Geometría inversa

Estudio de transformaciones que preservan los ángulos.

En geometría , la geometría inversa es el estudio de la inversión , una transformación del plano euclidiano que asigna círculos o líneas a otros círculos o líneas y que preserva los ángulos entre curvas que se cruzan. Muchos problemas difíciles de geometría se vuelven mucho más manejables cuando se aplica una inversión. La inversión parece haber sido descubierta por varias personas contemporáneamente, entre ellas Steiner (1824), Quetelet (1825), Bellavitis (1836), Stubbs e Ingram (1842-3) y Kelvin (1845). ^[1]

El concepto de inversión se puede generalizar a espacios de dimensiones superiores.

Inversión en círculo

Inversión del conjunto lambda Mandelbrot con diferentes traducciones

Inverso de un punto

P ' es la inversa de P con respecto al círculo.

Invertir un número en aritmética generalmente significa tomar su recíproco . Una idea estrechamente relacionada en geometría es la de "invertir" un punto. En el plano , la inversa de un punto P con respecto a un círculo de referencia (Ø) con centro O y radio r es un punto P ' , situado sobre el rayo que va de O a P tal que

${\displaystyle OP\cdot OP^{\prime }=r^{2}.}$

Esto se llama inversión de círculo o inversión de plano . La inversión que lleva cualquier punto P (que no sea O ) a su imagen P ' también lleva a P ' de regreso a P , por lo que el resultado de aplicar la misma inversión dos veces es la transformación de identidad que la convierte en una autoinversión (es decir, una involución). ^{[2] [3]} Para hacer de la inversión una función total que también está definida para O , es necesario introducir un punto en el infinito , un único punto colocado sobre todas las rectas, y extender la inversión, por definición, para intercambiar las centro O y este punto en el infinito.

De la definición se deduce que la inversión de cualquier punto dentro del círculo de referencia debe quedar fuera de él, y viceversa, con el centro y el punto en el infinito cambiando de posición, mientras que cualquier punto del círculo no se ve afectado (es invariante bajo inversión). En resumen, para un punto dentro del círculo, cuanto más cerca esté del centro, más se alejará su transformación. Mientras que para cualquier punto (dentro o fuera del círculo), cuanto más cerca esté el punto del círculo, más cercana será su transformación.

Construcción de compás y regla

Para construir la inversa P ' de un punto P fuera de un círculo Ø : Sea r el radio de Ø . Los triángulos rectángulos OPN y ONP ' son semejantes. OP es a r como r es a OP ' .

Punto fuera del círculo

Para construir la inversa P ' de un punto P fuera de un círculo Ø :

• Dibuja el segmento desde O (centro del círculo Ø ) hasta P.
• Sea M el punto medio de OP . (No mostrada)
• Dibuja el círculo c con centro en M que pasa por P. (Sin etiqueta. Es el círculo azul)
• Sean N y N ' los puntos donde se cruzan Ø y c .
• Dibujar el segmento NN ' .
• P ' es donde se cruzan OP y NN ' .

Punto dentro del círculo

Para construir la inversa P de un punto P ' dentro de un círculo Ø :

• Dibuje el rayo r desde O (centro del círculo Ø ) hasta P ' . (No está etiquetado, es la línea horizontal)
• Dibuja la línea s que pasa por P ' perpendicular a r . (No está etiquetado. Es la línea vertical)
• Sea N uno de los puntos donde se cruzan Ø y s .
• Dibuja el segmento ON .
• Dibuja la línea t que pasa por N perpendicular a ON .
• P es donde se cruzan el rayo r y la línea t .

La construcción de Dutta.

Existe una construcción del punto inverso a A con respecto a un círculo P que es independiente de si A está dentro o fuera de P. ^[4]

Considere un círculo P con centro O y un punto A que puede estar dentro o fuera del círculo P.

• Tome el punto de intersección C del rayo OA con el círculo P .
• Conecte el punto C con un punto arbitrario B en el círculo P (diferente de C y del punto en P antípoda de C )
• Sea h la reflexión del rayo BA en la recta BC . Entonces h corta al rayo OC en un punto A ' . A ' es el punto inverso de A con respecto a la circunferencia P. ^{[4] : § 3.2}

Propiedades

• 
  La inversa, con respecto al círculo rojo, de un círculo que pasa por O (azul) es una línea que no pasa por O (verde), y viceversa.
• 
  Lo inverso, con respecto al círculo rojo, de un círculo que no pasa por O (azul) es un círculo que no pasa por O (verde), y viceversa.
• 
  La inversión con respecto a un círculo no asigna el centro del círculo al centro de su imagen.

La inversión de un conjunto de puntos del plano respecto de una circunferencia es el conjunto de inversas de dichos puntos. Las siguientes propiedades hacen que la inversión de círculos sea útil.

• Un círculo que pasa por el centro O del círculo de referencia se invierte en una línea que no pasa por O , sino paralela a la tangente al círculo original en O , y viceversa; mientras que una línea que pasa por O se invierte en sí misma (pero no es invariante puntualmente). ^[5]
• Un círculo que no pasa por O se invierte y se convierte en un círculo que no pasa por O. Si el círculo se encuentra con el círculo de referencia, estos puntos de intersección invariantes también están en el círculo inverso. Un círculo (o línea) no cambia por inversión si y sólo si es ortogonal al círculo de referencia en los puntos de intersección. ^[5]

Las propiedades adicionales incluyen:

• Si un círculo q pasa por dos puntos distintos A y A' que son inversos con respecto a un círculo k , entonces los círculos k y q son ortogonales.
• Si los círculos k y q son ortogonales, entonces una línea recta que pasa por el centro O de k y corta a q , lo hace en puntos inversos con respecto a k .
• Dado un triángulo OAB en el que O es el centro de un círculo k y los puntos A' y B' son inversos de A y B con respecto a k , entonces

${\displaystyle \angle OAB=\angle OB'A'\ {\text{ and }}\ \angle OBA=\angle OA'B'.}$

• Los puntos de intersección de dos circunferencias p y q ortogonales a una circunferencia k , son inversas con respecto a k .
• Si M y M' son puntos inversos con respecto a un círculo k en dos curvas m y m', también inversas con respecto a k , entonces las tangentes a m y m' en los puntos M y M' son perpendiculares a la recta recta MM' o formar con esta recta un triángulo isósceles con base MM'.
• La inversión deja inalterada la medida de los ángulos, pero invierte la orientación de los ángulos orientados. ^[6]

Ejemplos en dos dimensiones

Ejemplos de inversión de los círculos A a J con respecto al círculo rojo en O. Los círculos A a F, que pasan por O, se corresponden con líneas rectas. Los círculos G a J, que no lo hacen, se asignan a otros círculos. El círculo de referencia y la línea L se asignan a sí mismos. Los círculos intersecan a sus inversos, si los hay, en el círculo de referencia. En el archivo SVG, haga clic o coloque el cursor sobre un círculo para resaltarlo.

• La inversión de una línea es un círculo que contiene el centro de inversión; o es la línea misma si contiene el centro
• La inversión de un círculo es otro círculo; o es una línea si el círculo original contiene el centro
• La inversión de una parábola es cardioide.
• La inversión de la hipérbola es una lemniscata de Bernoulli.

Solicitud

Para un círculo que no pasa por el centro de inversión, el centro del círculo que se invierte y el centro de su imagen bajo inversión son colineales con el centro del círculo de referencia. Este hecho se puede utilizar para demostrar que la línea de Euler del triángulo en contacto de un triángulo coincide con su línea OI. La prueba es aproximadamente la siguiente:

Invertir con respecto a la circunferencia del triángulo ABC . El triángulo medial del triángulo en contacto se invierte en el triángulo ABC , es decir, el circuncentro del triángulo medial, es decir, el centro de nueve puntos del triángulo en contacto, el incentro y el circuncentro del triángulo ABC son colineales .

Dos círculos cualesquiera que no se crucen se pueden invertir en círculos concéntricos . Entonces, la distancia inversa (generalmente denotada como δ) se define como el logaritmo natural de la relación de los radios de los dos círculos concéntricos.

Además, dos círculos cualesquiera que no se intersectan se pueden invertir en círculos congruentes , utilizando un círculo de inversión centrado en un punto del círculo de antisemejanza .

El vínculo Peaucellier-Lipkin es una implementación mecánica de la inversión en un círculo. Proporciona una solución exacta al importante problema de convertir entre movimiento lineal y circular.

Polo y polar

La recta polar q hasta un punto Q con respecto a una circunferencia de radio r con centro en el punto O. El punto P es el punto de inversión de Q ; la polar es la recta que pasa por P y que es perpendicular a la recta que contiene a O , P y Q.

Si el punto R es el inverso del punto P, entonces la recta perpendicular a la recta PR que pasa por uno de los puntos es la polar del otro punto (el polo ).

Los polos y las polares tienen varias propiedades útiles:

• Si un punto P se encuentra en una línea l , entonces el polo L de la línea l se encuentra en el polar p del punto P.
• Si un punto P se mueve a lo largo de una recta l , su polar p gira alrededor del polo L de la recta l .
• Si se pueden trazar dos rectas tangentes desde un polo a la circunferencia, entonces su polar pasa por ambos puntos tangentes.
• Si un punto se encuentra en la circunferencia, su polar es la tangente que pasa por ese punto.
• Si un punto P se encuentra sobre su propia línea polar, entonces P está en la circunferencia.
• Cada línea tiene exactamente un polo.

En tres dimensiones

Inversión de una esfera en la esfera roja.

Inversión de un esferoide (en la esfera roja)

Inversión de un hiperboloide de una hoja.

La inversión de círculo es generalizable a la inversión de esfera en tres dimensiones. La inversión de un punto P en 3D respecto de una esfera de referencia centrada en un punto O de radio R es un punto P ' sobre el rayo de dirección OP tal que . Al igual que con la versión 2D, una esfera se invierte en una esfera, excepto que si una esfera pasa por el centro O de la esfera de referencia, entonces se invierte en un plano. Cualquier plano que pase por O se invierte formando una esfera que toca en O. Un círculo, es decir, la intersección de una esfera con un plano secante, se invierte en un círculo, excepto que si el círculo pasa por O se invierte en una línea. Esto se reduce al caso 2D cuando el plano secante pasa por O , pero es un verdadero fenómeno 3D si el plano secante no pasa por O. ${\displaystyle OP\cdot OP^{\prime }=||OP||\cdot ||OP^{\prime }||=R^{2}}$

Ejemplos en tres dimensiones

Esfera

La superficie más simple (además de un plano) es la esfera. La primera imagen muestra una inversión no trivial (el centro de la esfera no es el centro de inversión) de una esfera junto con dos lápices de círculos ortogonales que se cruzan.

Cilindro, cono, toro

La inversión de un cilindro, cono o toro da como resultado un cíclido de Dupin .

Esferoide

Un esferoide es una superficie de revolución y contiene un lápiz de círculos que se asigna a un lápiz de círculos (ver imagen). La imagen inversa de un esferoide es una superficie de grado 4.

Hiperboloide de una hoja.

Un hiperboloide de una hoja, que es una superficie de revolución, contiene un lápiz de círculos que se asigna a un lápiz de círculos. Un hiperboloide de una hoja contiene dos lápices de líneas adicionales, que se asignan a lápices de círculos. La imagen muestra una de esas líneas (azul) y su inversión.

Proyección estereográfica como inversión de una esfera.

Proyección estereográfica como inversión de una esfera.

Una proyección estereográfica generalmente proyecta una esfera desde un punto (polo norte) de la esfera hacia el plano tangente en el punto opuesto (polo sur). Este mapeo se puede realizar mediante una inversión de la esfera en su plano tangente. Si la esfera (que se va a proyectar) tiene la ecuación (escrita alternativamente ; centro , radio , verde en la imagen), entonces se mapeará mediante la inversión en la esfera unitaria (roja) en el plano tangente en el punto . Las líneas que pasan por el centro de inversión (punto ) se trazan sobre sí mismas. Son las líneas de proyección de la proyección estereográfica. ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=-z}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+(z+{\tfrac {1}{2}})^{2}={\tfrac {1}{4}}}$ ${\displaystyle (0,0,-0.5)}$ ${\displaystyle 0.5}$ ${\displaystyle S=(0,0,-1)}$ ${\displaystyle N}$

coordenadas de 6 esferas

Las coordenadas de 6 esferas son un sistema de coordenadas para el espacio tridimensional obtenido invirtiendo las coordenadas cartesianas .

Axiomática y generalización.

Uno de los primeros en considerar los fundamentos de la geometría inversiva fue Mario Pieri en 1911 y 1912. ^[7] Edward Kasner escribió su tesis sobre la "Teoría invariante del grupo de inversión". ^[8]

Más recientemente la estructura matemática de la geometría inversiva se ha interpretado como una estructura de incidencia donde los círculos generalizados se denominan "bloques": En geometría de incidencia , cualquier plano afín junto con un único punto en el infinito forma un plano de Möbius , también conocido como plano inversivo. . El punto en el infinito se suma a todas las rectas. Estos planos de Möbius pueden describirse axiomáticamente y existen tanto en versiones finitas como infinitas.

Un modelo del plano de Möbius que proviene del plano euclidiano es la esfera de Riemann .

Invariante

La relación cruzada entre 4 puntos es invariante bajo una inversión. En particular, si O es el centro de la inversión y y son distancias a los extremos de una línea L, entonces la longitud de la línea quedará bajo una inversión con radio 1. La invariante es: ${\displaystyle x,y,z,w}$ ${\displaystyle r_{1}}$ ${\displaystyle r_{2}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d/(r_{1}r_{2})}$

${\displaystyle I={\frac {|x-y||w-z|}{|x-w||y-z|}}}$

Relación con el programa de Erlangen

Según Coxeter, ^[9] la transformación por inversión en círculo fue inventada por LI Magnus en 1831. Desde entonces, este mapeo se ha convertido en una vía hacia las matemáticas superiores. A través de algunos pasos de aplicación del mapa de inversión circular, un estudiante de geometría de transformación pronto aprecia la importancia del programa Erlangen de Felix Klein , una consecuencia de ciertos modelos de geometría hiperbólica.

Dilatación

La combinación de dos inversiones en círculos concéntricos da como resultado una similitud , transformación homotética o dilatación caracterizada por la relación de los radios del círculo.

${\displaystyle x\mapsto R^{2}{\frac {x}{|x|^{2}}}=y\mapsto T^{2}{\frac {y}{|y|^{2}}}=\left({\frac {T}{R}}\right)^{2}x.}$

Reciprocidad

Cuando un punto en el plano se interpreta como un número complejo con conjugado complejo, entonces el recíproco de z es ${\displaystyle z=x+iy,}$ ${\displaystyle {\bar {z}}=x-iy,}$

${\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {\bar {z}}{|z|^{2}}}.}$

En consecuencia, la forma algebraica de la inversión en un círculo unitario viene dada por donde: ${\displaystyle z\mapsto w}$

${\displaystyle w={\frac {1}{\bar {z}}}={\overline {\left({\frac {1}{z}}\right)}}}$.

La reciprocidad es clave en la teoría de la transformación como generadora del grupo de Möbius . Los otros generadores son la traslación y la rotación, ambos familiares a través de manipulaciones físicas en el espacio tridimensional ambiental. La introducción de la reciprocidad (dependiente de la inversión del círculo) es lo que produce la naturaleza peculiar de la geometría de Möbius, que a veces se identifica con la geometría inversa (del plano euclidiano). Sin embargo, la geometría inversa es el estudio más amplio ya que incluye la inversión bruta en un círculo (aún no hecha, con conjugación, en reciprocidad). La geometría inversa también incluye el mapeo de conjugación . Ni la conjugación ni la inversión en círculo están en el grupo de Möbius ya que no son conformes (ver más abajo). Los elementos del grupo de Möbius son funciones analíticas de todo el plano y, por lo tanto, son necesariamente conformes .

Transformar círculos en círculos.

Considere, en el plano complejo, el círculo de radio alrededor del punto ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle a}$

${\displaystyle (z-a)(z-a)^{*}=r^{2}}$

donde sin pérdida de generalidad, utilizando la definición de inversión ${\displaystyle a\in \mathbb {R} .}$

${\displaystyle w={\frac {1}{z^{*}}}}$

es sencillo demostrar que obedece a la ecuación ${\displaystyle w}$

${\displaystyle ww^{*}-{\frac {a}{(a^{2}-r^{2})}}(w+w^{*})+{\frac {a^{2}}{(a^{2}-r^{2})^{2}}}={\frac {r^{2}}{(a^{2}-r^{2})^{2}}}}$

y por lo tanto eso describe el círculo de centro y radio. ${\displaystyle w}$ ${\textstyle {\frac {a}{a^{2}-r^{2}}}}$ ${\textstyle {\frac {r}{|a^{2}-r^{2}|}}.}$

Cuando el círculo se transforma en la recta paralela al eje imaginario ${\displaystyle a\to r,}$ ${\displaystyle w+w^{*}={\tfrac {1}{a}}.}$

Para y el resultado para es ${\displaystyle a\not \in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle aa^{*}\neq r^{2}}$ ${\displaystyle w}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&ww^{*}-{\frac {aw+a^{*}w^{*}}{(a^{*}a-r^{2})}}+{\frac {aa^{*}}{(aa^{*}-r^{2})^{2}}}={\frac {r^{2}}{(aa^{*}-r^{2})^{2}}}\\[4pt]\Longleftrightarrow {}&\left(w-{\frac {a^{*}}{aa^{*}-r^{2}}}\right)\left(w^{*}-{\frac {a}{a^{*}a-r^{2}}}\right)=\left({\frac {r}{\left|aa^{*}-r^{2}\right|}}\right)^{2}\end{aligned}}}$

mostrando que describe el círculo de centro y radio . ${\displaystyle w}$ ${\textstyle {\frac {a}{(aa^{*}-r^{2})}}}$ ${\textstyle {\frac {r}{\left|a^{*}a-r^{2}\right|}}}$

Cuando la ecuación para se convierte en ${\displaystyle a^{*}a\to r^{2},}$ ${\displaystyle w}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&aw+a^{*}w^{*}=1\Longleftrightarrow 2\operatorname {Re} \{aw\}=1\Longleftrightarrow \operatorname {Re} \{a\}\operatorname {Re} \{w\}-\operatorname {Im} \{a\}\operatorname {Im} \{w\}={\frac {1}{2}}\\[4pt]\Longleftrightarrow {}&\operatorname {Im} \{w\}={\frac {\operatorname {Re} \{a\}}{\operatorname {Im} \{a\}}}\cdot \operatorname {Re} \{w\}-{\frac {1}{2\cdot \operatorname {Im} \{a\}}}.\end{aligned}}}$

Geometría superior

Como se mencionó anteriormente, el cero, el origen, requiere una consideración especial en el mapeo de inversión del círculo. El enfoque consiste en unir un punto en el infinito designado ∞ o 1/0. En el enfoque de números complejos, donde la reciprocidad es la operación aparente, este procedimiento conduce a la línea proyectiva compleja , a menudo llamada esfera de Riemann . Fueron los subespacios y subgrupos de este espacio y grupo de asignaciones los que Beltrami , Cayley y Klein aplicaron para producir los primeros modelos de geometría hiperbólica . Así, la geometría inversiva incluye las ideas originadas por Lobachevsky y Bolyai en su geometría plana. Además, Felix Klein quedó tan abrumado por esta facilidad de las asignaciones para identificar fenómenos geométricos que redactó un manifiesto, el programa de Erlangen , en 1872. Desde entonces, muchos matemáticos reservan el término geometría para un espacio junto con un grupo de asignaciones de ese espacio. Las propiedades significativas de las figuras en geometría son aquellas que son invariantes en este grupo.

Por ejemplo, Smogorzhevsky ^[10] desarrolla varios teoremas de geometría inversiva antes de comenzar con la geometría lobachevskiana.

En dimensiones superiores

En un espacio euclidiano real de n dimensiones, una inversión en la esfera de radio r centrada en el punto es un mapa de un punto arbitrario que se encuentra invirtiendo la longitud del vector de desplazamiento y multiplicando por : ${\displaystyle O=(o_{1},...,o_{n})}$ ${\displaystyle P=(p_{1},...,p_{n})}$ ${\displaystyle P-O}$ ${\displaystyle r^{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}P&\mapsto P'=O+{\frac {r^{2}(P-O)}{\|P-O\|^{2}}},\\[5mu]p_{j}&\mapsto p_{j}'=o_{j}+{\frac {r^{2}(p_{j}-o_{j})}{\sum _{k}(p_{k}-o_{k})^{2}}}.\end{aligned}}}$

La transformación por inversión en hiperplanos o hiperesferas en En ⁿ se puede utilizar para generar dilataciones, traslaciones o rotaciones. De hecho, dos hiperesferas concéntricas, utilizadas para producir inversiones sucesivas, dan como resultado una dilatación u homotecia alrededor del centro de las hiperesferas.

Cuando se utilizan dos hiperplanos paralelos para producir reflexiones sucesivas, el resultado es una traslación . Cuando dos hiperplanos se cruzan en un plano ( n –2) , las reflexiones sucesivas producen una rotación donde cada punto del plano ( n –2) es un punto fijo de cada reflexión y, por tanto, de la composición.

Cualquier combinación de reflexiones, traslaciones y rotaciones se llama isometría . Cualquier combinación de reflexiones, dilataciones, traslaciones y rotaciones es una similitud .

Todos estos son mapas conformes y, de hecho, cuando el espacio tiene tres o más dimensiones, los mapas generados por inversión son los únicos mapas conformes. El teorema de Liouville es un teorema clásico de la geometría conforme .

La adición de un punto en el infinito al espacio obvia la distinción entre hiperplano e hiperesfera; La geometría inversiva de dimensiones superiores se estudia con frecuencia en el presunto contexto de una n -esfera como espacio base. Las transformaciones de la geometría inversa suelen denominarse transformaciones de Möbius . La geometría inversa se ha aplicado al estudio de las coloraciones o particiones de una n -esfera. ^[11]

Propiedad de mapeo anticonforme

El mapa de inversión del círculo es anticonforme, lo que significa que en cada punto conserva los ángulos e invierte la orientación (un mapa se llama conforme si conserva los ángulos orientados ). Algebraicamente, un mapa es anticonforme si en cada punto el jacobiano es un escalar multiplicado por una matriz ortogonal con determinante negativo: en dos dimensiones el jacobiano debe ser un escalar multiplicado por una reflexión en cada punto. Esto significa que si J es jacobiano, entonces y Calcular el jacobiano en el caso z _i = x _i /‖ x ‖ ² , donde ‖ x ‖ ² = x ₁ ² + ... + x _n ² da JJ ^T = kI , con k = 1/‖ x ‖ ⁴ⁿ , y además det( J ) es negativo; por tanto, el mapa inverso es anticonforme. ${\displaystyle J\cdot J^{T}=kI}$ ${\displaystyle \det(J)=-{\sqrt {k}}.}$

En el plano complejo, la aplicación de inversión de círculo más obvia (es decir, utilizando el círculo unitario centrado en el origen) es el conjugado complejo de la aplicación inversa compleja que toma z a 1/ z . El mapa inverso analítico complejo es conforme y su conjugado, la inversión del círculo, es anticonforme. En este caso una homografía es conforme mientras que una antihomografía es anticonforme.

Geometría inversa y geometría hiperbólica.

La ( n  − 1 ) -esfera con ecuación

${\displaystyle x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}+2a_{1}x_{1}+\cdots +2a_{n}x_{n}+c=0}$

tendrá un radio positivo si a ₁ ² + ... + a _n ² es mayor que c , y al invertir da la esfera

${\displaystyle x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}+2{\frac {a_{1}}{c}}x_{1}+\cdots +2{\frac {a_{n}}{c}}x_{n}+{\frac {1}{c}}=0.}$

Por lo tanto, será invariante bajo inversión si y sólo si c = 1. Pero esta es la condición para ser ortogonal a la esfera unitaria. Por lo tanto, nos vemos llevados a considerar las ( n  − 1 ) -esferas con ecuación

${\displaystyle x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}+2a_{1}x_{1}+\cdots +2a_{n}x_{n}+1=0,}$

que son invariantes bajo inversión, ortogonales a la esfera unitaria y tienen centros fuera de la esfera. Estos, junto con los hiperplanos subespaciales que separan los hemisferios, son las hipersuperficies del modelo de disco de Poincaré de geometría hiperbólica.

Dado que la inversión en la esfera unitaria deja invariantes las esferas ortogonales a ella, la inversión asigna los puntos dentro de la esfera unitaria al exterior y viceversa. Por lo tanto, esto es cierto en general para las esferas ortogonales y, en particular, la inversión en una de las esferas ortogonales a la esfera unitaria asigna la esfera unitaria a sí misma. También asigna el interior de la esfera unitaria a sí misma, con puntos fuera de la esfera ortogonal asignadas al interior, y viceversa; esto define las reflexiones del modelo de disco de Poincaré si incluimos con ellas las reflexiones a través de los diámetros que separan los hemisferios de la esfera unitaria. Estas reflexiones generan el grupo de isometrías del modelo, lo que nos dice que las isometrías son conformes. Por tanto, el ángulo entre dos curvas en el modelo es el mismo que el ángulo entre dos curvas en el espacio hiperbólico.

Ver también

• Círculo de antisemejanza
• Dualidad (geometría proyectiva)
• curva inversa
• Punto límite (geometría)
• Transformación de Moebius
• Geometría proyectiva
• Hexlet de Soddy
• Teorema de Mohr-Mascheroni
• Inversión de curvas y superficies (alemán)

Notas

1. Curvas y sus propiedades por Robert C. Yates, Consejo Nacional de Profesores de Matemáticas, Inc., Washington, DC, p. 127: "La inversión geométrica parece deberse a Jakob Steiner, quien indicó un conocimiento del tema en 1824. Fue seguido de cerca por Adolphe Quetelet (1825), quien dio algunos ejemplos. Al parecer, descubierto de forma independiente por Giusto Bellavitis en 1836, por Stubbs e Ingram. en 1842-3, y por Lord Kelvin en 1845.)"
2. Altshiller-Court (1952, pág.230)
3. Kay (1969, pág.264)
4. Dutta, Surajit (2014) Una propiedad simple de los triángulos isósceles con aplicaciones, Forum Geometriorum 14: 237–240
5. Kay (1969, pág.265)
6. Kay (1969, pág.269)
7. M. Pieri (1911,12) "Nuovi principia di geometria della inversion", Giornal di Matematiche di Battaglini 49:49–96 y 50:106–140
8. Kasner, E. (1900). "La teoría invariante del grupo de inversión: geometría sobre una superficie cuádrica". Transacciones de la Sociedad Matemática Estadounidense . 1 (4): 430–498. doi :10.1090/S0002-9947-1900-1500550-1. hdl : 2027/miun.abv0510.0001.001 . JSTOR  1986367.
9. Coxeter 1969, págs. 77–95
10. AS Smogorzhevsky (1982) Geometría lobachevskiana , Editores Mir , Moscú
11. Joel C. Gibbons y Yushen Luo (2013) Coloraciones de la n-esfera y geometría inversiva

Referencias

• Altshiller-Court, Nathan (1952), Geometría universitaria: una introducción a la geometría moderna del triángulo y el círculo (2ª ed.), Nueva York: Barnes & Noble , LCCN  52-13504
• Blair, David E. (2000), Teoría de la inversión y mapeo conforme , Sociedad Matemática Estadounidense, ISBN 0-8218-2636-0
• Brannan, David A.; Esplén, Matthew F.; Gray, Jeremy J. (1998), "Capítulo 5: Geometría inversiva", Geometría , Cambridge: Cambridge University Press, págs. 199-260, ISBN 0-521-59787-0
• Coxeter, HSM (1969) [1961], Introducción a la geometría (2ª ed.), John Wiley & Sons, ISBN 0-471-18283-4
• Hartshorne, Robin (2000), "Capítulo 7: Geometría no euclidiana, Sección 37: Inversión circular", Geometría: Euclides y más allá , Springer, ISBN 0-387-98650-2
• Kay, David C. (1969), College Geometry , Nueva York: Holt, Rinehart y Winston , LCCN  69-12075
• Patterson, Boyd (1941) "El plano inverso", American Mathematical Monthly 48: 589–99, doi :10.2307/2303867 MR 0006034

enlaces externos

• Inversión: reflexión en círculo al cortar el nudo
• Página de geometría inversiva de Wilson Stother
• Compendio de la OMI: materiales de formación para practicar problemas sobre cómo utilizar la inversión en problemas de olimpíadas de matemáticas
• Weisstein, Eric W. "Inversión". MundoMatemático .
• Diccionario visual de curvas planas especiales Xah Lee