Punto antípoda

Par de puntos diametralmente opuestos en un círculo, esfera o hiperesfera

Los dos puntos P y P ' (rojo) son antípodas porque son extremos de un diámetro PP ' , un segmento del eje a (violeta) que pasa por el centro de la esfera O (negro). P y P ' son los polos de un círculo máximo g (verde) cuyos puntos son equidistantes entre sí (con un ángulo recto central). Cualquier círculo máximo s (azul) que pase por los polos es secundario a g .

En matemáticas , dos puntos de una esfera (o n-esfera , incluido un círculo ) se denominan antípodas o diametralmente opuestos si son los puntos finales de un diámetro , un segmento de línea recta entre dos puntos de una esfera y que pasa por su centro . ^[1]

Dado cualquier punto de una esfera, su punto antípoda es el único punto a mayor distancia , ya sea medida intrínsecamente ( distancia del círculo máximo en la superficie de la esfera) o extrínsecamente ( distancia cordal a través del interior de la esfera). Todo círculo máximo de una esfera que pasa por un punto también pasa por su punto antípoda, y hay infinitos círculos máximos que pasan por un par de puntos antípodas (a diferencia de la situación para cualquier par de puntos no antípodas, que tienen un único círculo máximo que pasa por ambos). Muchos resultados en geometría esférica dependen de la elección de puntos no antípodas, y degeneran si se permiten puntos antípodas; por ejemplo, un triángulo esférico degenera en una luna subespecificada si dos de los vértices son antípodas.

El punto antípoda de un punto dado se llama antípoda , del griego ἀντίποδες ( antípodes ), que significa «pies opuestos»; véase Antípodas § Etimología . A veces se omite la s , y esto se traduce como antípoda , una formación posterior .

Matemáticas superiores

El concepto de puntos antípodas se generaliza a esferas de cualquier dimensión: dos puntos de la esfera son antípodas si son opuestos por el centro . Cada línea que pasa por el centro corta la esfera en dos puntos, uno por cada rayo que emana del centro, y estos dos puntos son antípodas.

El teorema de Borsuk-Ulam es un resultado de la topología algebraica que trata con estos pares de puntos. Dice que cualquier función continua de a mapea algún par de puntos antípodas en al mismo punto en Aquí, denota la esfera -dimensional y es un espacio de coordenadas reales -dimensional . ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$ ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$

La función antipodal envía cada punto de la esfera a su punto antipodal. Si los puntos de la esfera se representan como vectores de desplazamiento desde el centro de la esfera en el espacio euclidiano, entonces dos puntos antipodales se representan mediante inversas aditivas y y la función antipodal se puede definir como La función antipodal conserva la orientación (es homotópica con la función identidad ) ^[2] cuando es impar y la invierte cuando es par. Su grado es ${\displaystyle A:S^{n}\to S^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (n+1)}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle -\mathbf {v} ,}$ ${\displaystyle A(\mathbf {x} )=-\mathbf {x} .}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (-1)^{n+1}.}$

Si se identifican puntos antípodas (considerados equivalentes), la esfera se convierte en un modelo del espacio proyectivo real .

Véase también

• Lugar de corte

Referencias

1. Chisholm, Hugh , ed. (1911). "Antípodas"  . Encyclopædia Britannica . Vol. 2 (11.ª ed.). Cambridge University Press. págs. 133–34.
2. V. Guillemin; A. Pollack (1974). Topología diferencial . Prentice-Hall.

Enlaces externos

• "Antípodas", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• "antípoda". PlanetMath .