En matemáticas y lógica formal , un teorema es una afirmación que ha sido demostrada o puede demostrarse. [a] [2] [3] La demostración de un teorema es un argumento lógico que utiliza las reglas de inferencia de un sistema deductivo para establecer que el teorema es una consecuencia lógica de los axiomas y teoremas demostrados previamente.
En las matemáticas convencionales, los axiomas y las reglas de inferencia suelen dejarse implícitos y, en este caso, casi siempre son los de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección (ZFC), o de una teoría menos potente, como la aritmética de Peano . [b] Generalmente, una afirmación que se llama explícitamente teorema es un resultado demostrado que no es una consecuencia inmediata de otros teoremas conocidos. Además, muchos autores califican como teoremas solo los resultados más importantes y utilizan los términos lema , proposición y corolario para teoremas menos importantes.
En lógica matemática , los conceptos de teoremas y demostraciones se han formalizado para permitir el razonamiento matemático sobre ellos. En este contexto, los enunciados se convierten en fórmulas bien formadas de algún lenguaje formal . Una teoría consta de algunos enunciados básicos llamados axiomas y algunas reglas deductivas (a veces incluidas en los axiomas). Los teoremas de la teoría son los enunciados que se pueden derivar de los axiomas utilizando las reglas deductivas. [c] Esta formalización condujo a la teoría de la prueba , que permite probar teoremas generales sobre teoremas y demostraciones. En particular, los teoremas de incompletitud de Gödel muestran que toda teoría consistente que contenga los números naturales tiene enunciados verdaderos sobre los números naturales que no son teoremas de la teoría (es decir, no se pueden demostrar dentro de la teoría).
Como los axiomas son a menudo abstracciones de propiedades del mundo físico , los teoremas pueden considerarse como la expresión de alguna verdad, pero a diferencia de la noción de una ley científica , que es experimental , la justificación de la verdad de un teorema es puramente deductiva . [6] [7] Una conjetura es una proposición tentativa que puede evolucionar para convertirse en un teorema si se demuestra que es verdadera.
Hasta finales del siglo XIX y la crisis fundacional de las matemáticas , todas las teorías matemáticas se construían a partir de unas pocas propiedades básicas que se consideraban evidentes por sí mismas; por ejemplo, el hecho de que todo número natural tiene un sucesor y que existe exactamente una línea que pasa por dos puntos distintos dados. Estas propiedades básicas que se consideraban absolutamente evidentes se llamaban postulados o axiomas ; por ejemplo, los postulados de Euclides . Todos los teoremas se demostraban utilizando implícita o explícitamente estas propiedades básicas y, debido a la evidencia de estas propiedades básicas, un teorema demostrado se consideraba una verdad definitiva, a menos que hubiera un error en la demostración. Por ejemplo, la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°, y esto se consideraba un hecho indudable.
Un aspecto de la crisis fundacional de las matemáticas fue el descubrimiento de geometrías no euclidianas que no conducen a ninguna contradicción, aunque, en tales geometrías, la suma de los ángulos de un triángulo es diferente de 180°. Por lo tanto, la propiedad "la suma de los ángulos de un triángulo es igual a 180°" es verdadera o falsa, dependiendo de si se asume o se niega el quinto postulado de Euclides. De manera similar, el uso de propiedades básicas "evidentes" de los conjuntos conduce a la contradicción de la paradoja de Russell . Esto se ha resuelto mediante la elaboración de las reglas que están permitidas para manipular conjuntos.
Esta crisis se ha resuelto revisando los fundamentos de las matemáticas para hacerlos más rigurosos . En estos nuevos fundamentos, un teorema es una fórmula bien formada de una teoría matemática que puede demostrarse a partir de los axiomas y las reglas de inferencia de la teoría. Así, el teorema anterior sobre la suma de los ángulos de un triángulo se convierte en: Bajo los axiomas y las reglas de inferencia de la geometría euclidiana , la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180° . De manera similar, la paradoja de Russell desaparece porque, en una teoría de conjuntos axiomatizada, el conjunto de todos los conjuntos no puede expresarse con una fórmula bien formada. Más precisamente, si el conjunto de todos los conjuntos puede expresarse con una fórmula bien formada, esto implica que la teoría es inconsistente , y toda afirmación bien formada, así como su negación, es un teorema.
En este contexto, la validez de un teorema depende únicamente de la exactitud de su demostración. Es independiente de la verdad, o incluso del significado de los axiomas. Esto no significa que el significado de los axiomas no sea interesante, sino únicamente que la validez de un teorema es independiente del significado de los axiomas. Esta independencia puede ser útil al permitir el uso de resultados de alguna área de las matemáticas en áreas aparentemente no relacionadas.
Una consecuencia importante de esta forma de pensar en las matemáticas es que permite definir teorías matemáticas y teoremas como objetos matemáticos , y demostrar teoremas sobre ellos. Algunos ejemplos son los teoremas de incompletitud de Gödel . En particular, hay afirmaciones bien formuladas que se puede demostrar que no son un teorema de la teoría del ambiente, aunque se pueden demostrar en una teoría más amplia. Un ejemplo es el teorema de Goodstein , que se puede enunciar en la aritmética de Peano , pero se demuestra que no es demostrable en la aritmética de Peano. Sin embargo, es demostrable en algunas teorías más generales, como la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel .
Muchos teoremas matemáticos son enunciados condicionales, cuyas pruebas deducen conclusiones a partir de condiciones conocidas como hipótesis o premisas . A la luz de la interpretación de la prueba como justificación de la verdad, la conclusión suele considerarse como una consecuencia necesaria de las hipótesis. Es decir, que la conclusión es verdadera en caso de que las hipótesis sean verdaderas, sin ninguna suposición adicional. Sin embargo, el condicional también podría interpretarse de manera diferente en ciertos sistemas deductivos , dependiendo de los significados asignados a las reglas de derivación y al símbolo condicional (por ejemplo, la lógica no clásica ).
Aunque los teoremas pueden escribirse en una forma completamente simbólica (por ejemplo, como proposiciones en el cálculo proposicional ), a menudo se expresan de manera informal en un lenguaje natural como el inglés para una mejor legibilidad. Lo mismo sucede con las pruebas, que a menudo se expresan como argumentos informales organizados lógicamente y redactados con claridad, destinados a convencer a los lectores de la verdad del enunciado del teorema más allá de cualquier duda, y a partir de los cuales, en principio, se puede construir una prueba simbólica formal.
Además de la mejor legibilidad, los argumentos informales suelen ser más fáciles de comprobar que los puramente simbólicos; de hecho, muchos matemáticos expresarían su preferencia por una prueba que no sólo demuestre la validez de un teorema, sino que también explique de alguna manera por qué es obviamente cierto. En algunos casos, uno podría incluso ser capaz de fundamentar un teorema utilizando una imagen como prueba.
Los teoremas, que son la base de las matemáticas, también son fundamentales para su estética . A menudo se los describe como «triviales», «difíciles», «profundos» o incluso «hermosos». Estos juicios subjetivos varían no sólo de persona a persona, sino también con el tiempo y la cultura: por ejemplo, a medida que se obtiene una prueba, se simplifica o se entiende mejor, un teorema que antes era difícil puede volverse trivial. [8] Por otro lado, un teorema profundo puede enunciarse de forma sencilla, pero su prueba puede implicar conexiones sorprendentes y sutiles entre áreas dispares de las matemáticas. El último teorema de Fermat es un ejemplo particularmente conocido de este tipo de teorema. [9]
Lógicamente , muchos teoremas tienen la forma de un condicional indicativo : si A, entonces B. Un teorema de este tipo no afirma B , sino sólo que B es una consecuencia necesaria de A.En este caso, A se denomina hipótesis del teorema ("hipótesis" aquí significa algo muy diferente de una conjetura ), y B la conclusión del teorema. Las dos juntas (sin la prueba) se denominan proposición o enunciado del teorema (p. ej., " Si A, entonces B " es la proposición ). Alternativamente, A y B también pueden denominarse antecedente y consecuente , respectivamente. [10] El teorema "Si n es un número natural par , entonces n /2 es un número natural" es un ejemplo típico en el que la hipótesis es " n es un número natural par", y la conclusión es " n /2 también es un número natural".
Para que un teorema pueda demostrarse, en principio debe poder expresarse como un enunciado preciso y formal. Sin embargo, los teoremas suelen expresarse en lenguaje natural, en lugar de hacerlo en forma completamente simbólica, con la presunción de que un enunciado formal puede derivarse del informal.
En matemáticas es habitual elegir una serie de hipótesis dentro de un lenguaje determinado y declarar que la teoría consta de todos los enunciados demostrables a partir de estas hipótesis. Estas hipótesis forman la base fundamental de la teoría y se denominan axiomas o postulados. El campo de las matemáticas conocido como teoría de la prueba estudia los lenguajes formales, los axiomas y la estructura de las pruebas.
Algunos teoremas son " triviales ", en el sentido de que se desprenden de definiciones, axiomas y otros teoremas de manera obvia y no contienen ninguna información sorprendente. Algunos, por otro lado, pueden llamarse "profundos", porque sus demostraciones pueden ser largas y difíciles, involucrar áreas de las matemáticas superficialmente distintas del enunciado del teorema en sí, o mostrar conexiones sorprendentes entre áreas dispares de las matemáticas. [11] Un teorema puede ser simple de enunciar y, sin embargo, ser profundo. Un excelente ejemplo es el último teorema de Fermat , [9] y hay muchos otros ejemplos de teoremas simples pero profundos en la teoría de números y la combinatoria , entre otras áreas.
Otros teoremas tienen una prueba conocida que no se puede escribir fácilmente. Los ejemplos más destacados son el teorema de los cuatro colores y la conjetura de Kepler . Ambos teoremas solo se conocen como verdaderos al reducirlos a una búsqueda computacional que luego se verifica mediante un programa de computadora. Inicialmente, muchos matemáticos no aceptaron esta forma de prueba, pero se ha vuelto más aceptada. El matemático Doron Zeilberger incluso ha llegado a afirmar que estos son posiblemente los únicos resultados no triviales que los matemáticos han demostrado alguna vez. [12] Muchos teoremas matemáticos se pueden reducir a cálculos más sencillos, incluidas las identidades polinómicas, las identidades trigonométricas [13] y las identidades hipergeométricas. [14] [ página necesaria ]
Los teoremas en matemáticas y las teorías en ciencia son fundamentalmente diferentes en su epistemología . Una teoría científica no puede ser probada; su atributo clave es que es falsable , es decir, hace predicciones sobre el mundo natural que se pueden comprobar mediante experimentos . Cualquier desacuerdo entre la predicción y el experimento demuestra la incorrección de la teoría científica, o al menos limita su precisión o dominio de validez. Los teoremas matemáticos, por otro lado, son enunciados formales puramente abstractos: la prueba de un teorema no puede involucrar experimentos u otra evidencia empírica de la misma manera que dicha evidencia se utiliza para respaldar las teorías científicas. [6]
No obstante, en el descubrimiento de teoremas matemáticos se requiere cierto grado de empirismo y de recopilación de datos. Al establecer un patrón, a veces con el uso de una computadora potente, los matemáticos pueden tener una idea de lo que deben demostrar y, en algunos casos, incluso un plan para llevar a cabo la prueba. También es posible encontrar un único contraejemplo y, de ese modo, establecer la imposibilidad de una prueba para la proposición tal como se enuncia y, posiblemente, sugerir formas restringidas de la proposición original que podrían tener pruebas factibles.
Por ejemplo, tanto la conjetura de Collatz como la hipótesis de Riemann son problemas no resueltos bien conocidos; se han estudiado ampliamente mediante comprobaciones empíricas, pero siguen sin demostrarse. La conjetura de Collatz se ha verificado para valores iniciales de hasta aproximadamente 2,88 × 10 18 . Se ha verificado que la hipótesis de Riemann se cumple para los primeros 10 billones de ceros no triviales de la función zeta . Aunque la mayoría de los matemáticos pueden tolerar suponer que la conjetura y la hipótesis son verdaderas, ninguna de estas proposiciones se considera probada.
Tal evidencia no constituye una prueba. Por ejemplo, la conjetura de Mertens es una afirmación sobre los números naturales que ahora se sabe que es falsa, pero no se conoce ningún contraejemplo explícito (es decir, un número natural n para el cual la función de Mertens M ( n ) sea igual o mayor que la raíz cuadrada de n ): todos los números menores que 10 14 tienen la propiedad de Mertens, y el número más pequeño que no tiene esta propiedad solo se sabe que es menor que el exponencial de 1,59 × 10 40 , que es aproximadamente 10 a la potencia 4,3 × 10 39 . Dado que el número de partículas en el universo generalmente se considera menor que 10 a la potencia 100 (un gúgol ), no hay esperanza de encontrar un contraejemplo explícito mediante una búsqueda exhaustiva .
La palabra "teoría" también existe en matemáticas, para designar un conjunto de axiomas, definiciones y teoremas matemáticos, como, por ejemplo, en la teoría de grupos (véase teoría matemática ). También hay "teoremas" en la ciencia, en particular en la física, y en la ingeniería, pero a menudo contienen enunciados y pruebas en los que los supuestos físicos y la intuición desempeñan un papel importante; los axiomas físicos en los que se basan dichos "teoremas" son, en sí mismos, refutables.
Existen varios términos distintos para los enunciados matemáticos; estos términos indican el papel que desempeñan los enunciados en un tema en particular. La distinción entre los distintos términos es a veces bastante arbitraria y el uso de algunos términos ha evolucionado con el tiempo.
También pueden utilizarse otros términos por razones históricas o consuetudinarias, por ejemplo:
Algunos teoremas conocidos tienen nombres aún más idiosincrásicos, por ejemplo, el algoritmo de la división , la fórmula de Euler y la paradoja de Banach-Tarski .
Un teorema y su demostración suelen estructurarse de la siguiente manera:
El final de la prueba puede señalarse con las letras QED ( quod erat demonstrandum ) o con una de las marcas de lápida , como "□" o "∎", que significan "fin de la prueba", introducidas por Paul Halmos después de su uso en revistas para marcar el final de un artículo. [17]
El estilo exacto depende del autor o la publicación. Muchas publicaciones proporcionan instrucciones o macros para la composición tipográfica en el estilo de la casa .
Es habitual que un teorema vaya precedido de definiciones que describen el significado exacto de los términos utilizados en el mismo. También es habitual que un teorema vaya precedido de una serie de proposiciones o lemas que luego se utilizan en la demostración. Sin embargo, a veces los lemas se incluyen en la demostración de un teorema, ya sea con demostraciones anidadas o con sus demostraciones presentadas después de la demostración del teorema.
Los corolarios de un teorema se presentan entre el teorema y la demostración, o directamente después de la demostración. A veces, los corolarios tienen sus propias demostraciones que explican por qué se deducen del teorema.
Se ha estimado que cada año se demuestran más de un cuarto de millón de teoremas. [18]
El conocido aforismo , "Un matemático es un dispositivo para convertir el café en teoremas", probablemente se debe a Alfréd Rényi , aunque a menudo se atribuye al colega de Rényi, Paul Erdős (y Rényi puede haber estado pensando en Erdős), quien era famoso por los muchos teoremas que produjo, el número de sus colaboraciones y su consumo de café. [19]
La clasificación de grupos finitos simples es considerada por algunos como la prueba más larga de un teorema. Comprende decenas de miles de páginas en 500 artículos de revistas escritos por unos 100 autores. Se cree que estos artículos juntos proporcionan una prueba completa, y varios proyectos en curso esperan acortar y simplificar esta prueba. [20] Otro teorema de este tipo es el teorema de los cuatro colores , cuya prueba generada por computadora es demasiado larga para que la lea un humano. Es una de las pruebas más largas conocidas de un teorema cuyo enunciado puede ser fácilmente comprendido por un profano en la materia. [ cita requerida ]
En lógica matemática , una teoría formal es un conjunto de oraciones dentro de un lenguaje formal . Una oración es una fórmula bien formada sin variables libres. Una oración que es miembro de una teoría es uno de sus teoremas, y la teoría es el conjunto de sus teoremas. Por lo general, se entiende que una teoría está cerrada bajo la relación de consecuencia lógica . Algunas teorías definen una teoría como cerrada bajo la relación de consecuencia semántica ( ), mientras que otras la definen como cerrada bajo la consecuencia sintáctica o relación de derivabilidad ( ). [21] [22] [23] [24 ] [25 ] [26] [27] [28] [29] [30]
Para que una teoría sea cerrada bajo una relación de derivabilidad, debe estar asociada a un sistema deductivo que especifique cómo se derivan los teoremas. El sistema deductivo puede enunciarse explícitamente o puede resultar claro a partir del contexto. El cierre del conjunto vacío bajo la relación de consecuencia lógica produce el conjunto que contiene sólo aquellas oraciones que son los teoremas del sistema deductivo.
En el sentido amplio en que se utiliza el término en lógica, un teorema no tiene por qué ser verdadero, ya que la teoría que lo contiene puede ser errónea en relación con una semántica dada o en relación con la interpretación estándar del lenguaje subyacente. Una teoría que es inconsistente tiene todas las oraciones como teoremas.
La definición de teoremas como oraciones de un lenguaje formal es útil en la teoría de la demostración , que es una rama de las matemáticas que estudia la estructura de las demostraciones formales y la estructura de las fórmulas demostrables. También es importante en la teoría de modelos , que se ocupa de la relación entre las teorías formales y las estructuras que pueden proporcionarles una semántica a través de la interpretación .
Aunque los teoremas pueden ser oraciones no interpretadas, en la práctica los matemáticos están más interesados en los significados de las oraciones, es decir, en las proposiciones que expresan. Lo que hace que los teoremas formales sean útiles e interesantes es que pueden interpretarse como proposiciones verdaderas y sus derivaciones pueden interpretarse como una prueba de su verdad. Un teorema cuya interpretación es una afirmación verdadera sobre un sistema formal (en contraposición a dentro de un sistema formal) se denomina metateorema .
Algunos teoremas importantes en lógica matemática son:
El concepto de teorema formal es fundamentalmente sintáctico, en contraste con la noción de proposición verdadera, que introduce la semántica . Diferentes sistemas deductivos pueden producir otras interpretaciones, dependiendo de las presunciones de las reglas de derivación (es decir, creencia , justificación u otras modalidades ). La solidez de un sistema formal depende de si todos sus teoremas son también validez . Una validez es una fórmula que es verdadera bajo cualquier interpretación posible (por ejemplo, en la lógica proposicional clásica, las validez son tautologías ). Un sistema formal se considera semánticamente completo cuando todos sus teoremas son también tautologías.
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