Triángulo del pedal

En geometría plana , un triángulo pedal se obtiene proyectando un punto sobre los lados de un triángulo .

Más específicamente, considere un triángulo $△ ABC$ , y un punto $P$ que no es uno de los vértices $A, B, C$ . Trace perpendiculares desde $P$ a los tres lados del triángulo (estas pueden necesitar ser producidas, es decir, extendidas ). Etiquete $L, M, N$ las intersecciones de las líneas desde $P$ con los lados $BC, AC, AB$ . El triángulo pedal es entonces $△ LMN$ .

Si $△ ABC$ no es un triángulo obtuso y $P$ es el ortocentro , entonces los ángulos de $△ LMN$ son $180° - 2 A$ , 180 ° $- 2 B$ y $180° - 2 C.$ ^[1]

La ubicación del punto elegido $P$ con respecto al triángulo elegido $△ ABC$ da lugar a algunos casos especiales:

Si $P$ es el ortocentro , entonces $△ LMN$ es el triángulo órtico .
Si $P$ es el incentro , entonces $△ LMN$ es el triángulo en contacto .
Si $P$ es el circuncentro , entonces $△ LMN$ es el triángulo medial .
Si $P$ está en el círculo circunscrito del triángulo, $△ LMN$ colapsa en una línea (la línea pedal o línea de Simson ).

Los vértices del triángulo pedal de un punto interior $P$ , como se muestra en el diagrama superior, dividen los lados del triángulo original de tal manera que satisfacen el teorema de Carnot : ^[2]

$|AN|^{2}+|BL|^{2}+|CM|^{2}=|NB|^{2}+|LC|^{2}+|MA|^{2}.$

Coordenadas trilineales

Si $P$ tiene coordenadas trilineales $p : q : r$ , entonces los vértices $L, M, N$ del triángulo pedal de $P$ están dados por ${\begin{array}{ccccccc}L&=&0&:&q+p\cos C&:&r+p\cos B\\[2pt]M&=&p+q\cos C&:&0&:&r+q\cos A\\[2pt]N&=&p+r\cos B&:&q+r\cos A&:&0\end{array}}$

Triángulo antipedal

Un vértice, $L'$ , del triángulo antípedo de $P$ es el punto de intersección de la perpendicular a $BP$ a través de $B$ y la perpendicular a $CP$ a través de $C.$ Sus otros vértices, $M'$ y $N'$ , se construyen de manera análoga. Las coordenadas trilineales se dan por ${\begin{array}{ccrcrcr}L'&=&-(q+p\cos C)(r+p\cos B)&:&(r+p\cos B)(p+q\cos C)&:&(q+p\cos C)(p+r\cos B)\\[2pt]M'&=&(r+q\cos A)(q+p\cos C)&:&-(r+q\cos A)(p+q\cos C)&:&(p+q\cos C)(q+r\cos A)\\[2pt]N'&=&(q+r\cos A)(r+p\cos B)&:&(p+r\cos B)(r+q\cos A)&:&-(p+r\cos B)(q+r\cos A)\end{array}}$

Por ejemplo, el triángulo excentral es el triángulo antipedal del incentro.

Supóngase que $P$ no se encuentra en ninguno de los lados extendidos $BC, CA, AB$ y sea $P -1$ el conjugado isogonal de $P$ . El triángulo pedal de $P$ es homotético al triángulo antipedal de $P -1$ . El centro homotético (que es un centro de triángulo si y solo si $P$ es un centro de triángulo) es el punto dado en coordenadas trilineales por

$ap(p+q\cos C)(p+r\cos B)\ :\ bq(q+r\cos A)(q+p\cos C)\ :\ cr(r+p\cos B)(r+q\cos A)$

El producto de las áreas del triángulo pedal de $P$ y el triángulo antipedal de $P -1$ es igual al cuadrado del área de $△ ABC$ .

Círculo de pedales

El círculo pedal se define como el círculo circunscrito del triángulo pedal. Nótese que el círculo pedal no está definido para los puntos que se encuentran en el círculo circunscrito del triángulo.

Círculo pedal de conjugados isogonales

Para cualquier punto $P$ que no esté sobre la circunferencia circunscrita del triángulo, se sabe que $P$ y su conjugado isogonal $P*$ tienen una circunferencia pedal común, cuyo centro es el punto medio de estos dos puntos. ^[3]

Referencias

^ "Trigonometría/Círculos y triángulos/El triángulo pedal - Wikilibros, libros abiertos para un mundo abierto". es.wikibooks.org . Consultado el 31 de octubre de 2020 .
^ Alfred S. Posamentier ; Charles T. Salkind (1996). Problemas desafiantes en geometría . Nueva York: Dover. pp. 85-86. ISBN 9780486134864.OCLC 829151719 .
^ Honsberger, Ross (1 de enero de 1995). Episodios de la geometría euclidiana de los siglos XIX y XX. Asociación Matemática de Estados Unidos. ISBN 978-0-88385-951-3.

Enlaces externos

Mathworld: Triángulo pedal
Línea Simson
Triángulo pedal y conjugación isogonal
Triángulo de pedales y círculo de pedales: ilustración interactiva