Distribución de Kent

Conjuntos de tres puntos muestreados de la distribución Kent. Las direcciones medias se muestran con flechas. El parámetro es más alto para el conjunto rojo. ${\displaystyle \kappa \,}$

En estadística direccional , la distribución de Kent , también conocida como distribución Fisher-Bingham de 5 parámetros (nombrada en honor a John T. Kent, Ronald Fisher y Christopher Bingham ), es una distribución de probabilidad en la esfera unitaria ( 2-esfera S ² en 3-espacio R ³ ). Es el análogo en S ^{2 de la} distribución normal bivariada con una matriz de covarianza sin restricciones . La distribución de Kent fue propuesta por John T. Kent en 1982 y se utiliza tanto en geología como en bioinformática .

Definición

La función de densidad de probabilidad de la distribución de Kent viene dada por: ${\displaystyle f(\mathbf {x} )\,}$

${\displaystyle f(\mathbf {x} )={\frac {1}{{\textrm {c}}(\kappa ,\beta )}}\exp \left\{\kappa {\boldsymbol {\gamma }}_{1}^{T}\mathbf {x} +\beta [({\boldsymbol {\gamma }}_{2}^{T}\mathbf {x} )^{2}-({\boldsymbol {\gamma }}_{3}^{T}\mathbf {x} )^{2}]\right\}}$

donde es un vector unitario tridimensional, denota la transpuesta de , y la constante normalizadora es: ${\displaystyle \mathbf {x} \,}$ ${\displaystyle (\cdot )^{T}}$ ${\displaystyle (\cdot )}$ ${\displaystyle {\textrm {c}}(\kappa ,\beta )\,}$

${\displaystyle c(\kappa ,\beta )=2\pi \sum _{j=0}^{\infty }{\frac {\Gamma (j+{\frac {1}{2}})}{\Gamma (j+1)}}\beta ^{2j}\left({\frac {1}{2}}\kappa \right)^{-2j-{\frac {1}{2}}}I_{2j+{\frac {1}{2}}}(\kappa )}$

Donde es la función de Bessel modificada y es la función gamma . Nótese que y , la constante normalizadora de la distribución de Von Mises-Fisher . ${\displaystyle I_{v}(\kappa )}$ ${\displaystyle \Gamma (\cdot )}$ ${\displaystyle c(0,0)=4\pi }$ ${\displaystyle c(\kappa ,0)=4\pi (\kappa ^{-1})\sinh(\kappa )}$

El parámetro (con ) determina la concentración o dispersión de la distribución, mientras que (con ) determina la elipticidad de los contornos de igual probabilidad. Cuanto mayores sean los parámetros y , más concentrada y elíptica será la distribución, respectivamente. El vector es la dirección media y los vectores son los ejes mayor y menor. Los dos últimos vectores determinan la orientación de los contornos de igual probabilidad en la esfera, mientras que el primer vector determina el centro común de los contornos. La matriz debe ser ortogonal. ${\displaystyle \kappa \,}$ ${\displaystyle \kappa >0\,}$ ${\displaystyle \beta \,}$ ${\displaystyle 0\leq 2\beta <\kappa }$ ${\displaystyle \kappa \,}$ ${\displaystyle \beta \,}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\gamma }}_{1}\,}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\gamma }}_{2},{\boldsymbol {\gamma }}_{3}\,}$ ${\displaystyle 3\times 3}$ ${\displaystyle ({\boldsymbol {\gamma }}_{1},{\boldsymbol {\gamma }}_{2},{\boldsymbol {\gamma }}_{3})\,}$

Generalización a dimensiones superiores

La distribución Kent se puede generalizar fácilmente a esferas de dimensiones superiores. Si es un punto en la esfera unitaria en , entonces la función de densidad de la distribución Kent de dimensión superior es proporcional a ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S^{p-1}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p}}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle \exp \left\{\kappa {\boldsymbol {\gamma }}_{1}^{T}\mathbf {x} +\sum _{j=2}^{p}\beta _{j}({\boldsymbol {\gamma }}_{j}^{T}\mathbf {x} )^{2}\right\}\ ,}$

donde y y los vectores son ortonormales. Sin embargo, resulta muy difícil trabajar con la constante de normalización para . ${\displaystyle \sum _{j=2}^{p}\beta _{j}=0}$ ${\displaystyle 0\leq 2|\beta _{j}|<\kappa }$ ${\displaystyle \{{\boldsymbol {\gamma }}_{j}\mid j=1,\ldots ,p\}}$ ${\displaystyle p>3}$

Véase también

• Estadísticas direccionales
• Distribución de von Mises-Fisher
• Distribución de von Mises bivariada
• Distribución de von Mises
• Distribución de Bingham

Referencias

• Boomsma, W., Kent, JT, Mardia, KV, Taylor, CC y Hamelryck, T. (2006) Los modelos gráficos y las estadísticas direccionales capturan la estructura de las proteínas Archivado el 7 de mayo de 2021 en Wayback Machine . En S. Barber, PD Baxter, KVMardia y RE Walls (Eds.), Interdisciplinary Statistics and Bioinformatics , págs. 91–94. Leeds, Leeds University Press.
• Hamelryck T, Kent JT, Krogh A (2006) Muestreo de conformaciones proteicas realistas mediante sesgo estructural local. PLoS Comput Biol 2(9): e131
• Kent, JT (1982) La distribución de Fisher-Bingham en la esfera., J. Royal. Stat. Soc. , 44:71–80.
• Kent, JT, Hamelryck, T. (2005). Uso de la distribución Fisher-Bingham en modelos estocásticos para la estructura de proteínas Archivado el 7 de mayo de 2021 en Wayback Machine . En S. Barber, PD Baxter, KVMardia y RE Walls (Eds.), Biología cuantitativa, análisis de formas y wavelets , págs. 57-60. Leeds, Leeds University Press.
• Mardia, KVM, Jupp, PE (2000) Estadísticas direccionales (2.ª edición), John Wiley and Sons Ltd. ISBN  0-471-95333-4
• Peel, D., Whiten, WJ., McLachlan, GJ. (2001) Ajuste de mezclas de distribuciones de Kent para ayudar en la identificación de conjuntos conjuntos. J. Am. Stat. Ass. , 96:56–63