Lugar de corte

Geodésicas sobre un elipsoide (azul) desde un único punto (para aplanamiento f = 1 ⁄ 10 , latitud φ ₁ =−30° ) forman un segmento de un círculo de latitud ; los círculos geodésicos se muestran en verde y el lugar de corte en rojo.

En geometría diferencial , el lugar de corte de un punto p en una variedad es la clausura del conjunto de todos los demás puntos en la variedad que están conectados a p por dos o más geodésicas más cortas distintas . ^[1] De manera más general, el lugar de corte de un conjunto cerrado X en la variedad es la clausura del conjunto de todos los demás puntos en la variedad conectados a X por dos o más geodésicas más cortas distintas.

Ejemplos

Lugar de corte C(P) de un punto P en la superficie de un cilindro. Se muestra un punto Q en el lugar de corte con dos caminos más cortos distintos que lo conectan con P. ${\displaystyle \gamma _{1},\gamma _{2}}$

En el plano euclidiano , un punto p tiene un lugar de corte vacío, porque cada otro punto está conectado a p por una geodésica única (el segmento de línea entre los puntos).

En la esfera , el lugar de corte de un punto consiste en el único punto antípoda diametralmente opuesto a él.

En un cilindro infinitamente largo , el lugar de corte de un punto consiste en la línea opuesta al punto.

Sea X el límite de un polígono simple en el plano euclidiano. Entonces, el lugar geométrico de corte de X en el interior del polígono es el eje medial del polígono . Los puntos en el eje medial son centros de discos que tocan el límite del polígono en dos o más puntos, correspondientes a dos o más caminos más cortos hacia el centro del disco.

Sea x un punto en la superficie de un poliedro convexo P . Entonces, el lugar geométrico de corte de x en la superficie del poliedro se conoce como el árbol de crestas de P con respecto a x . Este árbol de crestas tiene la propiedad de que al cortar la superficie a lo largo de sus bordes, P se despliega en un polígono plano simple. Este polígono puede verse como una red para el poliedro.

Definición formal

Fije un punto en una variedad riemanniana completa , y considere el espacio tangente . Es un resultado estándar que para suficientemente pequeño en , la curva definida por la función exponencial riemanniana , para perteneciente al intervalo es una geodésica minimizadora , y es la única geodésica minimizadora que conecta los dos puntos finales. Aquí denota la función exponencial de . El lugar de corte de en el espacio tangente se define como el conjunto de todos los vectores en tales que es una geodésica minimizadora para pero no logra ser minimizadora para para cada . Por lo tanto, el lugar de corte en el espacio tangente es el límite del conjunto ^[2] donde denota la métrica de longitud de , y es la norma euclidiana de . El lugar de corte de en se define como la imagen del lugar de corte de en el espacio tangente bajo la función exponencial en . Por lo tanto, podemos interpretar el lugar de corte de en como los puntos en la variedad donde las geodésicas que comienzan en dejan de ser minimizadoras. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle T_{p}M}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle T_{p}M}$ ${\displaystyle \gamma (t)=\exp _{p}(tv)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle \exp _{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle T_{p}M}$ ${\displaystyle \gamma (t)=\exp _{p}(tv)}$ ${\displaystyle t\in [0,1]}$ ${\displaystyle t=1+\varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ $${\displaystyle \{v\in T_{p}M|d(\exp _{p}v,p)=\|v\|\}}$$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle T_{p}M}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle p}$

La distancia mínima desde p hasta el lugar geométrico de corte es el radio de inyectividad en p . En la esfera abierta de este radio, la función exponencial en p es un difeomorfismo desde el espacio tangente a la variedad, y este es el radio más grande de este tipo. El radio de inyectividad global se define como el ínfimo del radio de inyectividad en p , sobre todos los puntos de la variedad.

Caracterización

Supongamos que está en el lugar geométrico de corte de en . Un resultado estándar ^[3] es que (1) hay más de una geodésica minimizadora que une a , o (2) y son conjugados a lo largo de alguna geodésica que los une. Es posible que se cumplan tanto (1) como (2). ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$

Aplicaciones

La importancia del lugar geométrico de corte es que la función de distancia desde un punto es suave, excepto en el lugar geométrico de corte de y en sí mismo. En particular, tiene sentido tomar el gradiente y el hessiano de la función de distancia lejos del lugar geométrico de corte y . Esta idea se utiliza en el teorema de comparación local de Laplaciano y el teorema de comparación local de Hessiano. Estos se utilizan en la prueba de la versión local del teorema de Toponogov y muchos otros teoremas importantes en la geometría de Riemann. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$

Para el espacio métrico de distancias superficiales en un poliedro convexo , cortar el poliedro a lo largo del lugar geométrico de corte produce una forma que puede desplegarse en un plano, la fuente de despliegue . ^[4] El proceso de despliegue puede realizarse de forma continua, como un florecimiento del poliedro. ^[5] También se pueden utilizar métodos análogos de corte a lo largo del lugar geométrico de corte para desplegar poliedros convexos de dimensiones superiores. ^[6]

Lugar geométrico de corte de un subconjunto

De manera similar, se puede definir el lugar de corte de una subvariedad de la variedad de Riemann, en términos de su mapa exponencial normal.

Referencias

1. "Lugar geométrico de corte". Enciclopedia de Matemáticas . Consultado el 18 de febrero de 2024 .
2. Cheeger, J., Ebin, DG y Ebin, DG (1975). Teoremas de comparación en geometría de Riemann (Vol. 9). Amsterdam: North-Holland Publishing Company, p. 94.
3. Petersen, Peter (1998). "Capítulo 5, Lema 8.2". Geometría de Riemann (1.ª ed.). Springer-Verlag.
4. Demaine, Erik ; O'Rourke, Joseph (2007). "24.1.1 Despliegue de la fuente". Algoritmos de plegado geométrico . Cambridge University Press. págs. 359–362. ISBN 978-0-521-71522-5.
5. Demaine, Erik D .; Demaine, Martín L .; Hart, Vi ; Iacono, Juan; Langerman, Stefan ; O'Rourke, Joseph (2011). "Floración continua de poliedros convexos". Gráficas y Combinatoria . 27 (3): 363–376. CiteSeerX 10.1.1.150.9715 . doi :10.1007/s00373-011-1024-3. SEÑOR  2787423. S2CID  82408. 
6. Miller, Ezra; Pak, Igor (2008). "Combinatoria métrica de poliedros convexos: lugares de corte y desdoblamientos no superpuestos". Geometría discreta y computacional . 39 (1–3): 339–388. doi : 10.1007/s00454-008-9052-3 . MR  2383765.