Punta de Nagel

En geometría , el punto de Nagel (llamado así por Christian Heinrich von Nagel ) es el centro de un triángulo , uno de los puntos asociados a un triángulo dado cuya definición no depende de la ubicación o escala del triángulo. Es el punto de concurrencia de los tres divisores del triángulo .

Construcción

Dado un triángulo $△ ABC$ , sean $T A, T B, T C$ los puntos de contacto en los que la circunferencia extraída A $corta$ a la recta $BC$ , la circunferencia extraída $B corta a la recta$ $CA$ y la circunferencia extraída $C$ corta a la recta $AB$ , respectivamente. Las rectas $AT$ $A$ $, BT$ $B$ $, CT$ $C$ concurren en el punto de Nagel $N$ del triángulo $△$ $ABC$ .

Otra construcción del punto $T A$ es comenzar en $A$ y trazar alrededor del triángulo $△ ABC$ la mitad de su perímetro , y de manera similar para $T B$ y $T C.$ Debido a esta construcción, el punto de Nagel a veces también se denomina punto de perímetro bisecado , y los segmentos $AT A, BT B, CT C$ se denominan divisores del triángulo .

Existe una construcción sencilla del punto de Nagel. Partiendo de cada vértice de un triángulo, basta con trazar el doble de la longitud del lado opuesto. Obtenemos tres rectas que concurren en el punto de Nagel. ^[1]

Relación con otros centros triangulares

El punto de Nagel es el conjugado isotómico del punto de Gergonne . El punto de Nagel, el baricentro y el incentro son colineales en una línea llamada línea de Nagel . El incentro es el punto de Nagel del triángulo medial ; ^[2]^[3] equivalentemente, el punto de Nagel es el incentro del triángulo anticomplementario . El conjugado isogonal del punto de Nagel es el punto de concurrencia de las líneas que unen el punto de contacto mixtilíneo y el vértice opuesto.

Coordenadas baricéntricas

Las coordenadas baricéntricas no normalizadas del punto Nagel son donde es el semiperímetro del triángulo de referencia $△$ $ABC$ . ${\estilo de visualización (sa:sb:sc)}$ $s={\frac {a+b+c}{2}}$

Coordenadas trilineales

Las coordenadas trilineales del punto Nagel son ^[4] como

\csc ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right)\,:\,\csc ^{2}\left({\frac {B}{2}}\right)\,:\,\csc ^{2}\left({\frac {C}{2}}\right)

o, equivalentemente, en términos de las longitudes de los lados $a=\left|{\overline {BC}}\right|,b=\left|{\overline {CA}}\right|,c=\left|{\overline {AB}}\right|,$

{\frac {b+ca}{a}}\,:\,{\frac {c+ab}{b}}\,:\,{\frac {a+bc}{c}}.

Historia

El punto de Nagel recibe su nombre de Christian Heinrich von Nagel , un matemático alemán del siglo XIX, que escribió sobre él en 1836. Las primeras contribuciones al estudio de este punto también fueron realizadas por August Leopold Crelle y Carl Gustav Jacob Jacobi . ^[5]

Véase también

Referencias

^ Dussau, Xavier. "Construcción elemental del punto Nagel". HAL .
^ Anónimo (1896). "Problema 73". Problemas para solución: geometría. American Mathematical Monthly . 3 (12): 329. doi :10.2307/2970994. JSTOR 2970994.
^ "¿Por qué el incentro es el punto Nagel del triángulo medial?". Polimatemáticas .
^ Gallatly, William (1913). La geometría moderna del triángulo (2.ª ed.). Londres: Hodgson. pág. 20.
^ Bautista, Peter (1987). "Historische Anmerkungen zu Gergonne- und Nagel-Punkt". Sudhoffs Archiv für Geschichte der Medizin und der Naturwissenschaften . 71 (2): 230–233. SEÑOR 0936136.

Enlaces externos

Punta Nagel de Cut-the-knot
Punta Nagel, Clark Kimberling
Weisstein, Eric W. "Punto Nagel". MundoMatemático .
Cónica de Spieker y generalización de la línea de Nagel en Dynamic Geometry Sketches Generaliza el círculo de Spieker y la línea de Nagel asociada.