Altitud (triángulo)

Segmento de recta perpendicular desde el lado de un triángulo hasta el vértice opuesto

Las tres alturas de un triángulo se cortan en el ortocentro, que en un triángulo agudo está dentro del triángulo.

En geometría , la altura de un triángulo es un segmento de línea que pasa por un vértice y es perpendicular a una línea que contiene el lado opuesto al vértice . Esta línea que contiene el lado opuesto se llama base extendida de la altitud. La intersección de la base extendida y la altitud se llama pie de altitud. La longitud de la altitud, a menudo llamada simplemente "la altitud", es la distancia entre la base extendida y el vértice. El proceso de trazar la altitud desde el vértice hasta el pie se conoce como bajar la altitud en ese vértice. Es un caso especial de proyección ortogonal .

Las altitudes se pueden utilizar para calcular el área de un triángulo : la mitad del producto de la longitud de una altitud y la longitud de su base es igual al área del triángulo. Por tanto, la altitud más larga es perpendicular al lado más corto del triángulo. Las altitudes también se relacionan con los lados del triángulo a través de las funciones trigonométricas .

En un triángulo isósceles (un triángulo con dos lados congruentes ), la altura que tiene el lado incongruente como base tendrá el punto medio de ese lado como pie. También la altitud que tiene como base el lado incongruente será la bisectriz del ángulo del vértice.

Es común marcar la altitud con la letra h (como en altura ), a menudo subíndice con el nombre del lado al que se dibuja la altitud.

La altura de un triángulo rectángulo desde su ángulo recto hasta su hipotenusa es la media geométrica de las longitudes de los segmentos en los que se divide la hipotenusa. Usando el teorema de Pitágoras sobre los 3 triángulos de lados ( p  +  q , r , s  ) , ( r , p , h  ) y ( s , h , q  ) ,
${\displaystyle {\begin{aligned}(p+q)^{2}\;\;&=\quad r^{2}\;\;\,+\quad s^{2}\\p^{2}\!\!+\!2pq\!+\!q^{2}&=\overbrace {p^{2}\!\!+\!h^{2}} +\overbrace {h^{2}\!\!+\!q^{2}} \\2pq\quad \;\;\;&=2h^{2}\;\therefore h\!=\!{\sqrt {pq}}\\\end{aligned}}}$

En un triángulo rectángulo , la altura dibujada hasta la hipotenusa c divide la hipotenusa en dos segmentos de longitudes p y q . Si denotamos la longitud de la altitud por h _c , entonces tenemos la relación

${\displaystyle h_{c}={\sqrt {pq}}}$  ( Teorema de la media geométrica ; ver Casos especiales, teorema de Pitágoras inverso )

En un triángulo rectángulo, la altura de cada ángulo agudo coincide con un cateto y corta al lado opuesto en (tiene su pie en) el vértice del ángulo recto, que es el ortocentro.

Para triángulos agudos, todos los pies de las altitudes caen sobre los lados del triángulo (no extendidos). En un triángulo obtuso (uno con un ángulo obtuso ), el pie de la altura hasta el vértice del ángulo obtuso cae en el interior del lado opuesto, pero los pies de la altura hasta los vértices de ángulo agudo caen en el lado extendido opuesto , exterior al triángulo. Esto se ilustra en el diagrama adyacente: en este triángulo obtuso, una altura caída perpendicularmente desde el vértice superior, que tiene un ángulo agudo, corta el lado horizontal extendido fuera del triángulo.

Ortocentro

Tres altitudes que se cruzan en el ortocentro.

Las tres altitudes (posiblemente extendidas) se cruzan en un solo punto, llamado ortocentro del triángulo, generalmente denotado por H. ^{[1] [2]} El ortocentro se encuentra dentro del triángulo si y sólo si el triángulo es agudo. Si un ángulo es recto, el ortocentro coincide con el vértice del ángulo recto. ^[2]

Sean A, B, C los vértices y también los ángulos del triángulo, y sean las longitudes de los lados. El ortocentro tiene coordenadas trilineales ^[3] ${\displaystyle a=\left|{\overline {BC}}\right|,b=\left|{\overline {CA}}\right|,c=\left|{\overline {AB}}\right|}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\sec A:\sec B:\sec C\\&=\cos A-\sin B\sin C:\cos B-\sin C\sin A:\cos C-\sin A\sin B,\end{aligned}}}$$

y coordenadas baricéntricas

$${\displaystyle {\begin{aligned}&(a^{2}+b^{2}-c^{2})(a^{2}-b^{2}+c^{2}):(a^{2}+b^{2}-c^{2})(-a^{2}+b^{2}+c^{2}):(a^{2}-b^{2}+c^{2})(-a^{2}+b^{2}+c^{2})\\&=\tan A:\tan B:\tan C.\end{aligned}}}$$

Dado que todas las coordenadas baricéntricas son positivas para un punto en el interior de un triángulo, pero al menos una es negativa para un punto en el exterior, y dos de las coordenadas baricéntricas son cero para un punto de vértice, las coordenadas baricéntricas dadas para el ortocentro muestran que el ortocentro está en el interior de un triángulo agudo , en el vértice rectángulo de un triángulo rectángulo y en el exterior de un triángulo obtuso .

En el plano complejo , supongamos que los puntos A, B, C representan los números z _A , z _B , z _C y supongamos que el circuncentro del triángulo △ ABC está ubicado en el origen del plano. Entonces el número complejo

${\displaystyle z_{H}=z_{A}+z_{B}+z_{C}}$

está representado por el punto H , es decir, la altura del triángulo △ ABC . ^[4] A partir de esto, se pueden establecer de forma sencilla las siguientes caracterizaciones del ortocentro H mediante vectores libres :

${\displaystyle {\vec {OH}}=\sum \limits _{\scriptstyle {\rm {cyclic}}}{\vec {OA}},\qquad 2\cdot {\vec {HO}}=\sum \limits _{\scriptstyle {\rm {cyclic}}}{\vec {HA}}.}$

La primera de las identidades vectoriales anteriores también se conoce como problema de Sylvester , propuesto por James Joseph Sylvester . ^[5]

Propiedades

Sean D, E, F los pies de las altitudes de A, B, C respectivamente. Entonces:

• El producto de las longitudes de los segmentos en los que el ortocentro divide una altitud es el mismo para las tres altitudes: ^{[6] [7]}

${\displaystyle {\overline {AH}}\cdot {\overline {HD}}={\overline {BH}}\cdot {\overline {HE}}={\overline {CH}}\cdot {\overline {HF}}.}$

El círculo centrado en H y cuyo radio es la raíz cuadrada de esta constante es el círculo polar del triángulo . ^[8]

• La suma de las razones en las tres altitudes de la distancia del ortocentro desde la base a la longitud de la altitud es 1: ^[9] (Esta propiedad y la siguiente son aplicaciones de una propiedad más general de cualquier punto interior y la tres cevians a través de él.)

${\displaystyle {\frac {\overline {HD}}{\overline {AD}}}+{\frac {\overline {HE}}{\overline {BE}}}+{\frac {\overline {HF}}{\overline {CF}}}=1.}$

• La suma de las razones en las tres altitudes de la distancia del ortocentro desde el vértice a la longitud de la altitud es 2: ^[9]

${\displaystyle {\frac {\overline {AH}}{\overline {AD}}}+{\frac {\overline {BH}}{\overline {BE}}}+{\frac {\overline {CH}}{\overline {CF}}}=2.}$

• El conjugado isogonal del ortocentro es el circuncentro del triángulo. ^[10]
• El conjugado isotómico del ortocentro es el punto simediano del triángulo anticomplementario . ^[11]
• Cuatro puntos en el plano, de modo que uno de ellos sea el ortocentro del triángulo formado por los otros tres, se denomina sistema ortocéntrico o cuadrilátero ortocéntrico.

Relación con círculos y cónicas.

Denota el circunradio del triángulo por R . Entonces ^{[12] [13]}

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+{\overline {AH}}^{2}+{\overline {BH}}^{2}+{\overline {CH}}^{2}=12R^{2}.}$

Además, denotando r como el radio de la circunferencia circunstante del triángulo , r _a , r _b , r _c como los radios de sus circunferencias excircunferencias y R nuevamente como el radio de su circunferencia circunstante, se cumplen las siguientes relaciones con respecto a las distancias del ortocentro al vértices: ^[14]

${\displaystyle {\begin{aligned}&r_{a}+r_{b}+r_{c}+r={\overline {AH}}+{\overline {BH}}+{\overline {CH}}+2R,\\&r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}+r^{2}={\overline {AH}}^{2}+{\overline {BH}}^{2}+{\overline {CH}}^{2}+(2R)^{2}.\end{aligned}}}$

Si cualquier altitud, por ejemplo, AD , se extiende para intersectar el círculo circunstante en P , de modo que AD sea una cuerda del círculo circunstante, entonces el pie D biseca el segmento HP : ^[7]

${\displaystyle {\overline {HD}}={\overline {DP}}.}$

Las directrices de todas las parábolas que son tangentes externamente a un lado de un triángulo y tangentes a las extensiones de los otros lados pasan por el ortocentro. ^[15]

Una circucónica que pasa por el ortocentro de un triángulo es una hipérbola rectangular . ^[dieciséis]

Relación con otros centros, el círculo de nueve puntos

El ortocentro H , el centroide G , el circuncentro O y el centro N del círculo de nueve puntos se encuentran todos en una sola línea, conocida como línea de Euler . ^[17] El centro del círculo de nueve puntos se encuentra en el punto medio de la línea de Euler, entre el ortocentro y el circuncentro, y la distancia entre el centroide y el circuncentro es la mitad de la que hay entre el centroide y el ortocentro: ^[18]

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\overline {OH}}=2{\overline {NH}},\\&2{\overline {OG}}={\overline {GH}}.\end{aligned}}}$

El ortocentro está más cerca del incentro I que del centroide, y el ortocentro está más lejos que el incentro del centroide:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {HI}}&<{\overline {HG}},\\{\overline {HG}}&>{\overline {IG}}.\end{aligned}}}$

En términos de los lados a , b , c , inradio r y circunradio R , ^{[19] [20] : p. 449}

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {OH}}^{2}&=R^{2}-8R^{2}\cos A\cos B\cos C\\&=9R^{2}-(a^{2}+b^{2}+c^{2}),\\{\overline {HI}}^{2}&=2r^{2}-4R^{2}\cos A\cos B\cos C.\end{aligned}}}$

triangulo ortico

El triángulo △ abc (respectivamente, △ DEF en el texto) es el triángulo órtico del triángulo △ ABC

Si el triángulo △ ABC es oblicuo (no contiene ángulo recto), el triángulo pedal del ortocentro del triángulo original se llama triángulo órtico o triángulo de altitud . Es decir, los pies de las altitudes de un triángulo oblicuo forman el triángulo órtico, △ DEF . Además, el incentro (el centro del círculo inscrito) del triángulo órtico △ DEF es el ortocentro del triángulo original △ ABC . ^[21]

Las coordenadas trilineales para los vértices del triángulo órtico están dadas por

$${\displaystyle {\begin{array}{rccccc}D=&0&:&\sec B&:&\sec C\\E=&\sec A&:&0&:&\sec C\\F=&\sec A&:&\sec B&:&0\end{array}}}$$

Los lados extendidos del triángulo órtico se encuentran con los lados extendidos opuestos de su triángulo de referencia en tres puntos colineales . ^{[22] [23] [21]}

En todo triángulo agudo , el triángulo inscrito de menor perímetro es el triángulo órtico. ^[24] Ésta es la solución al problema de Fagnano , planteado en 1775. ^[25] Los lados del triángulo órtico son paralelos a las tangentes a la circunferencia circunscrita en los vértices del triángulo original. ^[26]

El triángulo órtico de un triángulo agudo da una ruta de luz triangular. ^[27]

Las rectas tangentes del círculo de nueve puntos en los puntos medios de los lados de △ ABC son paralelas a los lados del triángulo órtico, formando un triángulo similar al triángulo órtico. ^[28]

El triángulo órtico está estrechamente relacionado con el triángulo tangencial , construido de la siguiente manera: sea L _A la recta tangente a la circunferencia circunscrita del triángulo △ ABC en el vértice A , y defina L _B , L _C de manera análoga. Sea el triángulo tangencial △ A"B"C" , cuyos lados son tangentes al círculo circunstante del triángulo △ ABC en sus vértices; es homotético al triángulo órtico. El circuncentro del triángulo tangencial y el centro de similitud de los triángulos órticos y tangenciales, están sobre la recta de Euler . ^{[20] :p.447} ${\displaystyle A''=L_{B}\cap L_{C},}$ ${\displaystyle B''=L_{C}\cap L_{A},}$ ${\displaystyle C''=L_{C}\cap L_{A}.}$

Las coordenadas trilineales para los vértices del triángulo tangencial están dadas por

$${\displaystyle {\begin{array}{rrcrcr}A''=&-a&:&b&:&c\\B''=&a&:&-b&:&c\\C''=&a&:&b&:&-c\end{array}}}$$

triángulos ortológicos

Para obtener más información sobre el triángulo órtico, consulte aquí .

Algunos teoremas de altitud adicionales

Altitud en términos de los lados.

Para cualquier triángulo con lados a, b, c y semiperímetro, la altitud desde el lado a (la base) está dada por ${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c),}$

${\displaystyle h_{a}={\frac {2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}{a}}.}$

Esto se desprende de combinar la fórmula de Heron para el área de un triángulo en términos de los lados con la fórmula del área donde la base se toma como lado a y la altura es la altitud desde el vértice A (lado opuesto a ). ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\times {\text{base}}\times {\text{height}},}$

Al intercambiar a por b o c , esta ecuación también se puede usar para encontrar las altitudes h _b y h _c , respectivamente.

Teoremas de inradio

Considere un triángulo arbitrario con lados a, b, c y con las altitudes correspondientes h _a , h _b , h _c . Las altitudes y el radio del círculo r están relacionados por ^{[29] : Lema 1}

${\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{r}}={\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}.}$

Teorema del circunradio

Denotando la altitud de un lado de un triángulo como h _a , los otros dos lados como b y c , y el radio circunscrito del triángulo (radio del círculo circunscrito del triángulo) como R , la altitud viene dada por ^[30]

${\displaystyle h_{a}={\frac {bc}{2R}}.}$

Punto interior

Si p ₁ , p ₂ , p ₃ son las distancias perpendiculares desde cualquier punto P a los lados, y h ₁ , h ₂ , h ₃ son las altitudes a los lados respectivos, entonces ^[31]

${\displaystyle {\frac {p_{1}}{h_{1}}}+{\frac {p_{2}}{h_{2}}}+{\frac {p_{3}}{h_{3}}}=1.}$

Teorema del área

Denotar las altitudes de cualquier triángulo desde los lados a, b, c respectivamente como h _a , h _b , h _c , y denotar la semisuma de los recíprocos de las altitudes como tenemos ^[32] ${\displaystyle H={\tfrac {h_{a}^{-1}+h_{b}^{-1}+h_{c}^{-1}}{2}}}$

${\displaystyle \mathrm {Area} ^{-1}=4{\sqrt {H(H-h_{a}^{-1})(H-h_{b}^{-1})(H-h_{c}^{-1})}}.}$

Punto general en una altitud.

Si E es cualquier punto en una altitud AD de cualquier triángulo △ ABC , entonces ^{[33] : 77–78}

${\displaystyle {\overline {AC}}^{2}+{\overline {EB}}^{2}={\overline {AB}}^{2}+{\overline {CE}}^{2}.}$

Casos especiales

Triángulo equilátero

Desde cualquier punto P dentro de un triángulo equilátero , la suma de las perpendiculares a los tres lados es igual a la altura del triángulo. Este es el teorema de Viviani .

Triángulo rectángulo

Comparación del teorema de Pitágoras inverso con el teorema de Pitágoras

En un triángulo rectángulo con catetos a y b e hipotenusa c , cada uno de los catetos también es una altura: y . La tercera altitud se puede encontrar mediante la relación ^{[34] [35]} ${\displaystyle h_{a}=b}$ ${\displaystyle h_{b}=a}$

${\displaystyle {\frac {1}{h_{c}^{2}}}={\frac {1}{h_{a}^{2}}}+{\frac {1}{h_{b}^{2}}}={\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}.}$

Esto también se conoce como teorema de Pitágoras inverso .

Tenga en cuenta en particular:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\tfrac {1}{2}}AC\cdot BC&={\tfrac {1}{2}}AB\cdot CD\\[4pt]CD&={\tfrac {AC\cdot BC}{AB}}\\[4pt]\end{aligned}}}$

Historia

El teorema de que concurren las tres alturas de un triángulo (en el ortocentro) no se establece directamente en los textos matemáticos griegos supervivientes , pero se utiliza en el Libro de los Lemas (proposición 5), atribuido a Arquímedes (siglo III a. C.), citando el " comentario al tratado sobre triángulos rectángulos", obra que no se conserva. También fue mencionado por Pappus ( Colección Matemática , VII, 62; c. 340). ^[36] El teorema fue declarado y demostrado explícitamente por al-Nasawi en su comentario (siglo XI) sobre el Libro de los Lemas , y atribuido a al-Quhi (  siglo XI ) . ^[37]

Esta prueba en árabe fue traducida como parte de las ediciones latinas (principios del siglo XVII) del Libro de Lemas , pero no era ampliamente conocida en Europa y, por lo tanto, el teorema se demostró varias veces más entre los siglos XVII y XIX. Samuel Marolois lo demostró en su Geometrie (1619), e Isaac Newton lo demostró en un tratado inacabado Geometría de líneas curvas ( c. 1680). ^[36] Posteriormente William Chapple lo demostró en 1749. ^[38]

Una prueba particularmente elegante se debe a François-Joseph Servois (1804) y, de forma independiente, a Carl Friedrich Gauss (1810): Traza una línea paralela a cada lado del triángulo que pase por el punto opuesto y forma un nuevo triángulo a partir de las intersecciones de estas tres líneas. . Entonces el triángulo original es el triángulo medial del nuevo triángulo, y las altitudes del triángulo original son las bisectrices perpendiculares del nuevo triángulo y, por lo tanto, concurren (en el circuncentro del nuevo triángulo). ^[39]

Ver también

• Centro del triángulo
• Mediana (geometría)

Notas

1. Inteligente 1998, pag. 156
2. Berele y Goldman 2001, pág. 118
3. Enciclopedia de centros triangulares de Clark Kimberling "Enciclopedia de centros triangulares". Archivado desde el original el 19 de abril de 2012 . Consultado el 19 de abril de 2012 .
4. Andreescu, Titu; Andrica, Dorin, "Números complejos de la A a... Z". Birkhäuser, Boston, 2006, ISBN 978-0-8176-4326-3 , página 90, Proposición 3 
5. Dörrie, Heinrich, "100 grandes problemas de matemáticas elementales. Su historia y solución". Dover Publications, Inc., Nueva York, 1965, ISBN 0-486-61348-8 , página 142 
6. Johnson 2007, pág. 163, artículo 255
7. ""Ortocentro de un triángulo"". Archivado desde el original el 5 de julio de 2012 . Consultado el 4 de mayo de 2012 .
8. Johnson 2007, pág. 176, artículo 278
9. Panapoi, Ronnachai, "Algunas propiedades del ortocentro de un triángulo", Universidad de Georgia .
10. Inteligente 1998, pag. 182
11. Weisstein, Eric W. "Conjugado isotómico" de MathWorld: un recurso web de Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/IsotomicConjugate.html
12. Weisstein, Eric W. "Ortocentro". De MathWorld: un recurso web de Wolfram.
13. Altshiller-Court 2007, pag. 102
14. Bell, Amy, "Teorema del triángulo rectángulo de Hansen, su inverso y una generalización", Forum Geometriorum 6, 2006, 335–342.
15. Weisstein, Eric W. "Parábola de Kipert". De MathWorld: un recurso web de Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/KiepertParabola.html
16. Weisstein, Eric W. "Jerabek Hipérbola". De MathWorld: un recurso web de Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/JerabekHyperbola.html
17. Berele y Goldman 2001, pag. 123
18. Berele y Goldman 2001, págs. 124-126
19. Marie-Nicole Gras, "Distancias entre el circuncentro del triángulo extouch y los centros clásicos", Forum Geometriorum 14 (2014), 51-61. http://forumgeom.fau.edu/FG2014volume14/FG201405index.html
20. Smith, Geoff y Leversha, Gerry, "Euler y la geometría del triángulo", Mathematical Gazette 91, noviembre de 2007, 436–452.
21. William H. Barker, Roger Howe (2007). "§ VI.2: Las coincidencias clásicas". Simetría continua: de Euclides a Klein . Sociedad Matemática Estadounidense. pag. 292.ISBN​ 978-0-8218-3900-3.Ver también: Corolario 5.5, p. 318.
22. Johnson 2007, pág. 199, artículo 315
23. Altshiller-Court 2007, pag. 165
24. Johnson 2007, pág. 168, artículo 264
25. Berele y Goldman 2001, págs. 120-122
26. Johnson 2007, pág. 172, artículo 270c
27. Bryant, V. y Bradley, H., "Triangular Light Routes", Mathematical Gazette 82, julio de 1998, 298-299.
28. Kay, David C. (1993), Geometría universitaria/un enfoque de descubrimiento , HarperCollins, p. 6, ISBN 0-06-500006-4
29. Dorin Andrica y Dan S ̧tefan Marinescu. "Nuevas desigualdades de interpolación para R ≥ 2r de Euler". Forum Geométricorum , volumen 17 (2017), págs. http://forumgeom.fau.edu/FG2017volume17/FG201719.pdf
30. Johnson 2007, pág. 71, artículo 101a
31. Johnson 2007, pág. 74, Sección 103c
32. Mitchell, Douglas W., "Una fórmula tipo Heron para el área recíproca de un triángulo", Mathematical Gazette 89, noviembre de 2005, 494.
33. Alfred S. Posamentier y Charles T. Salkind, Problemas desafiantes en geometría , Dover Publishing Co., segunda edición revisada, 1996.
34. Voles, Roger, "Soluciones enteras de ", Mathematical Gazette 83, julio de 1999, 269–271. ${\displaystyle a^{-2}+b^{-2}=d^{-2}}$
35. Richinick, Jennifer, "El teorema de Pitágoras al revés", Mathematical Gazette 92, julio de 2008, 313–317.
36. Newton, Isaac (1971). "3.1 La 'Geometría de las líneas curvas'" . En Whiteside, Derek Thomas (ed.). Los artículos matemáticos de Isaac Newton . vol. 4. Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 454–455.Tenga en cuenta las notas a pie de página de Whiteside 90–92, págs. 454–456.
37. Hajja, Mowaffaq; Martini, Horst (2013). «Concurrencia de las Altitudes de un Triángulo» (PDF) . Mathematische Semesterberichte . 60 (2): 249–260. doi :10.1007/s00591-013-0123-z.
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39. Servois, Francois-Joseph (1804). Solutions peu connues de différens problèmes de Géométrie-pratique [ Soluciones poco conocidas de varios problemas de práctica de geometría ] (en francés). Diabólicamente, Metz et Courcier. pag. 15.
    Gauss, Carl Friedrich (1810). "Zusatze". Geometrie der Stellung . Por Carnot, Lazare (en alemán). Traducido por Schumacher.republicado en Gauss, Carl Friedrich (1873). "Zusatze". Trabajo . vol. 4. Academia de Ciencias de Gotinga. pag. 396.
    Véase Mackay, John Sturgeon (1883). "El triángulo y sus seis círculos trazados §5. Ortocentro". Actas de la Sociedad Matemática de Edimburgo . 1 : 60–96. doi : 10.1017/S0013091500036762 .

Referencias

• Altshiller-Court, Nathan (2007) [1952], Geometría universitaria , Dover
• Berele, Allan; Goldman, Jerry (2001), Geometría: teoremas y construcciones , Prentice Hall, ISBN 0-13-087121-4
• Bogomolny, Alejandro . "Existencia del Ortocentro". Cortar el nudo . Consultado el 17 de diciembre de 2022 .
• Johnson, Roger A. (2007) [1960], Geometría euclidiana avanzada , Dover, ISBN 978-0-486-46237-0
• Smart, James R. (1998), Geometrías modernas (5ª ed.), Brooks/Cole, ISBN 0-534-35188-3

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Altitud". MundoMatemático .
• Ortocentro de un triángulo Con animación interactiva.
• Demostración animada de construcción de ortocentros Compás y regla.
• El problema de Fagnano por Jay Warendorff, Proyecto de demostraciones Wolfram .