Sección cónica que pasa por los vértices de un triángulo o es tangente a sus lados
En geometría euclidiana , una circuncónica es una sección cónica que pasa por los tres vértices de un triángulo , [1] y una incónica es una sección cónica inscrita en los lados, posiblemente extendidos , de un triángulo. [2]
Supongamos que A, B, C son puntos distintos no colineales, y sea △ ABC el triángulo cuyos vértices son A, B, C. Siguiendo la práctica común, A denota no sólo el vértice sino también el ángulo ∠ BAC en el vértice A , y de manera similar para B y C como ángulos en △ ABC . Sean las longitudes laterales de △ ABC .![{\displaystyle a=|BC|,b=|CA|,c=|AB|,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
En coordenadas trilineales , la circuncónica general es el lugar geométrico de un punto variable que satisface una ecuación![{\displaystyle X=x:y:z}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle uyz+vzx+wxy=0,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
para algún punto u : v : w . El conjugado isogonal de cada punto X de la circuncónica, distinto de A, B, C , es un punto de la recta
![{\displaystyle ux+vy+wz=0.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Esta recta corta la circunferencia circunscrita de △ ABC en 0,1 ó 2 puntos según que la circuncónica sea una elipse, una parábola o una hipérbola.
La incónica general es tangente a las tres líneas laterales de △ ABC y viene dada por la ecuación
![{\displaystyle u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}-2vwyz-2wuzx-2uvxy=0.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Centros y rectas tangentes
circuncónico
El centro del circuncónico general es el punto.
![{\displaystyle u(-au+bv+cw):v(au-bv+cw):w(au+bv-cw).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Las rectas tangentes a la circuncónica general en los vértices A, B, C son, respectivamente,
![{\displaystyle {\begin{aligned}wv+vz&=0,\\uz+wx&=0,\\vx+uy&=0.\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Incónico
El centro de la incónica general es el punto.
![{\displaystyle cv+bw:aw+cu:bu+av.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Las rectas tangentes a la incónica general son las líneas laterales de △ ABC , dadas por las ecuaciones x = 0 , y = 0 , z = 0 .
Otras características
circuncónico
- Cada circuncónico no circular se encuentra con el circuncírculo de △ ABC en un punto distinto de A, B, C , a menudo llamado cuarto punto de intersección , dado por coordenadas trilineales.
![{\displaystyle (cx-az)(ay-bx):(ay-bx)(bz-cy):(bz-cy)(cx-az)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Si es un punto de la circuncónica general, entonces la recta tangente a la cónica en P viene dada por
![{\displaystyle P=p:q:r}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (vr+wq)x+(wp+ur)y+(uq+vp)z=0.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- El circuncónico general se reduce a una parábola si y sólo si
![{\displaystyle u^{2}a^{2}+v^{2}b^{2}+w^{2}c^{2}-2vwbc-2wuca-2uvab=0,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- y a una hipérbola rectangular si y sólo si
![{\displaystyle u\cos A+v\cos B+w\cos C=0.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Incónico
- La incónica general se reduce a una parábola si y sólo si
![{\displaystyle ubc+vca+wab=0,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- en cuyo caso es tangente exteriormente a uno de los lados del triángulo y es tangente a las extensiones de los otros dos lados .
- Supongamos que y son puntos distintos, y dejemos que
![{\displaystyle p_{1}:q_{1}:r_{1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle p_{2}:q_{2}:r_{2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle X=(p_{1}+p_{2}t):(q_{1}+q_{2}t):(r_{1}+r_{2}t).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Como el parámetro t abarca los números reales , el lugar geométrico de X es una recta. Definir
![{\displaystyle X^{2}=(p_{1}+p_{2}t)^{2}:(q_{1}+q_{2}t)^{2}:(r_{1}+r_ {2}t)^{2}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- El lugar geométrico de X 2 es la incónica, necesariamente una elipse , dada por la ecuación
![{\displaystyle L^{4}x^{2}+M^{4}y^{2}+N^{4}z^{2}-2M^{2}N^{2}yz-2N^ {2}L^{2}zx-2L^{2}M^{2}xy=0,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- dónde
![{\displaystyle {\begin{aligned}L&=q_{1}r_{2}-r_{1}q_{2},\\M&=r_{1}p_{2}-p_{1}r_{2} ,\\N&=p_{1}q_{2}-q_{1}p_{2}.\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\frac {\text{Área de la elipse}}{\text{Área del triángulo}}}=\pi {\sqrt {(1-2\alpha )(1-2\beta )(1-2 \gamma )}},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- que se maximiza por las coordenadas baricéntricas del centroide α = β = γ = ⅓ .
- Las rectas que conectan los puntos de tangencia de cualquier inelipse de un triángulo con los vértices opuestos del triángulo son concurrentes. [3] : pág.148
Extensión a cuadriláteros
Todos los centros de las elipses de un cuadrilátero dado caen en el segmento de recta que conecta los puntos medios de las diagonales del cuadrilátero. [3] : pág.136
Ejemplos
- circuncónicos
- Circuncírculo , el único círculo que pasa por los tres vértices de un triángulo.
- Circumelipse de Steiner , la elipse única que pasa por los tres vértices de un triángulo y está centrada en el centroide del triángulo.
- Hipérbola de Kiepert , la única cónica que pasa por los tres vértices de un triángulo, su centroide y su ortocentro .
- Hipérbola de Jeřábek , una hipérbola rectangular centrada en el círculo de nueve puntos de un triángulo y que pasa por los tres vértices del triángulo, así como por su circuncentro , ortocentro y varios otros centros notables.
- Hipérbola de Feuerbach , una hipérbola rectangular que pasa por el ortocentro de un triángulo, el punto de Nagel y varios otros puntos notables, y tiene centro en el círculo de nueve puntos.
- Incónicos
Referencias
- ^ Weisstein, Eric W. "Circumcónico". De MathWorld: un recurso web de Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/Circumconic.html
- ^ Weisstein, Eric W. "Incónico". De MathWorld: un recurso web de Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/Inconic.html
- ^ abcdefg Chakerian, GD "Una visión distorsionada de la geometría". Cap. 7 en Mathematical Plums (R. Honsberger, editor). Washington, DC: Asociación Matemática de América, 1979.
enlaces externos
- Circuncónico en MathWorld
- Incónico en MathWorld