Línea Simson

Línea construida a partir de un triángulo

La línea de Simson LN (roja) del triángulo ABC con respecto al punto P en el círculo circunscrito

En geometría , dado un triángulo ABC y un punto P en su circunferencia circunscrita , los tres puntos más cercanos a P en las líneas AB , AC y BC son colineales . ^[1] La línea que pasa por estos puntos es la línea de Simson de P , llamada así por Robert Simson . ^[2] Sin embargo, el concepto fue publicado por primera vez por William Wallace en 1799, ^[3] y a veces se lo llama línea de Wallace . ^[4]

La inversa también es cierta: si los tres puntos más próximos a P en tres líneas son colineales y no hay dos líneas paralelas, entonces P se encuentra en el círculo circunscrito del triángulo formado por las tres líneas. O en otras palabras, la línea de Simson de un triángulo ABC y un punto P es simplemente el triángulo pedal de ABC y P que ha degenerado en una línea recta y esta condición restringe el lugar geométrico de P a trazar el círculo circunscrito del triángulo ABC .

Ecuación

Colocando el triángulo en el plano complejo, sea el triángulo ABC con circunferencia circunscrita unitaria cuyos vértices tengan coordenadas complejas a , b , c , y sea P con coordenadas complejas p un punto en la circunferencia circunscrita. La línea de Simson es el conjunto de puntos z que satisfacen ^{[5] : Proposición 4}

${\displaystyle 2abc{\bar {z}}-2pz+p^{2}+(a+b+c)p-(bc+ca+ab)-{\frac {abc}{p}}=0,}$

donde una barra superior indica una conjugación compleja .

Propiedades

Las líneas de Simson (en rojo) son tangentes al deltoides de Steiner (en azul).

• La línea de Simson de un vértice del triángulo es la altura del triángulo que se deja caer desde ese vértice, y la línea de Simson del punto diametralmente opuesto al vértice es el lado del triángulo opuesto a ese vértice.
• Si P y Q son puntos de la circunferencia circunscrita, entonces el ángulo entre las líneas de Simson de P y Q es la mitad del ángulo del arco PQ . En particular, si los puntos son diametralmente opuestos, sus líneas de Simson son perpendiculares y, en este caso, la intersección de las líneas se encuentra en la circunferencia de nueve puntos .
• Sea H el ortocentro del triángulo ABC , la línea de Simson de P biseca el segmento PH en un punto que se encuentra en el círculo de nueve puntos.
• Dados dos triángulos con el mismo círculo circunscrito, el ángulo entre las líneas de Simson de un punto P en el círculo circunscrito para ambos triángulos no depende de P.
• El conjunto de todas las líneas de Simson, cuando se dibujan, forman una envolvente en forma de deltoides conocido como deltoides de Steiner del triángulo de referencia.
• La construcción de la línea de Simson que coincide con un lado del triángulo de referencia (ver la primera propiedad anterior) produce un punto no trivial en esta línea lateral. Este punto es la reflexión del pie de la altura (dejada caer sobre la línea lateral) sobre el punto medio de la línea lateral que se está construyendo. Además, este punto es un punto tangente entre el lado del triángulo de referencia y su deltoide de Steiner.
• Un cuadrilátero que no es un paralelogramo tiene un único punto pedal, llamado punto de Simson, respecto del cual los pies del cuadrilátero son colineales. ^[6] El punto de Simson de un trapezoide es el punto de intersección de los dos lados no paralelos. ^{[7] : p. 186}
• Ningún polígono convexo con al menos 5 lados tiene una línea de Simson. ^[8]

Prueba de existencia

Basta con demostrar que . ${\displaystyle \angle NMP+\angle PML=180^{\circ }}$

${\displaystyle PCAB}$es un cuadrilátero cíclico, por lo que . es un cuadrilátero cíclico (ya que ), por lo que . Por lo tanto . Ahora es cíclico, por lo que . ${\displaystyle \angle PBA+\angle ACP=\angle PBN+\angle ACP=180^{\circ }}$ ${\displaystyle PMNB}$ ${\displaystyle \angle PMB=\angle PNB=90^{\circ }}$ ${\displaystyle \angle PBN+\angle NMP=180^{\circ }}$ ${\displaystyle \angle NMP=\angle ACP}$ ${\displaystyle PLCM}$ ${\displaystyle \angle PML=\angle PCL=180^{\circ }-\angle ACP}$

Por lo tanto . ${\displaystyle \angle NMP+\angle PML=\angle ACP+(180^{\circ }-\angle ACP)=180^{\circ }}$

Generalizaciones

Generalización 1

Las proyecciones de Ap, Bp, Cp sobre BC, CA, AB son tres puntos colineales

• Sea ABC un triángulo, sea una línea ℓ que pase por el circuncentro O y sea un punto P que se encuentre en el circuncírculo. Sean AP, BP, CP que se intersecan con ℓ en A _p , B _p , C _p respectivamente. Sean A ₀ , B ₀ , C ₀ las proyecciones de A _p , B _p , C _p sobre BC, CA, AB , respectivamente. Entonces A ₀ , B ₀ , C ₀ son colineales. Además, la nueva línea pasa por el punto medio de PH , donde H es el ortocentro de Δ ABC . Si ℓ pasa por P , la línea coincide con la línea de Simson. ^{[9] [10] [11]}

Una versión proyectiva de una línea de Simson

Generalización 2

• Sean los vértices del triángulo ABC sobre la cónica Γ, y sean Q, P dos puntos en el plano. Sean PA, PB, PC intersectando la cónica en A ₁ , B ₁ , C ₁ respectivamente. QA ₁ interseca a BC en A ₂ , QB ₁ interseca a AC en B ₂ , y QC ₁ interseca a AB en C ₂ . Entonces los cuatro puntos A ₂ , B ₂ , C ₂ y P son colineales si solo si Q se encuentra sobre la cónica Γ. ^[12]

Generalización 3

• RF Cyster generalizó el teorema a los cuadriláteros cíclicos en Las líneas de Simson de un cuadrilátero cíclico

Véase también

• Triángulo del pedal
• Roberto Simson

Referencias

1. HSM Coxeter y SL Greitzer, Geometría revisitada , Math. Assoc. America, 1967: p.41.
2. "Historia de Gibson 7 - Robert Simson". Archivo de Historia de las Matemáticas de MacTutor . 30 de enero de 2008.
3. "William Wallace". Archivo de Historia de las Matemáticas de MacTutor .
4. Clawson, JW (1919). "Un teorema en la geometría del triángulo". The American Mathematical Monthly . 26 (2): 59–62. JSTOR  2973140.
5. Todor Zaharinov, "El triángulo de Simson y sus propiedades", Forum Geometricorum 17 (2017), 373--381. http://forumgeom.fau.edu/FG2017volume17/FG201736.pdf
6. Daniela Ferrarello, Maria Flavia Mammana y Mario Pennisi, "Pedal Polygons", Forum Geometriorum 13 (2013) 153-164: Teorema 4.
7. Olga Radko y Emmanuel Tsukerman, "La construcción de la mediatriz, el punto isóptico y la línea de Simson de un cuadrilátero", Forum Geometricorum 12 (2012). [1]
8. Tsukerman, Emmanuel (2013). "Sobre polígonos que admiten una línea de Simson como análogos discretos de parábolas" (PDF) . Forum Geometricorum . 13 : 197–208.
9. "Una generalización de la línea Simson". Cut-the-knot. Abril de 2015.
10. Nguyen Van Linh (2016), "Otra prueba sintética de la generalización de Dao del teorema de la línea de Simson" (PDF) , Forum Geometricorum , 16 : 57–61, archivado desde el original (PDF) el 23 de octubre de 2023
11. Nguyen Le Phuoc y Nguyen Chuong Chi (2016). 100.24 Una prueba sintética de la generalización de Dao del teorema de la línea de Simson. The Mathematical Gazette, 100, pp 341-345. doi:10.1017/mag.2016.77. The Mathematical Gazette
12. Smith, Geoff (2015), "99.20 Una línea proyectiva de Simson", The Mathematical Gazette , 99 (545): 339–341, doi :10.1017/mag.2015.47, S2CID  124965348

Enlaces externos

• Línea Simson en cut-the-knot.org
• FM Jackson y Weisstein, Eric W. "Línea Simson". MathWorld .
• Una generalización del teorema de Neuberg y la línea Simson-Wallace en Dynamic Geometry Sketches, un bosquejo de geometría dinámica interactivo.
• Línea de Simson en geogebra.org (ilustración interactiva)
• Línea Simson en Geometría Interactiva