Circunferencias mixtilíneas de un triángulo

Círculo tangente a dos lados de un triángulo y su circunferencia circunscrita

En geometría plana , un incírculo mixtilíneo de un triángulo es un círculo que es tangente a dos de sus lados y tangente internamente a su circunferencia circunscrita . El incírculo mixtilíneo de un triángulo tangente a los dos lados que contienen vértices se denomina incírculo mixtilíneo. Cada triángulo tiene tres incírculos mixtilíneos únicos, uno correspondiente a cada vértice. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle A}$-Círculo inscrito mixtilíneo del triángulo ${\displaystyle ABC}$

Prueba de existencia y unicidad

El - excírculo de un triángulo es único. Sea una transformación definida por la composición de una inversión centrada en con radio y una reflexión con respecto a la bisectriz del ángulo en . Como la inversión y la reflexión son biyectivas y conservan los puntos de contacto, entonces también lo hace. Entonces, la imagen del - excírculo bajo es un círculo tangente internamente a los lados y al circuncírculo de , es decir, el incírculo mixtilíneo. Por lo tanto, el incírculo mixtilíneo existe y es único, y un argumento similar puede probar lo mismo para los incírculos mixtilíneos correspondientes a y . ^[1] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle ABC}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\sqrt {AB\cdot AC}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle AB,AC}$ ${\displaystyle ABC}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$

Construcción

El hexágono y las intersecciones de sus 3 pares de lados opuestos. ${\displaystyle XCABYT_{A}}$ ${\displaystyle D,I,E}$

El círculo inscrito -mixtilíneo se puede construir con la siguiente secuencia de pasos. ^[2] ${\displaystyle A}$

1. Dibuja el incentro intersectando las bisectrices de los ángulos. ${\displaystyle I}$
2. Traza una línea perpendicular a la línea , tocando las líneas y en los puntos y respectivamente. Estos son los puntos tangentes del círculo mixtilíneo. ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle AI}$ ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle AC}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle E}$
3. Dibuje perpendiculares a y a través de los puntos y respectivamente e interséquelos en . es el centro del círculo, por lo que un círculo con centro y radio es el incírculo mixtilíneo ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle AC}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle O_{A}}$ ${\displaystyle O_{A}}$ ${\displaystyle O_{A}}$ ${\displaystyle O_{A}E}$

Esta construcción es posible gracias al siguiente hecho:

Lema

El incentro es el punto medio de los puntos de contacto del círculo inscrito mixtilíneo con los dos lados.

Prueba

Sea la circunferencia circunscrita del triángulo y el punto de tangencia de la circunferencia inscrita -mixtilínea y . Sea la intersección de la recta con y la intersección de la recta con . La homotecia con centro en entre y implica que son los puntos medios de los arcos y respectivamente. El teorema del ángulo inscrito implica que y son ternas de puntos colineales. El teorema de Pascal sobre el hexágono inscrito en implica que son colineales. Como los ángulos y son iguales, se deduce que es el punto medio del segmento . ^[1] ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle ABC}$ ${\displaystyle T_{A}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Omega _{A}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle X\neq T_{A}}$ ${\displaystyle T_{A}D}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle Y\neq T_{A}}$ ${\displaystyle T_{A}E}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle T_{A}}$ ${\displaystyle \Omega _{A}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle X,Y}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle AC}$ ${\displaystyle X,I,C}$ ${\displaystyle Y,I,B}$ ${\displaystyle XCABYT_{A}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle D,I,E}$ ${\displaystyle \angle {DAI}}$ ${\displaystyle \angle {IAE}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle DE}$

Otras propiedades

Radio

La siguiente fórmula relaciona el radio del círculo inscrito y el radio del círculo inscrito -mixtilíneo de un triángulo : ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \rho _{A}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle ABC}$ $${\displaystyle r=\rho _{A}\cdot \cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}$$

donde es la magnitud del ángulo en . ^[3] ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle A}$

Relación con puntos de la circunferencia circunscrita

• El punto medio del arco que contiene el punto está en la línea . ^{[4] [5]} ${\displaystyle BC}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle T_{A}I}$
• El cuadrilátero es armónico , lo que significa que es simediano del triángulo . ^[1] ${\displaystyle T_{A}XAY}$ ${\displaystyle T_{A}A}$ ${\displaystyle XT_{A}Y}$

Círculos relacionados con el punto de tangencia con el círculo circunscrito

${\displaystyle T_{A}BDI}$y son cuadriláteros cíclicos . ^[4] ${\displaystyle T_{A}CEI}$

Similitudes espirales

${\displaystyle T_{A}}$es el centro de una espiral de similitud que se asigna a respectivamente. ^[1] ${\displaystyle B,I}$ ${\displaystyle I,C}$

Relación entre las tres circunferencias mixtilíneas

Rectas que unen vértices y puntos de tangencia mixtilíneos

Las tres líneas que unen un vértice con el punto de contacto del círculo circunscrito con el círculo inscrito mixtilíneo correspondiente se encuentran en el centro de similitud externo del círculo inscrito y el círculo circunscrito. ^[3] La Enciclopedia en línea de centros de triángulos enumera este punto como X(56). ^[6] Se define por coordenadas trilineales : y coordenadas baricéntricas : $${\displaystyle {\frac {a}{c+a-b}}:{\frac {b}{c+a-b}}:{\frac {c}{a+b-c}},}$$ $${\displaystyle {\frac {a^{2}}{b+c-a}}:{\frac {b^{2}}{c+a-b}}:{\frac {c^{2}}{a+b-c}}.}$$

Centro radical

El centro radical de los tres círculos inscritos mixtilíneos es el punto que los divide en la razón: donde son respectivamente el incentro, el inradio, el circuncentro y el circunradio. ^[5] ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle OI}$ $${\displaystyle OJ:JI=2R:-r}$$ ${\displaystyle I,r,O,R}$

Referencias

1. Baca, Jafet. "Sobre los incírculos mixtilíneos" (PDF) . Consultado el 27 de octubre de 2021 .
2. Weisstein, Eric W. "Incírculos mixtilíneos". mathworld.wolfram.com . Consultado el 31 de octubre de 2021 .
3. Yui, Paul (23 de abril de 2018). "Mixtilinear Incircles". The American Mathematical Monthly . 106 (10): 952–955. doi :10.1080/00029890.1999.12005146 . Consultado el 27 de octubre de 2021 .
4. Chen, Evan (2016). Geometría euclidiana en las olimpíadas matemáticas . Estados Unidos de América: MAA. p. 68. ISBN 978-1-61444-411-4.
5. Nguyen, Khoa Lu (2006). "Sobre círculos inscritos y exscritos mixtilíneos" (PDF) . Consultado el 27 de noviembre de 2021 .
6. "ENCICLOPEDIA DE CENTROS DE TRIÁNGULOS". Faculty.evansville.edu . Consultado el 31 de octubre de 2021 .