Distribución de Bates

Distribución de probabilidad

En probabilidad y estadística empresarial , la distribución de Bates , llamada así en honor a Grace Bates , es una distribución de probabilidad de la media de un número de variables aleatorias estadísticamente independientes distribuidas uniformemente en el intervalo unitario . ^[1] Esta distribución está relacionada con la distribución uniforme , la triangular y la gaussiana normal , y tiene aplicaciones en ingeniería de transmisión para la mejora de señales.

La distribución de Bates a veces se confunde ^[2] con la distribución de Irwin-Hall , que es la distribución de la suma (no la media ) de n variables aleatorias independientes distribuidas uniformemente de 0 a 1. Si X tiene una distribución de Bates en el intervalo unitario, entonces n X tiene una distribución de Irwin-Hall; cuando n  = 1 ambas están distribuidas uniformemente.

Definición

La distribución de Bates es la distribución de probabilidad continua de la media , X , de n variables aleatorias independientes , distribuidas uniformemente , en el intervalo unitario , U _k :

${\displaystyle X={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}U_{k}.}$

La ecuación que define la función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria X de distribución Bates es

${\displaystyle f_{X}(x;n)={\frac {n}{2(n-1)!}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}(nx-k)^{n-1}\operatorname {sgn}(nx-k)}$

para x en el intervalo (0,1), y cero en el resto del intervalo. Aquí sgn( nx − k ) denota la función de signo :

${\displaystyle \operatorname {sgn}(nx-k)={\begin{cases}-1&nx<k\\0&nx=k\\1&nx>k.\end{cases}}}$

De manera más general, la media de n variables aleatorias independientes distribuidas uniformemente en el intervalo [ a , b ]

${\displaystyle X_{(a,b)}={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}U_{k}(a,b).}$

tendría la función de densidad de probabilidad (PDF) de

${\displaystyle g(x;n,a,b)={\frac {1}{b-a}}f_{X}\left({\frac {x-a}{b-a}};n\right){\text{ for }}a\leq x\leq b}$

Extensiones y aplicaciones

Con algunas modificaciones, la distribución de Bates abarca la distribución uniforme , la triangular y, tomando el límite cuando n tiende a infinito, también la distribución gaussiana normal .

Reemplazar el término al calcular la media, X , por creará una distribución similar con una varianza constante, como la unidad. Luego, al restar la media, la media resultante de la distribución se establecerá en cero. Por lo tanto, el parámetro n se convertiría en un parámetro de ajuste de forma pura . Al permitir también que n no sea un número entero, se puede crear una distribución altamente flexible, por ejemplo, U (0,1) + 0,5 U (0,1) da una distribución trapezoidal . ${\displaystyle {\frac {1}{n}}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {n}}}}$

La distribución t de Student proporciona una extensión natural de la distribución gaussiana normal para modelar datos de cola larga . Una distribución Bates que se ha generalizado como se indicó anteriormente cumple el mismo propósito para datos de cola corta .

La distribución de Bates tiene una aplicación en la formación de haces y la síntesis de patrones en el campo de la ingeniería eléctrica . Se descubrió que la distribución aumenta el ancho del haz del lóbulo principal , lo que representa un aumento en la señal del patrón de radiación en una sola dirección, al mismo tiempo que reduce los niveles de lóbulos laterales , generalmente indeseables ^[3] . ^{[4] [ página necesaria ]}

Véase también

• Distribución de Irwin-Hall
• Distribución normal
• Teorema del límite central
• Distribución uniforme (continua)
• Distribución triangular

Referencias

1. Jonhson, NL; Kotz, S.; Balakrishnan (1995) Distribuciones univariadas continuas , volumen 2, 2.ª edición, Wiley ISBN  0-471-58494-0 (sección 26.9)
2. "Lo que se llama "distribución Irwin-Hall" en d3.random es en realidad una distribución Bates · Número 1647 · d3/d3". GitHub . Archivado desde el original el 12 de diciembre de 2020 . Consultado el 17 de abril de 2018 .
3. "Comportamiento de los lóbulos laterales y características del ancho de banda de los conjuntos de antenas distribuidas". Enero de 2018. págs. 1–2.
4. "Enciclopedia de ciencia física y tecnología". ScienceDirect . Consultado el 16 de diciembre de 2021 .

Lectura adicional

• Bates, GE (1955) "Distribuciones conjuntas de intervalos de tiempo para la ocurrencia de accidentes sucesivos en un esquema de urna de Polya generalizado", Annals of Mathematical Statistics , 26, 705–720