En geometría , el conjugado isotómico de un punto P con respecto a un triángulo △ ABC es otro punto, definido de manera específica a partir de P y △ ABC : Si los puntos base de las rectas PA, PB, PC en los lados opuestos a A, B, C se reflejan alrededor de los puntos medios de sus respectivos lados, las rectas resultantes se intersecan en el conjugado isotómico de P.
Suponemos que P no es colineal con ninguno de los dos vértices de △ ABC . Sean A', B', C' los puntos en los que las rectas AP, BP, CP se cruzan con las laterales BC, CA, AB ( ampliadas si es necesario). Reflejando A', B', C' en los puntos medios de los lados BC , CA , AB se obtendrán los puntos A", B", C" respectivamente. Las rectas isotómicas AA", BB", CC" que unen estos nuevos puntos con los vértices se cruzan en un punto (que puede demostrarse utilizando el teorema de Ceva ), el conjugado isotómico de P .
Si los trilineales para P son p : q : r , entonces los trilineales para el conjugado isotómico de P son
donde a, b, c son las longitudes de los lados opuestos a los vértices A, B, C respectivamente.
El conjugado isotómico del centroide del triángulo △ ABC es el centroide mismo.
El conjugado isotómico del punto simediano es el tercer punto de Brocard , y el conjugado isotómico del punto de Gergonne es el punto de Nagel .
Los conjugados isotómicos de rectas son circuncónicos y, a la inversa, los conjugados isotómicos de circuncónicos son rectas. (Esta propiedad también se cumple para los conjugados isogonales ).
En mayo de 2021, Dao Thanh Oai dio una generalización del conjugado isotómico de la siguiente manera: [1]
Sea △ ABC un triángulo, P un punto de su plano y Ω una circuncónica arbitraria de △ ABC . Las rectas AP, BP, CP cortan de nuevo a Ω en A', B', C' respectivamente, y las rectas paralelas que pasan por estos puntos hasta BC, CA, AB cortan de nuevo a Ω en A", B", C" respectivamente. Entonces las rectas AA", BB", CC" son concurrentes .
Si las coordenadas baricéntricas del centro X de Ω son y , entonces D , el punto de intersección de AA", BB", CC" es:
El punto D anterior se llama conjugado X -Dao de P , este conjugado es una generalización de todos los tipos conocidos de conjugaciones: [1]
