-a}}={\frac {\mathrm {e} ^{tb}-\mathrm {e} ^{ta}}{t(b-a)}}={\frac {B^{t}-A^{t}}{t(b-a)}},}$^[7]

a partir del cual podemos calcular los momentos brutos ${\displaystyle m_{k}:}$

${\displaystyle m_{1}={\frac {a+b}{2}},}$

${\displaystyle m_{2}={\frac {a^{2}+ab+b^{2}}{3}},}$

${\displaystyle m_{k}={\frac {\sum _{i=0}^{k}a^{i}b^{k-i}}{k+1}}.}$

Para una variable aleatoria que sigue la distribución uniforme continua, el valor esperado es y la varianza es ${\displaystyle m_{1}={\tfrac {a+b}{2}},}$ ${\displaystyle m_{2}-m_{1}^{2}={\tfrac {(b-a)^{2}}{12}}.}$

Para el caso especial, la función de densidad de probabilidad de la distribución uniforme continua es: ${\displaystyle a=-b,}$

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{2b}}&{\text{for }}-b\leq x\leq b,\\[8pt]0&{\text{otherwise}};\end{cases}}}$

la función generadora de momentos se reduce a la forma simple:

${\displaystyle M_{X}={\frac {\sinh bt}{bt}}.}$

Función generadora de acumuladores

Para el -ésimo cumulante de la distribución uniforme continua en el intervalo es donde está el -ésimo número de Bernoulli . ^[8] ${\displaystyle n\geq 2,}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle [-{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}}]}$ ${\displaystyle {\tfrac {B_{n}}{n}},}$ ${\displaystyle B_{n}}$ ${\displaystyle n}$

Distribución uniforme estándar

La distribución uniforme continua con parámetros y ie se llama distribución uniforme estándar . ${\displaystyle a=0}$ ${\displaystyle b=1,}$ ${\displaystyle U(0,1),}$

Una propiedad interesante de la distribución uniforme estándar es que si tiene una distribución uniforme estándar, también la tiene. Esta propiedad se puede utilizar para generar variables antitéticas , entre otras cosas. En otras palabras, esta propiedad se conoce como método de inversión , donde la distribución uniforme estándar continua se puede utilizar para generar números aleatorios para cualquier otra distribución continua. ^[4] Si es un número aleatorio uniforme con distribución uniforme estándar, es decir, genera un número aleatorio a partir de cualquier distribución continua con la función de distribución acumulativa especificada ^[4] ${\displaystyle u_{1}}$ ${\displaystyle 1-u_{1}.}$ ${\displaystyle u_{1}}$ ${\displaystyle U(0,1),}$ ${\displaystyle x=F^{-1}(u_{1})}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle F.}$

Relación con otras funciones

Siempre que se sigan las mismas convenciones en los puntos de transición, la función de densidad de probabilidad de la distribución uniforme continua también se puede expresar en términos de la función de paso de Heaviside como:

${\displaystyle f(x)={\frac {\operatorname {H} (x-a)-\operatorname {H} (x-b)}{b-a}},}$

o en términos de la función del rectángulo como:

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{b-a}}\ \operatorname {rect} \left({\frac {x-{\frac {a+b}{2}}}{b-a}}\right).}$

No hay ambigüedad en el punto de transición de la función de signo . Utilizando la convención de la mitad del máximo en los puntos de transición, la distribución uniforme continua se puede expresar en términos de la función de signo como:

${\displaystyle f(x)={\frac {\operatorname {sgn} {(x-a)}-\operatorname {sgn} {(x-b)}}{2(b-a)}}.}$

Propiedades

Momentos

La media (primer momento bruto ) de la distribución uniforme continua es:

${\displaystyle E(X)=\int _{a}^{b}x{\frac {dx}{b-a}}={\frac {b^{2}-a^{2}}{2(b-a)}}={\frac {b+a}{2}}.}$

El segundo momento crudo de esta distribución es:

${\displaystyle E(X^{2})=\int _{a}^{b}x^{2}{\frac {dx}{b-a}}={\frac {b^{3}-a^{3}}{3(b-a)}}.}$

En general, el -ésimo momento bruto de esta distribución es: ${\displaystyle n}$

${\displaystyle E(X^{n})=\int _{a}^{b}x^{n}{\frac {dx}{b-a}}={\frac {b^{n+1}-a^{n+1}}{(n+1)(b-a)}}.}$

La varianza (segundo momento central ) de esta distribución es:

${\displaystyle V(X)=E\left({\big (}X-E(X){\big )}^{2}\right)=\int _{a}^{b}\left(x-{\frac {a+b}{2}}\right)^{2}{\frac {dx}{b-a}}={\frac {(b-a)^{2}}{12}}.}$

Estadísticas de pedidos

Sea una muestra iid de y sea la estadística de orden -ésimo de esta muestra. ${\displaystyle X_{1},...,X_{n}}$ ${\displaystyle U(0,1),}$ ${\displaystyle X_{(k)}}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle X_{(k)}}$tiene una distribución beta , con parámetros y ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n-k+1.}$

El valor esperado es:

${\displaystyle \operatorname {E} (X_{(k)})={k \over n+1}.}$

Este hecho es útil al realizar gráficos Q–Q .

La varianza es:

${\displaystyle \operatorname {V} (X_{(k)})={k(n-k+1) \over (n+1)^{2}(n+2)}.}$

Uniformidad

La probabilidad de que una variable aleatoria continuamente distribuida uniformemente caiga dentro de cualquier intervalo de longitud fija es independiente de la ubicación del intervalo en sí (pero depende del tamaño del intervalo ), siempre que el intervalo esté contenido en el soporte de la distribución. ${\displaystyle (\ell )}$

De hecho, si y si es un subintervalo de fijo entonces: ${\displaystyle X\sim U(a,b)}$ ${\displaystyle [x,x+\ell ]}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle \ell >0,}$

${\displaystyle P{\big (}X\in [x,x+\ell ]{\big )}=\int _{x}^{x+\ell }{\frac {dy}{b-a}}={\frac {\ell }{b-a}},}$

que es independiente de Este hecho motiva el nombre de la distribución. ${\displaystyle x.}$

Generalización a conjuntos de Borel

Esta distribución se puede generalizar a conjuntos más complicados que los intervalos. Sea un conjunto de Borel de medida de Lebesgue finita y positiva , es decir , la distribución uniforme de puede especificarse definiendo la función de densidad de probabilidad como cero fuera y constantemente igual a ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \lambda (S),}$ ${\displaystyle 0<\lambda (S)<+\infty .}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{\lambda (S)}}}$ ${\displaystyle S.}$

Distribuciones relacionadas

• Si X tiene una distribución uniforme estándar, entonces, mediante el método de muestreo por transformación inversa , Y = − λ ⁻¹ ln( X ) tiene una distribución exponencial con el parámetro (velocidad) λ .
• Si X tiene una distribución uniforme estándar, entonces Y = X ⁿ tiene una distribución beta con parámetros (1/ n ,1). Como tal,
• La distribución de Irwin-Hall es la suma de distribuciones n i.id U (0,1).
• La distribución de Bates es el promedio de distribuciones n i.id U (0,1).
• La distribución uniforme estándar es un caso especial de la distribución beta , con parámetros (1,1).
• La suma de dos distribuciones uniformes independientes U ₁ (a,b)+ U ₂ (c,d) produce una distribución trapezoidal , simétrica con respecto a su media, en el soporte [a+c,b+d]. La meseta tiene un ancho igual a la diferencia absoluta del ancho de U ₁ y U ₂ . La anchura de las partes inclinadas corresponde a la anchura de la distribución uniforme más estrecha.
  • Si las distribuciones uniformes tienen el mismo ancho w, el resultado es una distribución triangular , simétrica respecto a su media, sobre el soporte [a+c,a+c+2w].
  • La suma de dos distribuciones uniformes, igualmente distribuidas e independientes U ₁ (a,b)+ U ₂ (a,b) produce una distribución triangular simétrica en el soporte [2a,2b].
• La distancia entre dos variables aleatorias uniformes iid | U ₁ (a,b)- U ₂ (a,b)| también tiene una distribución triangular , aunque no simétrica, sobre el soporte [0,ba].

Inferencia estadística

Estimación de parámetros

Estimación del máximo

Estimador insesgado de varianza mínima

Dada una distribución uniforme con desconocido, el estimador insesgado de varianza mínima (UMVUE) para el máximo es: ${\displaystyle [0,b]}$ ${\displaystyle b,}$

${\displaystyle {\hat {b}}_{\text{UMVU}}={\frac {k+1}{k}}m=m+{\frac {m}{k}},}$

donde es el máximo de la muestra y es el tamaño de la muestra , muestreo sin reemplazo (aunque es casi seguro que esta distinción no supone ninguna diferencia para una distribución continua). Esto se sigue por las mismas razones que la estimación para la distribución discreta y puede verse como un caso muy simple de estimación de espaciamiento máximo . Este problema se conoce comúnmente como el problema de los tanques alemanes , debido a la aplicación de la estimación máxima a las estimaciones de la producción de tanques alemanes durante la Segunda Guerra Mundial . ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle k}$

Método de estimador de momentos.

El método del estimador de momentos es:

${\displaystyle {\hat {b}}_{MM}=2{\bar {X}},}$

¿ Dónde está la media muestral? ${\displaystyle {\bar {X}}}$

Estimador de máxima verosimilitud

El estimador de máxima verosimilitud es:

${\displaystyle {\hat {b}}_{ML}=m,}$

donde es el máximo de la muestra , también indicado como el estadístico de orden máximo de la muestra. ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m=X_{(n)},}$

Estimación del mínimo

Dada una distribución uniforme con a desconocida , el estimador de máxima verosimilitud para a es: ${\displaystyle [a,b]}$

${\displaystyle {\hat {a}}_{ML}=\min\{X_{1},\dots ,X_{n}\}}$,

el mínimo de muestra . ^[9]

Estimación del punto medio

El punto medio de la distribución es tanto la media como la mediana de la distribución uniforme. Aunque tanto la media muestral como la mediana muestral son estimadores insesgados del punto medio, ninguno es tan eficiente como el rango medio muestral , es decir, la media aritmética del máximo muestral y el mínimo muestral, que es el estimador UMVU del punto medio (y también la estimación de máxima verosimilitud ). ${\displaystyle {\tfrac {a+b}{2}},}$

Intervalo de confianza

Para el maximo

Sea una muestra de donde está el valor máximo en la población. Entonces tiene la densidad de Lebesgue-Borel ^[10] ${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},...,X_{n}}$ ${\displaystyle U_{[0,L]},}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle X_{(n)}=\max(X_{1},X_{2},X_{3},...,X_{n})}$ ${\displaystyle f={\frac {d\Pr _{X_{(n)}}}{d\lambda }}:}$

${\displaystyle f(t)=n{\frac {1}{L}}\left({\frac {t}{L}}\right)^{n-1}\!=n{\frac {t^{n-1}}{L^{n}}}1\!\!1_{[0,L]}(t),}$¿Dónde está la función indicadora de ${\displaystyle 1\!\!1_{[0,L]}}$ ${\displaystyle [0,L].}$

El intervalo de confianza dado antes es matemáticamente incorrecto, ya que

${\displaystyle \Pr {\big (}[{\hat {\theta }},{\hat {\theta }}+\varepsilon ]\ni \theta {\big )}\geq 1-\alpha }$

No se puede resolver sin conocimiento de . Sin embargo, se puede resolver ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \Pr {\big (}[{\hat {\theta }},{\hat {\theta }}(1+\varepsilon )]\ni \theta {\big )}\geq 1-\alpha }$para cualquier desconocido pero válido ${\displaystyle \varepsilon \geq (1-\alpha )^{-1/n}-1}$ ${\displaystyle \theta ;}$

Luego se elige el más pequeño posible que satisfaga la condición anterior. Tenga en cuenta que la duración del intervalo depende de la variable aleatoria. ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle {\hat {\theta }}.}$

Ocurrencia y aplicaciones

Las probabilidades de la función de distribución uniforme son sencillas de calcular debido a la simplicidad de la forma de la función. ^[2] Por lo tanto, existen varias aplicaciones para las que se puede utilizar esta distribución, como se muestra a continuación: situaciones de prueba de hipótesis, casos de muestreo aleatorio, finanzas, etc. Además, generalmente, los experimentos de origen físico siguen una distribución uniforme (por ejemplo, emisión de partículas radiactivas). ). ^[1] Sin embargo, es importante señalar que en cualquier aplicación, existe la suposición invariable de que la probabilidad de caer en un intervalo de longitud fija es constante. ^[2]

Ejemplo económico de distribución uniforme

En el campo de la economía, normalmente la demanda y el reabastecimiento pueden no seguir la distribución normal esperada. Como resultado, se utilizan otros modelos de distribución para predecir mejor probabilidades y tendencias, como el proceso de Bernoulli . ^[11] Pero según Wanke (2008), en el caso particular de investigar el tiempo de entrega para la gestión de inventario al comienzo del ciclo de vida cuando se analiza un producto completamente nuevo, la distribución uniforme resulta más útil. ^[11] En esta situación, otra distribución puede no ser viable ya que no existen datos sobre el nuevo producto o el historial de demanda no está disponible, por lo que realmente no existe una distribución adecuada o conocida. ^[11] La distribución uniforme sería ideal en esta situación, ya que la variable aleatoria del tiempo de entrega (relacionada con la demanda) se desconoce para el nuevo producto, pero es probable que los resultados oscilen entre un rango plausible de dos valores. ^[11] El plazo de entrega representaría así la variable aleatoria. A partir del modelo de distribución uniforme, se pudieron calcular otros factores relacionados con el tiempo de entrega , como el nivel de servicio del ciclo y la escasez por ciclo. También se observó que también se utilizó la distribución uniforme debido a la simplicidad de los cálculos. ^[11]

Muestreo a partir de una distribución arbitraria.

La distribución uniforme es útil para tomar muestras de distribuciones arbitrarias. Un método general es el método de muestreo por transformación inversa, que utiliza la función de distribución acumulativa (CDF) de la variable aleatoria objetivo. Este método es muy útil en el trabajo teórico. Dado que las simulaciones que utilizan este método requieren invertir la CDF de la variable objetivo, se han ideado métodos alternativos para los casos en los que la CDF no se conoce en forma cerrada. Uno de esos métodos es el muestreo de rechazo .

La distribución normal es un ejemplo importante en el que el método de transformación inversa no es eficiente. Sin embargo, existe un método exacto, la transformación de Box-Muller , que utiliza la transformada inversa para convertir dos variables aleatorias uniformes independientes en dos variables aleatorias independientes distribuidas normalmente .

Error de cuantificación

En la conversión de analógico a digital, se produce un error de cuantificación. Este error se debe a redondeo o truncamiento. Cuando la señal original es mucho mayor que un bit menos significativo (LSB) , el error de cuantificación no está significativamente correlacionado con la señal y tiene una distribución aproximadamente uniforme. Por tanto, el error RMS se deriva de la varianza de esta distribución.

Generación de variables aleatorias

Hay muchas aplicaciones en las que resulta útil ejecutar experimentos de simulación. Muchos lenguajes de programación vienen con implementaciones para generar números pseudoaleatorios que se distribuyen efectivamente según la distribución uniforme estándar.

Por otro lado, los números distribuidos uniformemente se utilizan a menudo como base para la generación de variables aleatorias no uniformes .

Si es un valor muestreado de la distribución uniforme estándar, entonces el valor sigue la distribución uniforme parametrizada por y como se describe anteriormente. ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle a+(b-a)u}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b,}$

Historia

Si bien los orígenes históricos de la concepción de distribución uniforme no son concluyentes, se especula que el término "uniforme" surgió del concepto de equiprobabilidad en los juegos de dados (tenga en cuenta que los juegos de dados tendrían un espacio muestral uniforme discreto y no continuo). La equiprobabilidad se mencionó en el Liber de Ludo Aleae de Gerolamo Cardano , un manual escrito en el siglo XVI y que detalla el cálculo avanzado de probabilidad en relación con los dados. ^[12]

Ver también

• Distribución uniforme discreta
• Distribución beta
• Transformada de Box-Muller
• Gráfico de probabilidad
• Gráfico Q – Q
• función rectangular
• Distribución de Irwin-Hall : en el caso degenerado donde n = 1, la distribución de Irwin-Hall genera una distribución uniforme entre 0 y 1.
• Distribución Bates : similar a la distribución Irwin-Hall, pero reescalada para n. Al igual que la distribución de Irwin-Hall, en el caso degenerado donde n=1, la distribución de Bates genera una distribución uniforme entre 0 y 1.

Referencias

1. abcDekking, Michel (2005). Una introducción moderna a la probabilidad y la estadística: comprender por qué y cómo . Londres, Reino Unido: Springer. págs. 60–61. ISBN 978-1-85233-896-1.
2. Walpole, Ronald; et al. (2012). Probabilidad y estadística para ingenieros y científicos . Boston, Estados Unidos: Prentice Hall. págs. 171-172. ISBN 978-0-321-62911-1.
3. Parque, Sung Y.; Bera, Anil K. (2009). "Modelo de heterocedasticidad condicional autorregresiva de máxima entropía". Revista de Econometría . 150 (2): 219–230. CiteSeerX 10.1.1.511.9750 . doi :10.1016/j.jeconom.2008.12.014. 
4. "Distribución uniforme (continua)". Trabajos de matemáticas . 2019 . Consultado el 22 de noviembre de 2019 .
5. Illowsky, Bárbara; et al. (2013). Estadísticas introductorias. Universidad Rice, Houston, Texas, EE.UU.: OpenStax College. págs. 296–304. ISBN 978-1-938168-20-8.
6. Casella y Berger 2001, pag. 626
7. https://www.stat.washington.edu/~nehemyl/files/UW_MATH-STAT395_moment-functions.pdf ^{[ URL desnuda PDF ]}
8. https://galton.uchicago.edu/~wichura/Stat304/Handouts/L18.cumulants.pdf ^{[ URL básica PDF ]}
9. . Como tenemos, el factor está maximizado por el mayor a posible , que está limitado por . Por tanto es el máximo de . ${\displaystyle L_{n}(a,b)=\prod _{i=1}^{n}f(X_{i})={\frac {1}{(b-a)^{n}}}\mathbf {1} _{[a,b]}(X_{1},\dots ,X_{n})}$
   ${\displaystyle ={\frac {1}{(b-a)^{n}}}\mathbf {1} _{\{a\leq \min\{X_{1},\dots ,X_{n}\}\}}\mathbf {1} _{\{\max\{X_{1},\dots ,X_{n}\}\leq b\}}}$
   ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle {\frac {1}{(b-a)^{n}}}}$ ${\displaystyle L_{n}(a,b)}$ ${\displaystyle \min\{X_{1},\dots ,X_{n}\}}$ ${\displaystyle a=\min\{X_{1},\dots ,X_{n}\}}$ ${\displaystyle L_{n}(a,b)}$
10. Nechval KN, Nechval NA, Vasermanis EK, Makeev VY (2002) Construcción de intervalos de confianza de longitud más corta. Transportes y Telecomunicaciones 3 (1) 95-103
11. Wanke, Peter (2008). "La distribución uniforme como primera aproximación práctica a la gestión de inventarios de nuevos productos". Revista Internacional de Economía de la Producción . 114 (2): 811–819. doi :10.1016/j.ijpe.2008.04.004 – vía Research Gate.
12. Bellhouse, David (mayo de 2005). "Decodificando el Liber de Ludo de Cardano". Historia Matemática . 32 : 180-202. doi : 10.1016/j.hm.2004.04.001 .

Otras lecturas

• Casella, George; Roger L. Berger (2001), Inferencia estadística (2ª ed.), Thomson Learning, ISBN 978-0-534-24312-8, LCCN  2001025794

enlaces externos

• Calculadora online de Distribución uniforme (continua)