Triángulo medial

En geometría euclidiana , el triángulo medial o triángulo de punto medio de un triángulo $△ ABC$ es el triángulo con vértices en los puntos medios de los lados del triángulo $AB, AC, BC$ . Es el caso $n = 3$ del polígono de punto medio de un polígono con $n$ lados. El triángulo medial no es lo mismo que el triángulo mediano , que es el triángulo cuyos lados tienen las mismas longitudes que las medianas de $△ ABC$ .

Cada lado del triángulo medial se llama segmento medio (o línea media ). En general, un segmento medio de un triángulo es un segmento de línea que une los puntos medios de dos lados del triángulo. Es paralelo al tercer lado y tiene una longitud igual a la mitad de la longitud del tercer lado.

Propiedades

$M$ : circuncentro de $△ ABC$ , ortocentro de $△ DEF$
$N$ : incentro de $△ ABC$ , punto de Nagel de $△ DEF$
$S$ : centroide de $△ ABC$ y $△ DEF$

El triángulo medial también puede verse como la imagen del triángulo $△ ABC$ transformado por una homotecia centrada en el baricentro con razón -1/2. Por lo tanto, los lados del triángulo medial son la mitad y paralelos a los lados correspondientes del triángulo ABC. Por lo tanto, el triángulo medial es inversamente similar y comparte el mismo baricentro y medianas con el triángulo $△ ABC$ . También se deduce de esto que el perímetro del triángulo medial es igual al semiperímetro del triángulo $△ ABC$ , y que el área es un cuarto del área del triángulo $△ ABC$ . Además, los cuatro triángulos en los que el triángulo original está subdividido por el triángulo medial son todos mutuamente congruentes por LLL , por lo que sus áreas son iguales y, por lo tanto, el área de cada uno es 1/4 del área del triángulo original. ^[1]^{: p.177}

El ortocentro del triángulo medial coincide con el circuncentro del triángulo $△ ABC$ . Este hecho proporciona una herramienta para demostrar la colinealidad del circuncentro, el baricentro y el ortocentro. El triángulo medial es el triángulo pedal del circuncentro. El círculo de nueve puntos circunscribe el triángulo medial, por lo que el centro de nueve puntos es el circuncentro del triángulo medial.

El punto Nagel del triángulo medial es el incentro de su triángulo de referencia. ^[2]^{: p.161, Teoría 337}

El triángulo medial de un triángulo de referencia es congruente con el triángulo cuyos vértices son los puntos medios entre el ortocentro del triángulo de referencia y sus vértices. ^[2]^{: p.103, #206, p.108, #1}

El incentro de un triángulo se encuentra en su triángulo medial. ^[3]^{: p.233, Lema 1}

Un punto en el interior de un triángulo es el centro de una inelipse del triángulo si y sólo si el punto se encuentra en el interior del triángulo medial. ^[4]^{: p.139}

El triángulo medial es el único triángulo inscrito en el que ninguno de los otros tres triángulos interiores tiene un área menor. ^[5]^{: p. 137}

El triángulo de referencia y su triángulo medial son triángulos ortológicos .

Coordenadas

Sean las longitudes de los lados del triángulo Las coordenadas trilineales para los vértices del triángulo medial están dadas por $a=|BC|,b=|CA|,c=|AB|$ $\triángulo ABC.$ $\triángulo EFD$

{\begin{alignedat}{3}E&={}\,0&&:{\frac {1}{b}}&&:{\frac {1}{c}},\\[5mu]F&={}{\frac {1}{a}}&&:\,0&&:{\frac {1}{c}},\\[5mu]D&={}{\frac {1}{a}}&&:{\frac {1}{b}}&&:\,0.\end{alignedat}}

Triángulo anticomplementario

Si es el triángulo medial de entonces es el triángulo anticomplementario o triángulo antimedial de El triángulo anticomplementario de está formado por tres rectas paralelas a los lados de : la paralela a que pasa por la paralela a que pasa por y la paralela a que pasa por $\triángulo EFD$ $\triángulo ABC,$ $\triángulo ABC$ $\triángulo EFD.$ $\triángulo ABC$ $\triángulo ABC$ ${\estilo de visualización AB}$ ${\estilo de visualización C,}$ $AC$ ${\estilo de visualización B,}$ $BC$ ${\estilo de visualización A.}$

Las coordenadas trilineales para los vértices del triángulo anticomplementario a están dadas por $\triángulo E'F'D'$ $\triángulo ABC$

{\begin{alignedat}{3}E'&=-{\frac {1}{a}}&&:{\phantom {-}}{\frac {1}{b}}&&:{\phantom {-}}{\frac {1}{c}},\\[5mu]F'&={\phantom {-}}{\frac {1}{a}}&&:-{\frac {1}{b}}&&:{\phantom {-}}{\frac {1}{c}},\\[5mu]D'&={\phantom {-}}{\frac {1}{a}}&&:{\phantom {-}}{\frac {1}{b}}&&:-{\frac {1}{c}}.\end{alignedat}}

El nombre de "triángulo anticomplementario" corresponde a que sus vértices son los anticomplementos de los vértices del triángulo de referencia. Los vértices del triángulo medial son los complementos de ${\estilo de visualización A, B, C}$ ${\estilo de visualización A, B, C.}$

Véase también

Erizo medio , un concepto análogo para conjuntos convexos más generales

Referencias

^ Posamentier, Alfred S., y Lehmann, Ingmar. Los secretos de los triángulos , Prometheus Books, 2012.
^ de Altshiller-Court, Nathan. Geometría universitaria . Publicaciones de Dover, 2007.
^ Franzsen, William N.. "La distancia desde el incentro a la línea de Euler", Forum Geometricorum 11 (2011): 231–236.
^ Chakerian, GD "Una visión distorsionada de la geometría". Cap. 7 en Mathematical Plums (R. Honsberger, editor). Washington, DC: Asociación Matemática de Estados Unidos, 1979.
^ Torrejon, Ricardo M. "Sobre una desigualdad de triángulo inscrito en Erdos", Forum Geometricorum 5, 2005, 137–141. http://forumgeom.fau.edu/FG2005volume5/FG200519index.html

Enlaces externos

Weisstein, Eric W. "Triángulo medial". MathWorld .
Weisstein, Eric W. "Triángulo anticomplementario". MathWorld .